中小学教育资源及组卷应用平台
班级：______ 考号：_______ 姓名：_______ 分数：_______
【考前15天·一天一测】2022年高考考前冲刺卷
数 学（第十四测）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
即，所以故选：C
2．已知，则复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得，
所以复数的共轭复数是，故选：C
3．函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的两个不同的零点均大于，
所以，解得.
所以选项A是函数的两个不同的零点均大于的既不充分也不必要条件；选项B是函数的两个不同的零点均大于的充分不必要条件；
选项C是函数的两个不同的零点均大于的充要条件；选项D是函数的两个不同的零点均大于的必要不充分条件.
故选：B.
4．第13届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行，现从5名男生、3名女生中选3人分别担任残奥冰球、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且只有1名女生被选中，则不同的安排方案有（ ）种
A．30 B．40 C．180 D．240
【答案】C
【解析】依题意，不同的安排方案有种.故选：C
5．已知函数是偶函数，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
因为函数是偶函数，
所以，
所以，
，所以，
得，
故选：A
6．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为的球面上，其上、下底面半径分别是、，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于圆台的下底面直径为，故球心为圆台的下底面圆圆心，
设圆台的高为，则，
因此，圆台的体积为.故选：B.
7．一个二元码是由和组成的数字串（），其中（，，，）称为第位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由变为，或者由变为）.已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：，其中运算定义为：，，，.已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了，那么用上述校验方程组可判断等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知得，故至少错误一个，
又，正确，故均正确，
，正确，故均正确，
综上所述，错误，故选：A.
8．已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切于，则
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【解析】如图，记中点为，连结，作垂直准线于点，垂直准线于点，
因为直线过抛物线焦点，所以设直线的方程为，，
因为以为直径的圆与抛物线的准线相切于，
所以垂直准线，所以，即，
由得，所以，因此，
所以.
故选B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．数列的所有项中最小项为
【答案】AD
【解析】由，则，，则
由，则，
在等差数列中，，，则，，
因此数列为递减数列，故A选项正确，B选项错误；
又因为，，
由上可得
根据，则，即，故C选项错误；
因为，
，
所以数列中，当时，；当时，；当时，
由；
故为最小值，故D选项正确．
故选：AD．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若非零向量，且，则为等边三角形
B．已知，，，，且四边形为平行四边形，则
C．在中，若，则为钝角三角形
D．已知向量，则与夹角的范围是
【答案】AC
【解析】对于A选项：在中，，且，
说明角平分线垂直于边，所以为等腰三角形，又，
即，即，所以为等边三角形，故A正确；
对于B选项：当为平行四边形对角线的交点时，可以得到，
当不为平行四边形对角线的交点时不一定成立，故B错误；
对于C选项：在中，因为，即，即，
所以角一定为锐角，当时，，所以，显然不可能，
当为钝角时，为钝角三角形，当为锐角时，，即，
因为，所以，因为在单调递增，
且，所以，即，所以，所以为钝角三角形，故C正确；
对于D选项：，
所以点满足方程，如下图所示：点，
设的方程为：，所以与夹角即为射线与的夹角，
当分别 相切时得到夹角的最小值和最大值即夹角的范围.
则，可得，设与夹角为，
则，解得，
所以的取值范围为，故D不正确.故选：AC.
11．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称
D．函数在区间上单调递减
【答案】BCD
【解析】，故最小正周期为，A错误；
，点是一个对称中心，B正确；
向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确；
，单调递减，D正确.
故选：BCD.
12．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，则（ ）
A．当时，
B．直线与平面所成角的最大值大于
C．当平面截直四棱柱所得截面面积为时，
D．四面体的体积为定值
【答案】ABD
【解析】当时，P为AC的中点，连接，，则，因为平面，所以，又，所以平面，
因为平面，所以，A正确.
因为四棱柱为直四棱柱，所以，因为平面，平面，所以平面，则点P到平面的距离等于点A到平面的距离.设点A到平面的距离为，则，所以，所以.
设直线BP与平面所成的角为，，因为点P到平面的距离为定值，所以当BP最小，即P为AC的中点时，直线BP与平面所成的角最大，此时，所以，因为，所以，B正确.
当时，点P为AC上靠近点C的四等分点，则平面截四棱柱所得截面为等腰梯形，如图，易知，等腰梯形的高，所以梯形的面积为，由几何体的对称性可知，当平面截直四棱柱所得截面面积为时，或，C错误.
由上可知，平面，所以点P到平面的距离恒为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，（e为自然对数的底数，…），当时，函数在点处的切线方程为____________；若对）成立，则实数a的最大值为____________.
【答案】
【解析】由题意当时，，，
则，，
所以函数在点处的切线方程为，即
.
因为，，即，则，
令，，在上恒成立，
故在上单调递减，故，得，即，
记，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的最小值是，故，即实数a的最大值是.
故答案为：；.
14．已知函数是偶函数，则实数的值为______．
【答案】2
【解析】由题意知：定义域为R，函数是偶函数，则，
即，化简得，解得.故答案为：2.
15．若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是___________.
【答案】
【解析】由题意可知，①若双曲线的焦点在x轴上,则可设，则
且，联立解得,则双曲线的标准方程为；
②若双曲线的焦点在y轴上，则可设，则，且，此时无解，综上，双曲线的方程为.
故答案为：
16．某厂去年的产值是万元，计划今年后年内每年都比上一年增加，从今年起这年的总产量为______万元（精确到万元）.
【答案】
【解析】设从去年开始第年的产值为万元，则数列为等比数列，且首项为，公比为，
所以，今年起这年的总产量为（万元）.
故答案为.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．从①，②，这两个条件中选择一个补充到下面问题中，并完成解答．
问题：已知数列的前n项和为，且______，为等差数列，，，，成等差数列．
(1)写出所选条件的序号，并求数列、的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【解析】 (1)选择条件①：由题意知：，
即，
当时，，
当时，，适合.
综上数列的通项公式为.
选择条件②：由题意知：,
当时，解得,
当时，,
,
∴,
整理得,
∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列,
∴.
∵，，为等差数列,
∴,
又∵数列为等差数列，设公差为d且,
∴,
解得,
所以等差数列的通项公式为.
(2)
解：由（1）知，，，
∴，
∴，
∴.
18．某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 60
注射疫苗 30
总计 110 90 200
从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为.
（1）能否有的把握认为注射此疫苗有效？
（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率.
附：.
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【解析】（1）根据条件，得，
从而，，，
由，
因为，所以有的把握认为注射此疫苗有效.
（2）在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为，所以从未注射疫苗的小白鼠中抽取4只，记为，，，；从注射疫苗的小白鼠中抽取2只，记为，.
从6只小白鼠中抽取2只共有15种方法，
即有，，，，，
，，，，，，，
，，.
记事件A为“至少有一只注射过疫苗”，则包含9个基本事件，
从而，
故至少有1只为注射过疫苗的概率为.
19．在中，，，．
(1)求边的长与的值；
(2)求的面积；
(3)求的值．
【解析】 (1)在中，，，，
因为，
所以，
由余弦定理可得；
(2)由（1）得：，
所以；
(3)由（1）（2）得：，
，
所以.
20．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别为线段上的点，且，，.
（1）求证：平面；
（2）若与平面所成的角为，求三棱锥的体积.
【解析】（1）证明：连，由题意知．
因为所以
所以
在中，由余弦定理得
所以
,所以，所以,
又因为平面平面，
故平面
（2）由（1）知平面又平面
所以又，，
所以平面．
又与平面所成的角为，即，
所以，
从而三棱锥的体积为.
21．已知函数＝（x2－x＋1）ex－3，，e为自然对数的底数．
(1)求函数的单调区间；
(2)记函数在（0，＋∞）上的最小值为m，证明：e＜m＜3．
【解析】 (1)，
，，单调递增；，，单调递减；
，，单调递增；
单调递增区间为，，单调递减区间.
(2)
解：，，
①，则，
②当时，，
所以
所以；
当时，
设所以在单调递增，
所以，所以，
所以，
当时，，
对任意，均有，则，
综上：.
22．已知圆与圆：外切，同时与圆：内切.
(1)说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；
(2)设动点的轨迹是曲线，直线：与曲线交于，两点，点是线段上任意一点（不包含端点），直线过点，且与曲线交于，两点，若为定值，证明：.
【解析】 (1)设圆M的半径为r，由圆M与圆: 外切，得: ,
由圆M与圆：内切，得: ，故，
则动点M的轨迹是，为焦点，长轴长为8的椭圆，
故椭圆的短半轴长为，故椭圆的方程为.
(2)设，则，由得，
则，
当直线的斜率不存在时，，
此时不为定值，故不合题意；
当直线的斜率存在时，设斜率为k，则,即，
设，由得：，
则，
所以，
，
故
若为定值，则，解得，
此时，代入得，
故点P是EF的中点，因此PE=PF.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【考前15天·一天一测】之第十四测
发现问题
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
反思与改进
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
班级：______ 考号：_______ 姓名：_______ 分数：_______
【考前15天·一天一测】2022年高考考前冲刺卷
数 学（第十四测）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的两个不同的零点均大于的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．第13届冬残奥会于2022年3月4日至3月13日在北京举行，现从5名男生、3名女生中选3人分别担任残奥冰球、单板滑雪、轮椅冰壶志愿者，且只有1名女生被选中，则不同的安排方案有（ ）种
A．30 B．40 C．180 D．240
5．已知函数是偶函数，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
6．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为的球面上，其上、下底面半径分别是、，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．一个二元码是由和组成的数字串（），其中（，，，）称为第位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由变为，或者由变为）.已知某种二元码的码元满足如下校验方程组：，其中运算定义为：，，，.已知一个这种二元码在通信过程中仅在第位发生码元错误后变成了，那么用上述校验方程组可判断等于（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线：的焦点为，过的直线与抛物线交于、两点，若以为直径的圆与抛物线的准线相切于，则
A．10 B．8 C．6 D．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，则下列说法正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．数列的所有项中最小项为
10．下列说法正确的是（ ）
A．若非零向量，且，则为等边三角形
B．已知，，，，且四边形为平行四边形，则
C．在中，若，则为钝角三角形
D．已知向量，则与夹角的范围是
11．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称
D．函数在区间上单调递减
12．如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，则（ ）
A．当时，
B．直线与平面所成角的最大值大于
C．当平面截直四棱柱所得截面面积为时，
D．四面体的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数，（e为自然对数的底数，…），当时，函数在点处的切线方程为____________；若对）成立，则实数a的最大值为____________.
14．已知函数是偶函数，则实数的值为______．
15．若双曲线经过点，其渐近线方程为，则双曲线的方程是___________.
16．某厂去年的产值是万元，计划今年后年内每年都比上一年增加，从今年起这年的总产量为______万元（精确到万元）.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．从①，②，这两个条件中选择一个补充到下面问题中，并完成解答．
问题：已知数列的前n项和为，且______，为等差数列，，，，成等差数列．
(1)写出所选条件的序号，并求数列、的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
18．某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：
未感染病毒 感染病毒 总计
未注射疫苗 60
注射疫苗 30
总计 110 90 200
从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为.
（1）能否有的把握认为注射此疫苗有效？
（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率.
附：.
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．在中，，，．
(1)求边的长与的值；
(2)求的面积；
(3)求的值．
20．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别为线段上的点，且，，.
（1）求证：平面；
（2）若与平面所成的角为，求三棱锥的体积.
21．已知函数＝（x2－x＋1）ex－3，，e为自然对数的底数．
(1)求函数的单调区间；
(2)记函数在（0，＋∞）上的最小值为m，证明：e＜m＜3．
22．已知圆与圆：外切，同时与圆：内切.
(1)说明动点的轨迹是何种曲线，并求其轨迹方程；
(2)设动点的轨迹是曲线，直线：与曲线交于，两点，点是线段上任意一点（不包含端点），直线过点，且与曲线交于，两点，若为定值，证明：.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
