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班级：______ 考号：_______ 姓名：_______ 分数：_______
【考前15天·一天一测】2022年高考考前冲刺卷
数 学（第十二测）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知R为实数集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩（）＝（ ）
A．{－1，0} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．
【答案】A
【解析】因为，，所以，故选：A
2．已知复数z满足．则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【解析】，所以.故选：D
3．已知函数，则图中的函数图象所对应的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，∴排除BC；
对于A，，不过，排除；
对于D，，满足条件，正确，故选：D．
4．如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶P处的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为，则树的高度h为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知，，即，
解得.故选：A
5．已知抛物线的焦点为F，点P是抛物线在第一象限上的一个点，线段的中垂线l与抛物线的准线交于点Q，且，则直线l在x轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．5
【答案】D
【解析】由题意，点P是抛物线上一个点，线段的中垂线l与抛物线的准线交于点Q，可得，
因为，即，
所以，所以，即为P到准线的距离，
又由,，可得，所以，
则直线的倾斜角为，故，，
线段的中垂线方程为，
令，解得，所以线段的中垂线在x轴上的截距为5.
故选：D.
6．若，则（ ）
A．121 B．-122 C．-121 D．122
【答案】B
【解析】令可得， ①
令可得， ②
由②－①可得，则故选：B
7．已知A（0，0），B（5，0），C（1，3），连接ABC的各边中点得到A1B1C1，连接A1B1C1的各边中点得到A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC，A1B1C1，A2B2C2，…，则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数（ ）
A． B．5 C．10 D．15
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以，….成等比数列，其首项为，公比为，
所以这一系列三角形的面积之和为，
无限趋近于10，故选：C．
8．若函数f（x）同时满足：①定义域内任意实数x，都有；②对于定义域内任意，当时，恒有；则称函数f（x）为“DM函数”.若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由①知，，由②知，在定义域内单调递增，
，依题意，，
即，整理得：，而，，
不等式成立，于是得，
所以锐角的取值范围为.故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为定值
C．的取值范围是[-2，0] D．当时，为定值
【答案】ABD
【解析】如图，连接，设的中点为，连接，则.
故，故A正确；
如图，设直线PO与圆O交于E，F，
则
，故B正确；
取AC的中点M，连接OM，
则
，
而，故的取值范围是，故C错误；
当时，
，故D正确.
故选：ABD.
10．已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】当直线的斜率不存在时，直线l的方程为，此时点到直线的距离为5，点到直线的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线的方程为，即，
∵点到直线的距离相等，
，解得，或，
当时，直线的方程为，整理得，
当时，直线的方程为，整理得
综上，直线的方程可能为或故选：BC．
11．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）
A．中位数为3，众数为2 B．均值小于1，中位数为1
C．均值为3，众数为4 D．均值为2，标准差为
【答案】BD
【解析】设连续7天体温高于人数依次为
，，，，，，，则，.
将，，，，，，
按顺序从小到大依次记为，，，，，，，且，.
A选项：
由中位数为3得，又众数为2，所以，，的值无法确定，故选项A错误；
B选项：
由中位数为1得，由均值小于1得，
有，，故选项B正确；
C选项：
由均值为3得，，，
取，，，，满足众数为4，
但有1天有7人体温高于，故选项C错误；
D选项：
由均值为2得，，，
由标准差为得，
所以，所以，故选项D正确.故选：BD.
12．下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，，
当时，，，，故A，B正确.
令，则，在上单调递减，所以，故C错误.
，所以，故D正确.故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴索的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近、可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．请用函数“近似计算”的值为__________（结果用分数表示）．
【答案】20232022##112022
【解析】函数的导数为，所以，
函数在点处的切线，
所以在附近可以用 代替，即，
又非常接近，.
故答案为：.
14．已知中，为的角平分线交于点，且，，，则的长为___________.
【答案】
【解析】由角平分线的定义可得,
∵，
∴，
又∵=,
∴ ，
∴
,
又∵,,,
∴，
整理得：,
即：,
∵,∴，
∴,
故答案为：
15．2022年4月16日，搭载着翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱，结束了长达半年的“太空出差”，在东风着陆场预定区域成功着陆．为了宣传航天员的精神品质，某班班会安排4名同学讲述这三位航天员的事迹，要求每位学生只讲述一位航天员，每位航天员至少有1名学生讲述，且同学甲讲述王亚平事迹，则共有______种不同的安排方案．
【答案】12
【解析】第一种情况，另外3人分别讲述三名航天员的事迹，有种方法，
第二种情况，另外3人讲述翟志刚和叶光富的事迹，有种方法，
综上，共有种不同的安排方案.
故答案为：12.
16．如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲线可以同时满足：
①以F1，F2为焦点；
②恰经过A，B，C中的两点．
【答案】5（或）（答案不唯一）
【解析】因为，
若过A，C两点，则由题意得，
此时离心率．
若过B，C两点，则由题意得，
此时离心率．
故答案为：5（或）（答案不唯一）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知△ABC中，分别为内角的对边，且.
(1)求角的大小；
(2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.
【解析】 (1)在△ABC中，由正弦定理及得：，..
由余弦定理得，
又，所以
(2) 是的角平分线，，
由可得
因为，，即有，，
故
18．如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，点M在棱AB上，且．
(1)求证：平面平面ABDE；
(2)求直线CD与平面MCE所成角的正弦值．
【解析】 (1)因为平面，所以．
又，，，点M在棱上，且．
故，，．
所以，所以．
因为平面，所以，
又平面，所以平面．
又平面，所以平面平面．
(2)如图，以A为坐标原点，平面内过A且与垂直的直线为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系．
则．
所以．
设平面的一个法向量为，则,即
令，则，所以．
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19．设数列的前项和为，，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
【解析】 (1)证明：对任意的，，
当时，则有，解得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，所以，，则，
所以，且，所以，数列是等比数列，且首项和公比均为.
(2)
解：由（1）可知，所以，，
所以，
.
20．我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响．
(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，．
①求p；
②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率．
(2)视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值．
【解析】 (1)①因为两道生产工序互不影响，
法一：所以．
法二：所以．
答：该款芯片的次品率为；
②记该款芯片自动智能检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
且．
则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率：．
答：人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为；
(2)
因为各个芯片的生产互不影响，所以，
所．
令，得，
所以当时，为单调增函数；
当时，为单调减函数，
所以，当时，取得最大值．
21．已知A（-2，0），B（2，0）分别是椭圆的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，点Q（，）在椭圆上，P是椭圆上异于A，B的一点.
(1)求椭圆C的标准方程:
(2)设直线l的方程为，若直线AP与直线l交于点M，直线BP与直线l交于点N，求证:为定值.
【解析】 (1)由A，B为椭圆的左右顶点可得，
又Q（，）在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为
(2)
证明：设P（，），且，则可得
设M（4，m），N（4，n），且m，n异号，由共线，共线，
知①，②.
①②可得，即，
因为，
所以
所以，
所以为定值0.
22．已知函数，.
(1)判断函数的单调性；
(2)若关于x的方程仅有两个实数解，求实数a的取值范围.
【解析】 (1)，，
，，
∵，，∴，
∴在上是增函数，且，
∴，∴在上是增函数.
(2)
令，，
由，知0是方程的一根，
由，知不是方程的根，
问题转化为求在区间有一根时，实数a的取值范围.
，，，
由（1）可知，当，即时，
，
在上为增函数，，故，
即在区间无零点.
当，即时，
①当时，令，
则，
∴在上为增函数，
，，
∴存在唯一一个实数，使．
②当时，，，
.
由①②知，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∵，，
∴存在唯一实数，使，
∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
∵，，
∴存在唯一实数，使，
即在区间有唯一零点，
综上可知，方程在区间仅有两根时，．
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【考前15天·一天一测】之第十二测
发现问题
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反思与改进
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班级：______ 考号：_______ 姓名：_______ 分数：_______
【考前15天·一天一测】2022年高考考前冲刺卷
数 学（第十二测）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知R为实数集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩（）＝（ ）
A．{－1，0} B．{0，1} C．{－1，0，1} D．
2．已知复数z满足．则（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知函数，则图中的函数图象所对应的函数解析式为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，在A，B两点分别测得树顶P处的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为，则树的高度h为（ ）
A． B． C． D．
5．已知抛物线的焦点为F，点P是抛物线在第一象限上的一个点，线段的中垂线l与抛物线的准线交于点Q，且，则直线l在x轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．5
6．若，则（ ）
A．121 B．-122 C．-121 D．122
7．已知A（0，0），B（5，0），C（1，3），连接ABC的各边中点得到A1B1C1，连接A1B1C1的各边中点得到A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：ABC，A1B1C1，A2B2C2，…，则这一系列三角形的面积之和无限趋近于常数（ ）
A． B．5 C．10 D．15
8．若函数f（x）同时满足：①定义域内任意实数x，都有；②对于定义域内任意，当时，恒有；则称函数f（x）为“DM函数”.若“DM函数”满足，则锐角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等.如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC BD均过点P，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为定值
C．的取值范围是[-2，0] D．当时，为定值
10．已知直线l过点，点，到l的距离相等，则l的方程可能是( )
A． B．
C． D．
11．某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于，则称没有发生群体性发热．下列连续7天体温高于人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（ ）
A．中位数为3，众数为2 B．均值小于1，中位数为1
C．均值为3，众数为4 D．均值为2，标准差为
12．下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴索的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的方法，在切点附近、可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”．请用函数“近似计算”的值为__________（结果用分数表示）．
14．已知中，为的角平分线交于点，且，，，则的长为___________.
15．2022年4月16日，搭载着翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员的神舟十三号载人飞船返回舱，结束了长达半年的“太空出差”，在东风着陆场预定区域成功着陆．为了宣传航天员的精神品质，某班班会安排4名同学讲述这三位航天员的事迹，要求每位学生只讲述一位航天员，每位航天员至少有1名学生讲述，且同学甲讲述王亚平事迹，则共有______种不同的安排方案．
16．如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲线可以同时满足：
①以F1，F2为焦点；
②恰经过A，B，C中的两点．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知△ABC中，分别为内角的对边，且.
(1)求角的大小；
(2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.
18．如图所示的几何体中，平面ABC，平面ABC，，，点M在棱AB上，且．
(1)求证：平面平面ABDE；
(2)求直线CD与平面MCE所成角的正弦值．
19．设数列的前项和为，，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
20．我国某芯片企业使用新技术对一款芯片进行试产，设试产该款芯片的次品率为p（0＜p＜1），且各个芯片的生产互不影响．
(1)试产该款芯片共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为，．
①求p；
②现对该款试产的芯片进行自动智能检测，自动智能检测为次品（注：合格品不会被误检成次品）的芯片会被自动淘汰，然后再进行人工抽检已知自动智能检测显示该款芯片的合格率为96%，求人工抽检时，抽检的一个芯片是合格品的概率．
(2)视p为概率，记从试产的芯片中随机抽取n个恰含m（n＞m）个次品的概率为，求证：在时取得最大值．
21．已知A（-2，0），B（2，0）分别是椭圆的左、右顶点，F是椭圆的右焦点，点Q（，）在椭圆上，P是椭圆上异于A，B的一点.
(1)求椭圆C的标准方程:
(2)设直线l的方程为，若直线AP与直线l交于点M，直线BP与直线l交于点N，求证:为定值.
22．已知函数，.
(1)判断函数的单调性；
(2)若关于x的方程仅有两个实数解，求实数a的取值范围.
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