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【考前15天·一天一测】之第十五测
发现问题
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反思与改进
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班级：______ 考号：_______ 姓名：_______ 分数：_______
【考前15天·一天一测】2022年高考考前冲刺卷
数 学（第十五测）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，在正六边形中，若，为的中点，则（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
4．已知，实数满足对于任意的，都有，若，则实数a的值为（ ）
A． B．3
C． D．
5．已知圆锥的底面圆周和顶点都在一半径为1的球的球面上，当圆锥体积为球体积的时，圆锥的高为（ ）
A． B．1 C．1或 D．1或
6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为的泊松分布.若每周销售件该商品与每周销售件该商品的概率相等，则两周共销售件该商品的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆，，分别是椭圆的左 右焦点，是椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知a，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2017年~2021年某市城镇居民 农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是（ ）
A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民
B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大
C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大
D．2021年该市城镇居民 农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升
10．函数的部分图象如图，则（ ）
A．函数的对称轴方程为
B．函数的递减区间为
C．函数在区间上递增
D．的解集为
11．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且.若点，，分别为棱，，的中点，则（ ）
A．平面
B．直线和直线所成的角为
C．当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆
D．过点，，的平面与四棱锥表面交线的周长为
12．在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A．BE∥平面PAC
B．PA⊥平面PBC
C．在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为
D．记直线DO与过点P的平面α所成的角为θ，当时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的最小值为______．
14．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为___________.（用数字作答）
15．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，当时，，则___________.
16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左 右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差为，则圆弧的半径为___________.
【答案】120
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知平面四边形.
(1)若，，求边的长；
(2)当且时18．已知数列满足，数列满足．
（1）求的前项和；
（2）求数列的前项和．【点睛】
本题考查了等差数列求和、分组求和法、裂项相消法求和、错位相减法求和，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面,点是棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角.
20．学习强国APP从2021年起，开设了一个“四人赛”的答题模块，规则如下：用户进入“四人赛”后共需答题两局，每局开局时，系统会自动匹配3人与用户一起答题，每局答题结束时，根据答题情况四人分获第一 二 三 四名.首局中的第一名积3分，第二 三名均积2分，第四名积1分；第二局中的第一名积2分，其余名次均积1分，两局的得分之和为用户在“四人赛”中的总得分.假设用户在首局获得第一 二 三 四名的可能性相同；若首局获第一名，则第二局获第一名的概率为，若首局没获第一名，则第二局获第一名的概率为.
(1)设用户首局的得分为，求的分布列；
(2)求用户在“四人赛”中的总得分的期望值.
21．已知椭圆：，，分别为椭圆的左 右焦点，焦距为4.过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M，N两点，已知的周长为，点M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.
(1)求椭圆的方程；
(2)求四边形面积的最大值.
22．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）设，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.
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班级：______ 考号：_______ 姓名：_______ 分数：_______
【考前15天·一天一测】2022年高考考前冲刺卷
数 学（第十五测）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以.故选：D.
2．若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，所以复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A
3．如图，在正六边形中，若，为的中点，则（ ）
A．7 B．5 C．3 D．1
【答案】B
【解析】如图，延长AB，DC交于点H，
则，，
所以
．故选：B．
4．已知，实数满足对于任意的，都有，若，则实数a的值为（ ）
A． B．3
C． D．
【答案】D
【解析】由题意及正弦函数的图象可知，是的一个极大值点，
由，得.故选：D.
5．已知圆锥的底面圆周和顶点都在一半径为1的球的球面上，当圆锥体积为球体积的时，圆锥的高为（ ）
A． B．1 C．1或 D．1或
【答案】D
【解析】设球心为、圆锥的顶点为、圆锥底面的圆心为，设圆锥的高为，底面半径为，
球的半径为，
当圆锥的顶点、圆锥底面的圆心在球心的同侧时（或者球心就是圆锥底面的圆心），即，
根据球和圆锥的对称性可知：，化简得：，
因为圆锥体积为球体积的，所以，化简得：，即
代入中得，，（舍去），
当圆锥的顶点、圆锥底面的圆心在球心的异侧时，即，
根据球和圆锥的对称性可知：，化简得：，
因为圆锥体积为球体积的，所以，化简得：，即
代入中得，，（舍去），（舍去），
故选：D
6．泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是泊松分布的均值.已知某种商品每周销售的件数相互独立，且服从参数为的泊松分布.若每周销售件该商品与每周销售件该商品的概率相等，则两周共销售件该商品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意得，即，解得，
所以，
所以，，，
则两周销售件的概率为.
故选：D.
7．已知椭圆，，分别是椭圆的左 右焦点，是椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是上顶点，所以，
由椭圆定义可得，又，则可得，
则由余弦定理可得，
则整理可得，则离心率.
故选：A.
8．已知a，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】法1：令，；，．
法2：由于，则，分析．
令，则，
可知，故在上单调递减
时，，
同理时，，
法3：由不等式链：当时，，
当时，，由于在上单调递增，则；
由不等式链：当时，，
当时，，由于在上单调递增，则．
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高.“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力.2017年~2021年某市城镇居民 农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示.根据下面图表，下列说法一定正确的是（ ）
A．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民
B．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的大
C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大
D．2021年该市城镇居民 农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升
【答案】BCD
【解析】由增长率高，得不出收入高，即A错误；
由表中数据，可知城镇居民相关数据极差较大，即B正确；
由表中数据，可知农村居民相关数据中位数较大，即C正确；
由表中数据，可知增长率为正，即D正确.
故选：BCD
10．函数的部分图象如图，则（ ）
A．函数的对称轴方程为
B．函数的递减区间为
C．函数在区间上递增
D．的解集为
【答案】AD
【解析】根据图象可知，，，所以，即，又，而，所以，，即．
对A，令，解得，A正确；
对B，由图结合函数周期可知，函数的递增区间为，B错误；
对C，由图可知，函数在区间上递减，在上递增，C错误；
对D，在函数的一个周期内，由可解得，或，所以的解集为，D正确．
故选：AD．
11．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，且.若点，，分别为棱，，的中点，则（ ）
A．平面
B．直线和直线所成的角为
C．当点在平面内，且时，点的轨迹为一个椭圆
D．过点，，的平面与四棱锥表面交线的周长为
【答案】ABD
【解析】将该四棱锥补成正方体，可知位于其体对角线上，则平面，即A正确；
设中点为，则，且，即B正确；
因为，故在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转形成的椭球，
又平面与其长轴垂直，所以截面为圆，即C错误；
设平面与，交于点，，连接，
因为，故，
所以，而，故，同理，
而，故平面，而平面，则，
因为平面，平面，故，
而，，故平面，
而平面，故，因，
则平面，而平面，则，
所以，同理，
又，，则，
而，
所以交线长为，即D正确.
故选：ABD.
12．在一个圆锥中，D为圆锥的顶点，O为圆锥底面圆的圆心，P为线段DO的中点，AE为底面圆的直径，是底面圆的内接正三角形，，则下列说法正确的是（ ）
A．BE∥平面PAC
B．PA⊥平面PBC
C．在圆锥侧面上，点A到DB中点的最短距离为
D．记直线DO与过点P的平面α所成的角为θ，当时，平面α与圆锥侧面的交线为椭圆
【答案】BD
【解析】对于A：假设BE∥平面PAC，因为平面，平面平面，
所以，
由题意得BE不与AC平行，所以假设不成立，则BE不平行平面PAC，故A错．
对于B：因为平面ABC，平面ABC，
所以，
又AE为底面圆的直径，正三角形，
所以，
又，所以平面PAO，
所以，
又因为，所以，则，
所以，
所以，同理，，
所以，所以，
因为，所以平面PBC，故B正确．
对于C：将侧面铺平展开得
其中，底面圆周长
所以，则，
所以A到DB中点的最短距离为图中AM，若时，由余弦定理可得，
因为，所以，故C错．
对于D:设圆锥顶角为，则，
因为，由截曲线知，平面与圆锥侧面的交线为椭圆，故D正确．故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．函数的最小值为______．
【答案】##-0.125
【解析】由题意，函数
，
令，可得，
当时，，即函数的最小值为.
故答案为：.
14．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同的排列方法种数为___________.（用数字作答）
【答案】144
【解析】先排“冰墩墩”中间有三个空，再排“雪容融”，则.
故答案为：144.
15．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，当时，，则___________.
【答案】##－0.2
【解析】∵，∴．
∵是奇函数，∴，∴，
∴的一个周期为4．
∵，∴令，可得，
∴．
，
∴．
故答案为：﹒
16．某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为的小球放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左 右两个小球与中间小球相切.利用“十”字尺测得小球的高度差为，则圆弧的半径为___________.
【答案】120
【解析】
如图所示，设圆弧圆心为，半径为，三个小球的球心自左至右分别为，，，设，
由题意可知，，
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知平面四边形.
(1)若，，求边的长；
(2)当且时18．已知数列满足，数列满足．
（1）求的前项和；
（2）求数列的前项和．【点睛】
本题考查了等差数列求和、分组求和法、裂项相消法求和、错位相减法求和，考查了数学运算能力和逻辑推理能力，属于中档题目.
19．如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面,点是棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角.
【解析】（1）证明：连结BD，交AC于点O，连结OE．
∵O是正方形ABCD对角线交点，∴O为BD的中点，
由M为线段PD的中点，∵PB∥OM，
又OM 平面ACM，PB 平面ACM，
∴PB∥平面ACM；
（2）因为PA平面ABCD，则PBA就是PB与平面ABCD所成的角，
∵底面是边长为1的正方形, ∴AD=AB=1,，
则在直角△PBA中，PA=AD=AB=1，得PBA=
∴ PB与平面ABCD所成的角为；
20．学习强国APP从2021年起，开设了一个“四人赛”的答题模块，规则如下：用户进入“四人赛”后共需答题两局，每局开局时，系统会自动匹配3人与用户一起答题，每局答题结束时，根据答题情况四人分获第一 二 三 四名.首局中的第一名积3分，第二 三名均积2分，第四名积1分；第二局中的第一名积2分，其余名次均积1分，两局的得分之和为用户在“四人赛”中的总得分.假设用户在首局获得第一 二 三 四名的可能性相同；若首局获第一名，则第二局获第一名的概率为，若首局没获第一名，则第二局获第一名的概率为.
(1)设用户首局的得分为，求的分布列；
(2)求用户在“四人赛”中的总得分的期望值.
【解析】的所有可能取值为，，，
，，
其分布列为
(2)
方法一：设总得分为，则的取值为，，，，
则，
，
的分布列为
Y 5 4 3 2
P
所以.
方法二：.
设第二局得分为，则的取值为，.
则有，
化简得Y的分布列为
，
四人赛总分期望为
21．已知椭圆：，，分别为椭圆的左 右焦点，焦距为4.过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于M，N两点，已知的周长为，点M关于x轴的对称点为P，直线PN交x轴于点Q.
(1)求椭圆的方程；
(2)求四边形面积的最大值.
【解析】 (1)的周长为，由椭圆定义得，即.又焦距，得，
则，所以椭圆的方程为；
(2)设直线的方程为，联立得，设，
则，点，直线的方程为，
令得，即，又，
故，
当且仅当时即时等号成立，所以四边形面积的最大值为.
22．已知函数是偶函数.
（1）求实数的值；
（2）设，若函数有唯一的零点，求实数的取值范围.
【解析】（1）是偶函数，， ，
.此式对于一切恒成立，
（2）函数与的图象有且只有一个公共点，等价于方程有唯一的
实数解，等价于方程有唯一实数解，且，
令，则此问题等价于方程只有一个正实根，且，
当，即时，则不合题意舍去；
当，即时，①若，即或，
当时，代入方程得，不合题意；当时，得，符合题意；
②若方程有一个正根和一个负根，即，即，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是
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