3.2.2 奇偶性 教学设计

3.2.2 奇偶性
《奇偶性》内容选自人教版A版第一册第三章第三节第二课时;函数奇偶性是研究函数的一个重要策略,因此奇偶性成为函数的重要性质之一,它的研究也为今后指对函数、幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入起着铺垫的作用.
课程目标
1、理解函数的奇偶性及其几何意义；
2、学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3、学会判断函数的奇偶性．
数学学科素养
1.数学抽象：用数学语言表示函数奇偶性；
2.逻辑推理：证明函数奇偶性；
3.数学运算：运用函数奇偶性求参数；
4.数据分析：利用图像求奇偶函数；
5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用奇偶性解决实际问题。
重点：函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性的判断；
难点：函数奇偶性概念的探究与理解．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
前面我们用符号语言准确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质.下面继续研究函数的其他性质.
画出并观察函数的图像，你能发现这两个函数图像
有什么共同特征码？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
预习课本，引入新课
阅读课本82-84页，思考并完成以下问题
1.偶函数、奇函数的概念是什么？2.奇偶函数各自的特点是？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
新知探究
1．奇函数、偶函数
（1）偶函数（even function）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）奇函数（odd function）
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
奇偶函数的特点
具有奇偶性的函数的定义域具有对称性，即关于坐标原点对称，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，就不具有奇偶性．因此定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的一个必要条件。
（2）具有奇偶性的函数的图象具有对称性．偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于坐标原点对称；反之，如果一个函数的图象关于轴对称，那么，这个函数是偶函数，如果一个函数的图象关于坐标原点对称，那么，这个函数是奇函数．
（3）由于奇函数和偶函数的对称性质，我们在研究函数时，只要知道一半定义域上的图象和性质，就可以得到另一半定义域上的图象和性质．
（4）偶函数： ,
奇函数： ；
（5）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
（6）已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。
四、典例分析、举一反三
题型一 判断函数奇偶性
例1 （课本P84例6）：判断下列函数的奇偶性
（1） （2） （3） （4）
【答案】(1)f(x)为偶函数 (2)f(x)为偶函数(3)f(x)为奇函数 (4)f(x)为偶函数
【解析】
的定义域为R，关于原点对称。且
所以 为偶函数.
(2) 的定义域为R，关于原点对称。且 所以 为偶函数.
（3） 的定义域为 ，关于原点对称.
且 所以 为奇函数.
（4） 的定义域为 ，关于原点对称.且 所以 为偶函数.
解题技巧：（利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）
1.定义法
（1）. 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
（2）. 确定f(－x)与f(x)的关系；
（3）.作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；
若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
2.图像法
跟踪训练一
1.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝ ＋ ；
(3)f(x)＝；(4)f(x)＝
【答案】(1)f(x)为偶函数 (2)f(x)既是奇函数又是偶函数
(3)f(x)是非奇非偶函数 (4)f(x)为偶函数
【解析】　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，
又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x＞0时，－x＜0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．
题型二 利用函数的奇偶性求解析式
例2　 已知f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2+3x+1,
(1)求f(-1);(2)求f(x)的解析式.
【答案】(1)-2 (2)f(x)=
【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-(-2×12+3×1+1)=-2.
(2)当x<0时,-x>0,则f(-x)=-2+3(-x)+1=-2-3x+1.
由于f(x)是奇函数,则f(x)=-f(-x),
所以f(x)=2+3x-1.当x=0时,f(-0)=-f(0),则f(0)=-f(0),即f(0)=0.
所以f(x)的解析式为f(x)=
解题技巧：(求函数解析式的注意事项）)
1.已知当x∈(a,b)时,f(x)=φ(x),求当x∈(-b,-a)时f(x)的解析式.
若f(x)为奇函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=-f(-x)=-φ(-x);
若f(x)为偶函数,则当x∈(-b,-a)时,f(x)=f(-x)=φ(-x).
2.若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,不能漏掉.
跟踪训练二
1.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式．
【答案】f(x)＝
【解析】当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x＜0时，f(x)＝－x2－2x－3.故f(x)＝
题型三 利用函数的奇偶性求参
例3 (1)若函数f(x)＝a＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；
(2)已知函数f(x)＝a＋2x是奇函数，则实数a＝________.　
【答案】(1)　0　(2)0
【解析】(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a－1＝－2a，解得a＝.
又函数f(x)＝x2＋bx＋b＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0.
(2)由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0.
解题技巧：（利用奇偶性求参数）
1.定义域含参数：奇偶函数的定义域为[a,b],则根据定义域关于原点对称，即a+b=0求参；
2.奇偶函数求参可利用特殊值法，若是奇函数则利用f(0)=0,或f(1)+f(-1)=0等，若是偶函数则利用f(1)-f(-1)=0等求参.
跟踪训练三
1.设函数为奇函数，则a＝________
【答案】-1
【解析】　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－.
显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
3
.2
.
2
奇偶性
奇偶性概念
例
1
例
2
例
3
奇偶函数的特点
)
七、作业
课本85页习题3.2
本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质．
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1
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