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【考前15天·一天一测】之第十一测
发现问题
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反思与改进
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班级：______ 考号：_______ 姓名：_______ 分数：_______
【考前15天·一天一测】2022年高考考前冲刺卷
数 学（第十测）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若，则实数组成的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．关于椭圆：，有下列四个命题：甲：；乙：；丙：的焦距为6；丁：的焦点在轴上.如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体 正六面体（即正方体） 正八面体 正十二面体 正二十面体.连接正方体中相邻面的中心，可以得到另一个柏拉图体.已知该柏拉图体的体积为，则生成它的正方体的棱长为（ ）
A．2 B． C． D．4
6．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线：的左 右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，与轴交于点，以为直径的圆经过点，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
8．对于定义在上的函数，如果存在实数使，那么叫做函数的一个不动点.若函数存在两个不动点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数的零点为，的零点为，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知正四棱台（上下底面都是正方形的四棱台）．下底面ABCD边长为2，上底面边长为1，侧棱长为，则（ ）
A．它的表面积为
B．它的外接球的表面积为
C．侧棱与下底面所成的角为60°
D．它的体积比棱长为的正方体的体积大
11．下列说法正确的是（ ）
A．抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
B．如果随机变量，那么
C．甲、乙、丙、丁四个人到四个景点去旅游，每人只去一个景点，设事件为“四个人去的景点不相同”，事件为“甲独自去一个景点”，则
D．已知随机变量服从两点分布，且，，令，则
12．已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（ ）
A．是等差数列 B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．一曲线族的包络线（Envelope）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆：是直线族的包络线，则，满足的关系式为___________；若曲线是直线族的包络线，则的长为___________.
14．已知向量，，，，___________.
15．已知，若，则实数的取值范围是______
16．一批电池(一节)用于无线麦克风时，其寿命服从均值为34.3小时，标准差为4.3小时的正态分布，随机从这批电池中任意抽取一节，则这节电池可持续使用不少于30小时的概率为______.(参考数据：，)
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知m，m，点E为AB上的动点，点F为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
(1)若∠ADE，求EF的长；
(2)当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m ）
18．己知数列是等比数列，，且成等差数列.数列满足：.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求证：.
19．COMS温度传感器是一种采用大规模数字集成电路技术的温度传感器，集成了温度传感电路和信号处理电路，可检测芯片温度和环境温度，具有低成本 低功耗 高精度和线性度强的优点，广泛用于环境 医疗 制造业 化工 能源 气象 仓储 冷藏 冰柜 恒温恒湿生产车间 办工场所等领域.下表是通过对某型号COMS高精度温度传感器IC的芯片温度与输出电压进行初步统计得出的相关数据：
芯片温度 20 40 80 100
输出电压测量值 2.49 2.07 1.88 1.45 1.31
(1)已知输出电压U与芯片温度t之间存在线性相关关系，求出其线性回归方程；（精确到小数点后两位）
(2)已知输出电压实际观察值为，估计值（拟合值）为，以上述数据和（1）中的线性回归方程为依据，.若满足，则可判该COMS高精度温度传感器IC工作正常；若不满足，则可判断工作不正常.现某该型号温度传感器在芯片温度为时，其输出电压为，判断该温度传感器工作是否正常.
参考数据：.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
20．如图，在四棱锥中，底面，点在棱上，点在棱上，.
(1)若，为的中点，求证：，，，四点共面；
(2)求直线与平面所成角的正弦的最大值.
21．已知 为椭圆：的左右顶点，P为椭圆上异于 的点，直线与的斜率之积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知定点，若直线与相交于G H两点，求证为定值.
22．已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求实数a的最小值；
(2)若函数在上有两个极值点，.
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：.
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班级：______ 考号：_______ 姓名：_______ 分数：_______
【考前15天·一天一测】2022年高考考前冲刺卷
数 学（第十一测）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，则＝（ ）
A．{x|1＜x≤4} B．{x|0＜x≤6} C．{x|0＜x＜1} D．{x|4≤x≤6}
【答案】A
【解析】,
或，
，.故选:A.
2．已知复数z＝，则＝（ ）
A．﹣1 B．﹣i C．1 D．i
【答案】D
【解析】，∴,故选：D.
3．为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进入决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有（ ）
A．6种 B．8种 C．20种 D．24种
【答案】B
【解析】由题意知：当甲第一个出场时，不同演讲的方法有（种）；
当甲第二个出场时，不同演讲方法有（种）.
所以所求的不同演讲方法有（种）故选：B
4．已知函数，则图象为下图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数，根据函数图象可得函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数，
对于A中，函数不是奇函数，所以A不符合题意；
对于B中，函数不是奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，函数此时函数为奇函数，
又由，当时，，此时函数在区间单调递增，而图象中先增后减，所以C不符合题意.故选：D.
5．我们知道，任何一个正整数N可以表示成N＝a×10n（1≤a＜10，n∈Z），此时lgN＝n＋lga（0≤lga＜1）．当n≥0时，N是一个n＋1位数．已知lg5≈0.69897，则5100是（ ）位数．
A．71 B．70 C．69 D．68
【答案】B
【解析】，则其为70位数，故选：B
6．（1＋x）4（1＋2y）a（a∈N*）的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n）．若f（0，1）＋f（1，0）＝8，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】展开式中含的项为，含的项为，
，∴，故选：C
7．已知函数的图象在y轴右侧的第一个最高点为，在原点右侧与x轴的第一个交点为，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，图象在y轴右侧的第一个最高点为，在原点右侧与x轴的第一个交点为，
∴，∴T＝π，∴ω2，
将点P（，1）代入y＝sin（2x+φ）得：sin（2φ）＝1，即φ＝2kπ，k∈Z
所以φ＝2kπ（k∈Z），∵|φ|∴φ，
∴函数的表达式为f（x）＝sin（2x）（x∈R），
∴sin（2）＝sin．故选：B．
8．已知，若 x≥1，f（x＋2m）＋mf（x）＞0，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－1，＋∞） B．
C．（0，＋∞） D．
【答案】B
【解析】时，，符合题意；
时，，即
显然在R上递增，则对恒成立
对恒成立
则：；综上，，故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的半径为
B．圆截轴所得的弦长为
C．圆上的点到直线的最小距离为
D．圆与圆相离
【答案】BC
【解析】对于A：由可得，所以的半径为，故选项A不正确；
对于B：圆心为到轴的距离为，所以圆截轴所得的弦长为
，故选项B正确；
对于C：圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最小距离为，故选项C正确；
对于D：由可得，所以圆心，半径，因为，所以两圆相外切，故选项D不正确；
故选：BC.
10．已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A，由 解得，因此此函数有 “巧值点” 0，2；对于B，由 ，即 ，无解，因此此函数无 “巧值”；对于C， ，由，分别画出图象： ，由图象可知：两函数图象有交点，因此此函数有“巧值点” ；
对于D，，由 ，解得 ，因此此函数有 “巧值点”.
故选： ACD.
11．连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能．记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ）
A．事件B与事件C互斥
B．
C．事件A与事件B独立
D．记C的对立事件为，则
【答案】BCD
【解析】选项A：显然B发生的情况中包含C，故可同时发生，错误；
选项B：，正确；
选项C：，
故A与B独立，正确；
选项D：，，正确；
故选：BCD．
12．如图，已知圆锥的轴截面PAB为等腰直角三角形，底面圆O的直径为2．C是圆O上异于A，B的一点，D为弦AC的中点，E为线段PB上异于P，B的点，以下正确的结论有（ ）
A．直线平面PDO B．CE与PD一定为异面直线
C．直线CE可能平行于平面PDO D．若，则的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A项：在中，，D为AC中点，
所以，又PO垂直于圆O所在的平面，
所以，因为，所以平面PDO，故A正确．
对于B项：由于P，C，E共面，且D在平面PCE外，所以CE与PD异面，故B正确．
对于C项：因为可得平面PDO，若直线平面PDO，则有平面平面PDO，这与两平面有公共点P矛盾，故C错．
对于D项：在三棱锥中，将侧面PBC绕PB旋转至平面，使之与平面PAB共面，如图所示，
则当A，E，共线时，取得最小值，
因为，，所以，
由余弦定理可得，即的最小值为，故D对．
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某化工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（其中e是自然对数的底数，为常数，为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则___________；要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为___________（参考数据：）.
【答案】 4
【解析】显然，当时，，当时，，则有：，
于是得，而，解得，
设经过m小时后能够按规定排放废气，则有，
即，
于是得还需要过滤时间，则正整数的最小值为4.
所以，正整数的最小值为4.
故答案为：；4
14．在平面直角坐标系xOy中，P是直线3x＋2y＋1＝0上任意一点，则向量与向量＝（3，2）的数量积为__________．
【答案】
【解析】设，因为P是直线3x＋2y＋1＝0上任意一点，
所以，故答案为：-1
15．写出一个同时具有下列性质（1）（2）（3）的数列 的通项公式： __________．
（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减．
【答案】（答案不唯一）
【解析】由题意可得，满足（1）数列是无穷等比数列；（2）数列不单调；（3）数列单调递减，故答案为：
16．如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率是________．
【答案】
【解析】由双曲线可得，，，……①，
椭圆中，……②，
由①②得，
又，
，即，
所以椭圆的离心率为.故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+与关系式
设，则，
当时，；
当时，；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设，则，
当时，；
当时，；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
18．2021年某省约有28万理科考生参加高考，除去成绩在630分及以上的8145人与成绩在430分以下的103600人，还有约16.81万理科考生的成绩集中在内，其成绩的频率分布如下表所示：
分数段
频率 0.23 0.25 0.24 0.18 0.10
(1)请估计该次高考理科考生成绩在内的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取7名考生进行电话访问，再从被电话访问的7名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率．
【解析】 (1)该次高考理科考生成绩在内的平均分的估计值为
(2)分数段在和的考生人数的比值为，
∴按分层抽样方法在分数段的考生中应抽取名，
在分数段的考生中应抽取名，
在抽取的7名考生中再随机抽取3名进行问卷调查的情况种数，
进行问卷调查的3名考生中有3名分数不低于550分的情况种数，
进行问卷调查的3名考生中有2名分数不低于550分的情况种数，
∴进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率.
19．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°.
（1）求证：平面BFC⊥平面BCDE；
（2）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值.
【解析】（1）证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，
∴DE⊥平面BEF，∴DE⊥BF，
∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，
∵∠FEB＝60°，∴由余弦定理得BF，
∴EF2＝EB2+BF2，∴FB⊥EB，
由①②得BF⊥平面BCDE，
∴平面BFC⊥平面BCDE.
（2）解：以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴，BF为z轴，建立空间直角坐标系，
设DE＝a，则D（1，a，0），F（0，0，），（﹣1，﹣a，），
∵直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，
∴直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为，
平面BCDE的法向量（0，0，1），
∴|cos|，解得a＝2，
∴D（1，2，0），C（﹣2，2，0），∴（0，2，0），（﹣1，﹣2，），
设平面EDF的法向量（x，y，z），
则，取z＝1，得（），
同理得平面DFC的一个法向量（0，，2），
∴cos，
∴二面角E﹣DF﹣C的正弦值为sin.
20．如图所示，为美化环境，拟在四边形空地上修建两条道路和，将四边形分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点E在边的三等分点处（靠近B点），百米，，百米，．
(1)求区域的面积；
(2)为便于花草种植，现拟过C点铺设一条水管至道路上，求水管最短时的长．
【解析】 (1)由题意可知，，，
在中，由余弦定理得
，
即，解得百米
所以平方百米.
所以区域的面积为平方百米.
(2)设，在中，由正弦定理得
，即，解得.
所以.
当时，水管长最短，
在中，
百米所以水管最短时的长为百米.
21．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：，经过的直线与C交于A，B两点.
(1)若，求AP长度的最小值：
(2)过焦点F的直线交抛物线C于A、B两点，若，求的面积.
【解析】 (1)设，由，可得，当时，取得最小值.
(2)抛物线关于轴对称，不妨设A点在第一象限、B点在第四象限，设，故①，②，又，，故③，④，联立①②③④得，
故直线的斜率为，直线方程为，化简得，到直线的距离为，，故.
22．已知函数，．，e为自然对数的底数．
（1）如果函数在(0， )上单调递增，求m的取值范围；
（2）设，，且，求证：．
【解析】（1） ， 要使 在 上单调递增，则 在 上恒成立. ∴ ，∴ ，
令 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增
∴当x=1时， 有最小值为 ，
∴
（2）要证 ，只要证 ，
两边同时除以 得： ，令 得：
所以只要证： ，令 ，
∴ ， ，
单调递增，, ∴单调递增.
∴ 即 ，
∴原不等式成立
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