4.4.3 不同函数增长的差异 教学设计

【新教材】4.4.3 不同函数增长的差异（人教A版）
本节课在已学幂函数、指数函数、对数函数的增长方式存在很大差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反应.而本节课重在研究不同函数增长的差异.
课程目标
1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体会其增长的快慢.
2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义以及三种函数模型的性质的比较,培养数学建模和数学运算等核心素养.
数学学科素养
1.数学抽象：常见增长函数的定义、图象、性质；
2.逻辑推理：三种函数的增长速度比较；
3.数学运算：由函数图像求函数解析式；
4.数据分析：由图象判断指数函数、对数函数和幂函数；
5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结函数性质.
重点：比较函数值得大小；
难点：几种增长函数模型的应用．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
请学生用画图像，观察两个函数图像,探索它们在区间[0，+∞）上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
预习课本，引入新课
阅读课本136-138页，思考并完成以下问题
1.三种函数模型的性质？
2.三种函数的增长速度比较？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
新知探究
1.三种函数模型的性质
函数性质 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0)
在(0,+∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
图象的变化 随x增大逐 渐变陡 随x增大逐 渐变缓 随n值不同 而不同
2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0,+∞)上,函数y=ax(a>1),y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函数,但增长速度不同.
(2)在区间(0,+∞)上随着x的增大,函数y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而函数y=logax(a>1)的增长速度则会越来越慢.
(3)存在一个x0,使得当x>x0时,有logax四、典例分析、举一反三
题型一 比较函数增长的差异
例1 函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1(1)指出图中曲线C1,C2分别对应的函数;
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 019),g(2 019)的大小.
【答案】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
（2）f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).
【解析】(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.
(2)因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1所以x1<6x2,从图象上可以看出,当x1当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).
因为g(2 019)>g(6),所以f(2 019)>g(2 019)>g(6)>f(6).
变式1.在本例(1)中,若将“函数f(x)=2x”改为“f(x)=3x”,又如何求解第(1)题呢
【答案】C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.
【解析】由图象的变化趋势以及指数函数和幂函数的增长速度可知:C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=3x.
变式2.本例条件不变,(2)题改为:试结合图象,判断f(8),g(8),f(2 019),g(2 019)的大小.
【答案】f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).
【解析】因为f(1)>g(1),f(2)g(10),所以1x2,从图象上可以看出,当x1x2时,f(x)>g(x),所以f(2 019)>g(2 019).因为g(2 019)>g(8),所以f(2 019)>g(2 019)>g(8)>f(8).
解题技巧：（由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法）
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时,通常是观察函数图象上升得快慢,即随着自变量的增长,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数.
跟踪训练一
当a>1时,有下列结论:
①指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快;②指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快;③对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快;④对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快.其中正确的结论是(　　)
①③ B.①④ C.②③ D.②④
【答案】B
2.已知函数y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1
【答案】B
【解析】在同一平面直角坐标系中画出这三个函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3=log2x,故y2>y1>y3.
题型二 体会指数函数的增长速度
例2 甲、乙、丙三个公司分别到慈善总会捐款给某灾区,捐款方式如下:甲公司:在10天内,每天捐款5万元给灾区;乙公司:在10天内,第1天捐款1万元,以后每天比前一天多捐款1万元;丙公司:在10天内,第1天捐款0.1万元,以后每天捐款都比前一天翻一番.
你觉得哪个公司捐款最多
【答案】丙公司捐款最多,为102.3万元.
【解析】三个公司在10天内捐款情况如下表所示.
公司捐款数量/万元 时间　　　　　　 甲 乙 丙
第1天 5 1 0.1
第2天 5 2 0.2
第3天 5 3 0.4
第4天 5 4 0.8
第5天 5 5 1.6
第6天 5 6 3.2
第7天 5 7 6.4
第8天 5 8 12.8
第9天 5 9 25.6
第10天 5 10 51.2
总计 50 55 102.3
由上表可以看出,丙公司捐款最多,为102.3万元.
解题技巧：（指数函数的增长速度的实际应用）
解答此类问题的关键是明确“指数爆炸”“对数增长”等函数增长差异,需注意幂函数的增长是介于两者之间的.
跟踪训练二
1.某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2xα(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图①,图②所示.
(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;
(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少 (精确到万元)
【答案】(1)A:y=x(x≥0),B:y=(x≥0).
(2)投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.
【解析】(1)A:y=k1x过点(1,0.5),∴k1=. B:y=k2xα过点(4,2.5),(9,3.75),
∴ ∴A:y=x(x≥0),B:y=(x≥0).
(2)设投资B产品x(百万元),则投资A产品(10-x)(百万元),
总利润y=(10-x)+=-(0≤x≤10).
所以当=1.25,x=1.562 5≈1.56时,ymax≈5.78.
故投资A产品844万元,投资B产品156万元时,总利润最大,最大值约为578万元.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
4.4.3
不同函数增长的差异
1.
三种函数模型的性质
例
1
例
2
2
.
三种函数的增长速度比较
)
七、作业
课本140页习题4.4
本节课通过数形结合研究不同函数增长的差异,借助结论解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.