8.5空间直线、平面的平行 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．已知直线，两个不重合的平面.若//，，则下列四个结论中正确的是（ ）
①与内的所有直线平行； ②与内的无数条直线平行；
③与内任何一条直线都不垂直； ④与没有公共点.
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
2．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
3．在长方体中．，，P是线段上的一动点，如下的四个命题中，①平面．②与平面所成角的正切值的最大值是．③的最小值为．④以A为球心，为半径的球面与侧面的交线长是．真命题共有几个（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．正方体的棱长为1，是的中点，点在上，则等于多少时，平面（ ）
A．1 B． C． D．
5．在正方体中，为棱的中点，则．
A． B． C． D．
6．已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，，．
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
7．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（ ）
A．内有无穷多条直线与平行
B．直线////
C．直线满足//////
D．异面直线满足，且////
8．下列说法正确的是（ ）
A．若两条直线与同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线分别平行于两个相交平面，则一定平行它们的交线
D．若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行
9．如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条 B．4条
C．5条 D．6条
10．如图，在直四棱柱中，下列结论正确的是（ ）
A．与是两条相交直线
B．平面
C．
D．，，，四点共面
11．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知正方体的棱长为2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且面积为时，线段的长为（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
13．已知，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，有下列命题：
①；②若，，则；
③，，则；④直线，直线，那么；
⑤若，，，则；⑥若，，则．
其中正确的说法为______（填序号）
14．如图，平面平面，所在的平面与，分别交于和，若，，，则______．
15．下列命题中，正确的是______．（填序号）
①若一直线与平面平行，则它与平面内任一直线平行；
②若一直线与平面平行，则平面内有且只有一条直线与已知直线平行；
③若一直线与平面平行，则平面内有无数直线与已知直线平行，它们在平面内彼此平行；
④若一直线与平面平行，则平面内任意直线都与已知直线异面．
16．在长方体的六个表面与六个对角面(面、面、面、面、面及面)所在的平面中，与棱平行的平面共有______个．
三、解答题
17．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．
求证：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E．
18．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型．点在棱上，满足，点在棱上，满足，要求同学们按照以下方案进行切割：
（1）试在棱上确定一点，使得平面；
（2）过点的平面交于点，沿平面平将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定点的位置，请求出的值．
19．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
20．如图所示，在直四棱柱中，底面是梯形，，，、分别是、的中点，求证：平面平面.
21．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，点分别在线段和上，且．
（1）求证：平面；
（2）设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
根据面面平行的性质以及定义，可得结果.
【详解】
由面面平行的性质知①错误；
由面面平行的性质知②正确；
与内的直线可能异面垂直，故③错；
由面面平行的定义知④正确.
故选：B
本题主要考查面面平行的性质，属基础题.
2．A
连结AC，交BD于O，连结OF，则AO＝OC，再由点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，能求出OF∥PC，
【详解】
解：连结AC，交BD于O，连结OF
∵四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∴AO＝OC，
∵点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，
∴OF∥PC，
∴λ＝1.
故选：A.
本题考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
3．D
证明出平面平面，利用面面平行的性质可判断①的正误；求出的最小值，利用线面角的定义可判断②的正误；将沿翻折与在同一平面，利用余弦定理可判③的正误；设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点，求出的长，判断出点的轨迹，可判断④的正误．
【详解】
解：对于①，在长方体中，且，且，且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面，同理可证平面，
，所以，平面平面，
平面，所以，平面，故①正确；
对于②，平面，所以，与平面所成角为，
，所以，当时，与平面所成角的正切值的最大，
由勾股定理可得，
由等面积法可得，
所以，的最大值为，故②正确；
对于③，将沿翻折与在同一平面，如下图所示：
在中，为直角，
，，
在中，，，
由余弦定理可得，
则为锐角，
可得，
，
由余弦定理可得，此时，
因此，的最小值为，故③正确；
对于④，设是以为球心，为半径的球面与侧面的交线上的一点，
由于平面，平面，
，
，
所以交线为以为圆心，1为半径的四分之一圆周，所以交线长是，故④正确．
故选：D．
4．B
连接，过点作交于，再根据几何关系即可得答案.
【详解】
解：如图，连接，过点作交于，
因为是的中点，所以是的中点，
由正方体的性质易得，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，此时是的中点，故.
故选：B
5．C
画出图形，结合图形根据空间中的垂直的判定对给出的四个选项分别进行分析、判断后可得正确的结论．
【详解】
画出正方体，如图所示．
对于选项A，连，若，又，所以平面，所以可得，显然不成立，所以A不正确．
对于选项B，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以B不正确．
对于选项C，连，则．连，则得，所以平面，从而得，所以．所以C正确．
对于选项D，连，若，又，所以平面，故得，显然不成立，所以D不正确．
故选C．
【名师点睛】
本题考查线线垂直的判定，解题的关键是画出图形，然后结合图形并利用排除法求解，考查数形结合和判断能力，属于基础题．
6．A
由线线关系、线面关系、面面关系可逐项判断．
【详解】
①，，由平行公理4得，正确；
②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；
③，则或，故错误；
④，；则或，故错误；
⑤，，，由线面平行的判定定理可得．
故选：A.
7．D
采用逐一验证法，根据面面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
A错
内有无穷多条直线与平行，
平面与平面可能平行，也可能相交，
B错
若直线////，
则平面与平面可能平行，也可能相交，
C错
若//////，
则平面与平面可能平行，也可能相交，
D正确
当异面直线满足，且////时，
可在上取一点，过点在内作直线//，
由线面平行的判定定理，得//，
异面，所以 相交，
再由面面平行的判定定理，得//，
故选：D.
本题考查面面平行的判定，属基础题.
8．C
利用逐一验证法，结合面面平行的判定以及线线平行的特点，可得结果.
【详解】
A错，由两条直线与同一条直线所成的角相等，
可知两条直线可能平行，可能相交，也可能异面；
B错，
若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，
则这两个平面可能平行或相交；
C正确，设////，
利用线面平行的性质定理，在平面中存在直线//，
在平面中存在直线//，所以可知//，
根据线面平行的判定定理，可得//，
然后根据线面平行的性质定理可知//，所以//；
D错，两个平面可能平行，也可能相交.
故选：C
本题考查面面平行的判定，还考查线面平行的判定定理以及性质定理，重点在于对定理的熟练应用，属基础题.
9．B
由E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解.
【详解】
由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.
故选：B.
10．B
根据异面直线的判定定理，直线与平面平行的判定定理，四点共面的判定，结合四棱柱的性质逐一判定即可.
【详解】
面，面，，所以与是异面直线，A错；
因为，面，面，所以面，B正确；
面， 面，，所以与是异面直线，C错；
如图所示，，，三点在面上，与面相交，所以，，，四点不共面，D错.
故选：B.
11．B
【详解】
试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.
12．A
过点作，的平行线，分别交棱，于点，，连接，，即可得到为截面，且为等边三角形，再根据截面面积求出的长度，即可求出；
【详解】
解：如图，过点作，的平行线，分别交棱，于点，，连接，，因为，所以，面，面，所以面
因为，所以，面，面，所以面
又，面，所以面 面，则为截面，
易知是等边三角形，则，解得，∴.
故选：A.
13．①⑥
利用线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质应用，逐一判断选项可得结论.
【详解】
解：对于①，根据平行的性质有：，即，故①正确；
对于②，由得或相交，故②错误；
对于③，由得，或异面，故③错误；
对于④，由直线，直线，可得，异面，相交，故④错误；
对于⑤，由，得或相交，故⑤错误；
对于⑥，若，由面面平行的传递性得，故⑥正确，
故答案为：①⑥.
14．
根据面面平行的性质，证得，结合，即可求解.
【详解】
由题意，平面平面，所在的平面与，分别交于和，
根据面面平行的性质，可得，所以，
因为，，，所以.
故答案为：.
15．③
根据线面平行的性质求解即可.
【详解】
对①，若一直线与平面平行，则它与平面内任一直线的位置关系为平行和异面，故①错误；
对②，若一直线与平面平行，则平面内有无数条平行直线与已知直线平行，故②错误；
对③，若一直线与平面平行，则平面内有无数条平行直线与已知直线平行，故③正确；
对④，若一直线与平面平行，则它与平面内任一直线的位置关系为平行和异面，故④错误.
故答案为：③
16．3
根据线面平行的判定定理即可判断求解.
【详解】
如图，因为∥∥，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
所以∥平面，∥平面，∥平面，
故答案为：3.
17．（1）见解析；（2）见解析.
(1)由题意结合几何体的空间结构特征和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；
(2)由题意首先证得线面垂直，然后结合线面垂直证明线线垂直即可.
【详解】
（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED 平面DEC1，A1B1平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.
因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又因为BE 平面ABC，所以CC1⊥BE.
因为C1C 平面A1ACC1，AC 平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE⊥平面A1ACC1.
因为C1E 平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.
本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.
18．(1)答案见解析；（2）
（1）利用平行线的判定和线面平行的判定定理，进而利用相似三角形的性质即可求出点；
（2）由平行线的性质和平面的基本性质，可画出截面，进而可求得比值
【详解】
（1）
由已知得，点在棱上，满足，点在棱上，满足，所以，取上靠近的四等分点为，则必有，则根据三角形相似，必有，使得平面
（2）
延长，与延长交于，连接，并延长与的延长线交于，连接，交于，由（1）可得，即为的中点，由，可得为的中点，由.可得为的中点，在等腰三角形中，为的中点，取的中点，连接，则，，所以，，即
解题的关键在于利用线面平行的判定定理以及截面的求法，进而通过三角形相似求出比值，属于难题
19．（1）证明见解析
（2）存在，理由见解析
【详解】
分析：（1）先证,再证，进而完成证明．
（2）判断出P为AM中点，，证明MC∥OP，然后进行证明即可．
详解：（1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．
因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．
因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．
又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．
而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．
（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．
证明如下：连结AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．
连结OP，因为P为AM 中点，所以MC∥OP．
MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．
点睛：本题主要考查面面垂直的证明，利用线线垂直得到线面垂直，再得到面面垂直，第二问先断出P为AM中点，然后作辅助线，由线线平行得到线面平行，考查学生空间想象能力，属于中档题．
20．证明见解析
分别证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.
【详解】
在四棱柱中，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
为的中点，所以，且，
由已知条件可得且，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，
平面，平面，平面，
、分别是、的中点，则，
平面，平面，则平面，
因为，因此，平面平面.
方法点睛：证明或判断两个平面平行的方法有：
①用定义，此类题目常用反证法来完成证明；
②用判定定理或推论（即“线线平行”“面面平行”），通过线面平行来完成证明；
③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行证明；
④借助“传递性”来完成．
21．（1）证明见解析；（2）
（1）连接，交于，只须证明平行于平面内直线即可；
（2）取中点，连接、，可得为二面角的平面角，再在中利用余弦定理求出，过点作交于点，可证平面，即为点到平面的距离，又平面，则也为点到平面的距离，再利用等面积法求出，再求长，二者之比即为所求．
【详解】
（1）证明：连接，交于，
因为，，所以，，
因为，所以，
，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）解：取中点，连接、，
因为为正三角形，所以，，
因为为直角梯形，，，，所以四边形为矩形，
所以，因为，所以平面，所以平面平面，
所以为二面角的平面角，
所以，设，由余弦定理得，
于是，整理得，解得或（舍去），
过点作交于点，
因为，平面，所以平面，又面，所以面平面，面平面，平面，
所以平面，
所以为点到平面的距离，
因为，平面，平面，所以平面，
所以也为点到平面的距离，因为，所以，所以，即，解得，由，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
答案第1页，共2页
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