10.3频率与概率 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 10.3 频率与概率 同步练习
一、单选题
1．我国古代数学名著《数书九章》是南宋数学家秦九韶所著数学著作，书中共列算题81问，分为9类.全书采用问题集的形式，并不按数学方法来分类.题文也不只谈数学，还涉及自然现象和社会生活，成为了解当时社会政治和经济生活的重要参考文献.《数书九章》中有“米谷粒分”一题，现有类似的题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1634石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷25粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．158石 B．159石 C．160石 D．161石
2．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
3．有下列说法正确的是（ ）
①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；
②在同一次试验中，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；
③在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；
④概率就是频率.
A．①③ B．①②④ C．①② D．③④
4．在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率与的关系是（ ）
A． B．
C． D．
5．随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:
满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 2100 1000
根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是A． B． C． D．
6．从只读过《论语》的3名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，某系统由A，B，C，D四个零件组成，若每个零件是否正常工作互不影响，且零件A，B，C，D正常工作的概率都为，则该系统正常工作的概率为（ ）
A． B．
C． D．
8．关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
A．②④ B．①④ C．①② D．②③
9．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
10．下列说法错误的是（ ）
A．任一事件的概率总在内 B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1 D．概率是随机的，在试验前不能确定
11．从2016年1月1日起，“全面二孩”政策在全国范围内实施，许多年轻夫妇都积极地响应国家号召，在六年内生育了二胎，因此在有两个孩子的每户家庭中，若按孩子的性别来进行分类，共会出现三类家庭，分别为：“两个男孩型”家庭，“一男一女孩型”家庭，“两个女孩型”家庭．市消费者协会为了解有两个孩子家庭的某些日常生活消费指数，从该市有两个孩子（假设每胎只生一个小孩，科学研究证明每胎生男生女机会均等）的家庭中随机地抽取户进行调查统计，则估计其中是“一男一女孩型”家庭的户数为（ ）
A． B． C． D．
12．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是（ ）
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛两枚相同的骰子，向上的点数之和大于7则甲胜，否则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜
D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
二、填空题
13．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为；（ⅱ）当中签率不超过时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加.为了使中签率超过，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.
14．对一批产品的长度（单位：mm）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图.根据标准，产品长度在区间内的为一等品，在区间或内的为二等品，在区间或内的为三等品.用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则该件产品为二等品的概率为____________.
15．在一个大转盘上，盘面被均匀地分成12份，分别写有1~12这12个数字，其中2，4，6，8，10，12这6个区域对应的奖品是文具盒，而1，3，5，7，9，11这6个区域对应的奖品是随身听.游戏规则是转盘转动后指针停在哪一格，则继续向前前进相应的格数.例如：你转动转盘停止后，指针落在4所在区域，则还要往前前进4格，到标有8的区域，此时8区域对应的奖品就是你的，依此类推.请问：小明在玩这个游戏时，得到的奖品是随身听的概率是_________.
16．已知某厂的产品合格率是95% ，从该厂抽出20件产品进行检查，其中合格产品的件数最有可能是________．
17．设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球，1个黑球，乙箱中有1个白球，99个黑球.随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，我们可以认为这球是从_____箱中取出的.
三、解答题
18．某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在的学生人数为6.
（1）求直方图中的值；
（2）求的值；
（3）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率.
19．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.
（1）求图中的值；
（2）求这组数据的平均数和中位数；
（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.
20．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如下表，其中“”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工项目 A B C D E F
子女教育 ○ ○ × ○ × ○
继续教育 × × ○ × ○ ○
大病医疗 × × × ○ × ×
住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○
住房租金 × × ○ × × ×
赡养老人 ○ ○ × × × ○
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.
21．某班倡议假期每位学生每天至少锻炼一小时.为了解学生的锻炼情况，对该班全部34名学生在某周的锻炼时间进行了调查，调查结果如下表:
锻炼时长（小时） 5 6 7 8 9
男生人数（人） 1 2 4 3 4
女生人数（人） 3 8 6 2 1
（Ⅰ）试根据上述数据，求这个班级女生在该周的平均锻炼时长;
（Ⅱ）若从锻炼8小时的学生中任选2人参加一项活动，求选到男生和女生各1人的概率；
（Ⅲ）试判断该班男生锻炼时长的方差与女生锻炼时长的方差的大小.（直接写出结果）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
利用抽取的米夹谷的频率估计总体的频率计算.
【详解】
由题意可知这批米内夹谷约为(石).
故选：D.
本题考查简单随机抽样，用样本频率估计总体，属于基础题.
2．D
男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】
两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
3．C
根据统频数和频率的关系，以及频率和概率的关系，进行判断即可得解.
【详解】
由频率 频数 概率的定义易知①②正确.
故选：C.
4．A
当n很大时，频率是概率的近似值，从而可得答案
【详解】
在进行n次反复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，越来越接近于，
所以可以用近似的代替，即，
故选：A
5．C
由题意得,,随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为,所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为,即可求得答案.
【详解】
由题意得,,
随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为,
随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为.
由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.
故选:C
本题考查了用频率估计概率,解题关键是频率和概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
6．A
利用列举法，求得基本事件的总数，再求得选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
将只读过《论语》的3名同学分别记为，，，只读过《红楼梦》的3名同学分别记为，，.
设“选中的2人都读过《红楼梦》”为事件，则从6名同学中任选2人的所有可能情况有，，，，，，，，，，，，，，共15种，
其中事件包含的可能情况有，，共3种，故.
故选：A.
本题主要考查了古典概型及其概率的计算，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7．C
要使系统正常工作，则A、B要都正常或者C正常，D必须正常，然后利用独立事件，对立事件概率公式计算.
【详解】
记零件或系统能正常工作的概率为，
该系统正常工作的概率为:
,
故选：C.
8．A
根据频率和概率的定义对各个选项进行判断即可.
【详解】
①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为，不能说概率，故错误；
②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在0.5附近摆动，可能大于0.5，也可能小于0.5,故正确；
③只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有1806粒种子发芽，故错误；
④出现点数大于2的次数大约为4000次，正确.
故选：A
本题考查频率与概率的区别，属于基础题.
9．C
【详解】
分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.
详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
10．D
结合概率的定义和性质一一判断选项即可．
【详解】
解：任一事件的概率总在内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．
故选：D．
本题主要考查概率的定义与性质，属于基础题．
11．C
根据题意把二胎的所有种类数枚举出来，找出其中“一男一女孩型”所占比例，即可求出抽取的600户中有多少这种类型家庭.
【详解】
因每胎生男女概率相等，则所有的两孩种类有，①第一胎男孩，第二胎男孩；②第一胎男孩，第二胎女孩；③第一胎女孩，第二胎男孩；④第一胎女孩，第二胎女孩；
故“一男一女孩型”所占概率为，则600户中有“一男一女孩型”.
故选：C.
12．B
运用古典概型的概率计算公式，分别计算A，B，C，D中的概率，结合题意，即可得到所求结论．
【详解】
解：A项，P（点数为奇数）＝P（点数为偶数）＝；
B项，P（点数之和大于7）＝，P（点数之和小于等于7）＝；
C项，P（牌色为红）＝P（牌色为黑）＝；
D项，P（同奇或同偶）＝P（奇偶不同）＝．
故选：B.
13．
先求出需要增加中签率为0.71，再用0.71除以0.05得14.2，取15即可得到答案.
【详解】
因为摇号的初始中签率为，所以要使中签率超过，需要增加中签率，
因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加，
所以至少需要邀请，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动.
故答案为：
本题考查了阅读理解能力，解题关键是求出需要增加的中签率，属于基础题.
14．
由所有矩形面积之和为1求出区间对应矩形的高度，区间与的概率之和即为所求.
【详解】
设区间对应矩形的高度为，则由所有矩形面积之和为1，得，解得，所以该件产品为二等品的概率为.
故答案为：
本题考查频率分布直方图，频率估计概率，属于基础题.
15．0
根据游戏规则,转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶数的区域,而得到随身听对应的区域均标为奇数,即可求得
【详解】
转盘停止后,指针所在区域再前进相应格数后所在位置均为标为偶数的区域,
又 得到随身听对应的区域均标为奇数,
得到的奖品为随身听的概率为.
故答案为:.
本题考查了概率在实际中的应用,解题关键是理解游戏规则和掌握概率的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.
16．19
由概率的定义进行计算可得答案.
【详解】
解：由题意：某厂的产品合格率是95% ，从该厂抽出20件产品进行检查，其中合格产品的件数最有可能是：，
故答案为：.
本题主要考查概率的定义，相对简单.
17．甲.
分别求出甲箱中取到白球的概率和乙箱中取到白球的概率，由此进行判断．
【详解】
解：甲箱有99个白球1个黑球，
随机地取出一球，得白球的可能性是，
乙箱中有1个白球和99个黑球，从中任取一球，得白球的可能性是，
由此看到，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．
既然在一次抽样中抽得白球，当然可以认为是由概率大的箱子中抽出的．
我们作出推断是从甲箱中抽出的．
故答案为：甲
本题考查概率的应用，属于基础题，解题时要认真审题，注意概率的计算．
18．（1）；（2）；（3）.
（1）由频率分布直方图的高之和为组距分之一，即可得出结果；
（2）根据样本容量、总体与频率之间的关系计算即可得出结果；
（3）用总面积1减去左边2个矩形的面积即可.
【详解】
解：（1）由频率分布直方图的性质得：
，
解得.
（2）∵成绩在的学生人数为6，
由频率分布直方图得成绩在的学生所占频率为：，
∴.
（3）根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70”的概率：
.
19．（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.
（1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值；
（2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值；
（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可
【详解】
（1）由，解得.
（2）这组数据的平均数为.
中位数设为，则，解得.
（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，
记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，
从5人中抽取2人有：，，，，， ，，，，
所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，
所以 .
20．（I）6人，9人，10人；
（II）（i）见解析；（ii）.
（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；
（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】
（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
,,,,共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，
所以，事件M发生的概率.
本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
21．（Ⅰ）小时（Ⅱ）（Ⅲ）
（Ⅰ）由表中数据计算平均数即可；
（Ⅱ）列举出任选2人的所有情况，再由古典概型的概率公式计算即可；
（Ⅲ）根据数据的离散程度结合方差的性质得出
【详解】
（Ⅰ）这个班级女生在该周的平均锻炼时长为小时
（Ⅱ）由表中数据可知，锻炼8小时的学生中男生有人，记为，女生有人，记为
从中任选2人的所有情况为，，，共种，
其中选到男生和女生各1人的共有种
故选到男生和女生各1人的概率
（Ⅲ）
关键点睛：在第二问中，关键是利用列举法得出所有的情况，再结合古典概型的概率公式进行求解.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页