4.2等差数列 同步练习（Word版含解析）

选择性必修第二册 4.2 等差数列 同步练习
一、单选题
1．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ）
A．1.5尺 B．2.5尺 C．3.5尺 D．4.5尺
2．已知数列中，，，若，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．在各项不全为零的等差数列中，是其前n项和，且，，则正整数的值为（ ）
A．2020 B．2021
C．2022 D．2023
4．设等差数列前项和为，等差数列前项和为，若．则（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列的首项为，且从第10项开始均比1大，则公差d的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．是等差数列的前项和，，，则首项（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设等差数列的前项和为，且，则当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．或
8．设等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．28 B．32 C．16 D．24
9．在数列中，，且，则其通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
10．在等差数列中，，，则（ ）
A．165 B．160 C．155 D．145
11．数列满足，则数列的前60项和等于（ ）
A．1830 B．1820 C．1810 D．1800
12．已知等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．
14．已知数列、都是等差数列，设的前项和为，的前项和为.若，则（ ）
A． B． C． D．
15．记为等差数列的前项和，若，，则数列的通项公式　　
A． B． C． D．
二、填空题
16．设等差数列的前项和为，，，，则______．
17．等差数列中，，，则与等差中项的值为_____
18．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上面一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……．设各层球数构成一个数列，其中，，，则______．
三、解答题
19．已知数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
20．已知数列，且为等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)若对任意正整数n，都有，求m的取值范围．
21．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且 ，在①，②，③中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
22．已知在等差数列中，公差，其前n项和为，，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
设冬至日影长，公差为，结合等差数列通项及前n项和公式，结合题设列方程组求、，进而求小满日影长.
【详解】
从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，
∴，解得，，
∴小满日影长为（尺）.
故选：C.
2．C
由题意可得，可得为等差数列，进而求得的通项，带入即可求得的值.
【详解】
，
所以为以为首项公差的等差数列，
所以，
所以，
由，
所以，
故选：C.
3．B
将等差数列前项和公式，改写成关于的二次函数，根据二次函数图像的对称性列出关于的方程即可求解.
【详解】
，所以可看成关于的二次函数，由二次函数图象的对称性及，，
得，解得.
故选：B.
4．B
本题首先可令，得出，然后通过等差数列的性质得出以及，代入中，即可得出结果.
【详解】
因为，所以，
因为是等差数列前项和，是等差数列前项和，
所以，，
则，，
故选：B.
关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前项和公式以及等差中项的应用，若等差数列前项和为，则，当时，，考查化归与转化思想，是中档题.
5．D
易得，结合通项公式，解关于的不等式即可.
【详解】
由题意得所以解得.
故选：D
6．A
根据，，利用“”法求解.
【详解】
设等差数列的公差为，因为，，
所以，，
解得，
故选：A
7．B
由题得出，则，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列的公差为，
由得，则，
解得，，，
，对称轴为，开口向上，
当时，最小.
故选：B.
方法点睛：求等差数列前n项和最值，由于等差数列是关于的二次函数，当与异号时，在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当与同号时，在取最值.
8．B
由等差数列前n项和的性质，可得，，，成等差数列，结合题干数据，可得解
【详解】
由等差数列前n项和的性质，
可得，，，成等差数列，
∴，解得.
∴ 2，6，10，成等差数列，
可得，解得.
故选：B
9．D
先由得出，再由累加法计算出，进而求出.
【详解】
解：，
，
化简得：，
两边同时除以并整理得：
，
即，，，…，，
将上述个式子相加得：
……，
即，
，
又也满足上式，
，
.
故选：D.
易错点点睛：利用累加法求数列通项时，如果出现，要注意检验首项是否符合.
10．D
利用等差数列通项公式列出方程，求出，，再由等差数列前项和公式能求出结果．
【详解】
解：在等差数列中，
，，
，
解得，，
．
故选：．
11．D
当为正奇数时，可推出，当为正偶数时，可推出，将该数列的前项和表示为，结合前面的规律可计算出数列的前项和.
【详解】
当为正奇数时，由题意可得，，
两式相加得；
当为正偶数时，由题意可得，，
两式相减得.
因此，数列的前项和为.
故选：D.
关键点点睛：本题考查数列求和，找出数列的规律是解题的关键，考查学生的推理能力与运算求解能力，分类讨论思想，属于中等题.
12．A
根据等差数列前项和公式，及下标和性质得到、，即可得到方程，计算可得；
【详解】
解：由，有，得．
故选：A
13．D
根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】
对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
14．A
由题意利用等差数列的性质、等差数列的前项和公式，得出结论．
【详解】
∵，
∴，
故选：A
15．B
由已知结合等差数列的通项公式及求和公式先求，，进而可求通项公式．
【详解】
解：因为等差数列中，，
所以，
解得a1=20，d=-2，
则数列的通项公式．
故选：B．
16．15
先根据等差数列的求和公式和等差数列的等差中项的性质利用求得，进而根据等差数列性质可知，求得．
【详解】
因为，所以．
又，所以．
故答案为：15
17．11
由等差数列的性质可得：，代入等差中项的公式即可得答案.
【详解】
由等差数列的性质可得：，则与等差中项为；
故答案为：11．
本题考查等差中项，当为等差数列时，则是解题的关键，考查分析理解的能力，属基础题.
18．15
由分析可知每次小球数量刚好是等差数列的求和，最后直接公式即可算出答案.
【详解】
由题意可知 , ，
所以，
故答案为：15
19．（1），；（2），.
（1）当时，，利用即可得结果，注意验证当时，是否适合；
（2）由（1）可得，则，利用裂项相消法可得结果.
【详解】
（1）当时，，
所以，
因为当时，，适合上式，
所以，.
（2）由（1）可得，
所以，
所以
，.
本题主要考查数列的通项公式与前项和公式之间的关系，考查裂项相消法的应用，属于中档题. 已知数列前项和，求数列通项公式，常用公式，将所给条件化为关于前项和的递推关系或是关于第项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式. 在利用与通项的关系求的过程中，一定要注意 的情况.
20．(1)；
(2).
（1）利用等差数列的基本量的运算可得，再利用与的关系即得；
（2）利用裂项相消法可得，进而即得.
(1)
由题可知，
∴等差数列的公差，
∴，
∴，
当时，，
又∵，
∴；
(2)
由（1）可知，
∴．
由题可知，
∴m的取值范围是.
21．(1)
(2)
（1）直接利用等差数列的性质的应用求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法求出数列的和．
(1)
选①②时，由于数列为等差数列，，，
所以，
解得，，
故；
选①③时，由于数列为等差数列，，，
所以，
解得，，
故；
选②③时，由于数列为等差数列，，，
所以，
解得，，
故；
(2)
由（1）得：，
所以．
22．（1）；（2）．
（1）利用等差数列前项和公式、通项公式及等比数列性质列出方程组，求出首项与公差，由此能出数列的通项公式；
（2）当时，；当时，，根据等差求和公式可求解．
【详解】
（1）由，，
得，解得，
所以等差数列的通项公式为．
（2）当时，
．
当时，
．
故．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页