巧用“1”的代换运用基本不等式专题课件-2021-2022学年人教A版（2019） 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式(共15张PPT)

(共15张PPT)
巧用“1”的代换运用基本不等式
基础篇
使用“1”的代换解题的结构特征：
①都可转化为条件求最值问题，且已知是“和式”，所求也是“和式”，同时要求两和式是一整式，一分式（或化为分式）；
②已知“和式”可变为常数“1”；
③两个“和式”都是齐次式或可变为齐次式。
符合上述特征的题目，通过“1”的代换轻松解决问题。
【使用情景】
直接使用“1”的代换
部分使用“1”的代换
构造“1”的代换
隐藏“1”的代换
直接使用“1”的代换
例1.已知,,且,求的最小值.
【解答】 ∵ ,,且,
∴
,
∴ 的最小值为12.
以上解法正确吗？为什么？
错因分析：
解法中两次连用基本不等式，
等号成立的条件是，即,
等号成立的条件是，
取等号的条件的不一致，产生错误.
总结：
在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法.
正解：∵ ,,且,
∴
,
当且仅当时，上述等号成立，
又,,且,
∴ 当时，的最小值为12.
【解答】 ∵ ,,且,
∴
当且仅当时，上述等号成立，
又,,且,
∴ 当时，的最小值为12.
例1.已知,,且,求的最小值.
“和式”为齐次式，
且为分式，和为常数1
“和式”为齐次式，
且为整式
第一步：条件与所求式子相乘并展开
第二步：运用基本不等式求最值
第三步：验证等号成立的条件
例题2.设,,若,则的最小值是( ).
A. B. C. D.
∵ ,,且,
∴
当且仅当时，上述等号成立，
又,,且,
∴ 当时，的最小值为.
故选B.
【解答】
注意：当条件和式不为常数1时，应作如下变形：
例3.若正数满足,则的最小值是( ).
A. B. C. 5 D. 6
【审题视点】由于已知形为,符合“1”的代换法解题方针.
∵ ,,且,
∴，
∴
当且仅当时，上述等号成立，∴ 的最小值为.
故选C.
【解答】
互动1.
若正数满足,求的最小值，解答该题目时可以用“1”的代换吗？
A. 可以 B. 不可以 C. 不晓得
部分使用“1”的代换
若形如“已知,求(都为正数的最小值”,只需部分使用“1”的代换，
即
例4.设正数满足且,则的最小值为____________.
【审题视点】变形为,代入可得，运用基本不等式求解即可.
【解答】
∵,,且,
∴
当且仅当时，上述等号成立，
即当时，的最小值为.
互动2.
通过本次课程的学习，你理解用“1”的代换中“1”的含义吗？
A. 理解 B. 不理解 C. 似懂非懂
总结
特征：
已知，求形式.
“1”的代换解题策略：
利用已知的条件或将已知条件变形得到含“1”的式子，
将“1”代入后再利用基本不等式求最值.
注意：
1.“1”的代换是解决问题的关键，
代换变形后能使用基本不等式是代换的前提， 不能盲目变形．
2. 验证等号成立的条件.
感谢聆听