广东省新高考2022届高三下学期5月数学模拟押题卷(三)（Word版含解析）

广东新高考数学模拟押题卷(三)
本试卷满分150分，考试用时120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为实数集R，集合A＝{x|(x＋1)(2－x)≥0}，则 RA＝(　　)
A．{x|－1≤x≤2} B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|x≤－1或x>2} D．{x|－12．已知复数z满足z(2＋i)＝|3＋4i|(其中i为虚数单位)，则复数＝(　　)
A．2－i B．－2＋i C．2＋i D．－2－i
3．为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某市抽调三所中学进行中学生体育达标测试，现简称为A校、B校、C校．现对本次测试进行调查统计，得到测试成绩排在前200名学生层次分布的饼状图、A校前200名学生的分布条形图，则下列结论不一定正确的是(　　)
　
A．测试成绩前200名学生中B校人数超过C校人数的1.5倍
B．测试成绩前100名学生中A校人数超过一半以上
C．测试成绩在51～100名学生中A校人数多于C校人数
D．测试成绩在101～150名学生中B校人数最多29人
4．函数f(x)＝的图象大致为(　　)
　
5．已知函数y＝f(x)，x∈[－2π，2π]的图象如图所示，则该函数的解析式可能为(　　)
A．f(x)＝cos x－|sin x| B．f(x)＝sin x－|cos x|
C．f(x)＝cos x＋|sin x| D．f(x)＝cos 2x－|cos x|
6．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员，现从中选3人去甲村，若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有(　　)
A．35种 B．30种 C．28种 D．25种
7．已知F1，F2分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin ∠PF2F1＝3sin ∠PF1F2，则椭圆E的离心率为(　　)
A. B. C. D.
8．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为(　　)
参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771
A．6 B．7 C．8 D．9
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知曲线C的方程为＋＝1(m∈R)，则(　　)
A．当m＝1时，曲线C为圆
B．当m＝5时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y＝±x
C．当m>1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆
D．存在实数m使得曲线C为双曲线，其离心率为
10．下列说法正确的是(　　)
A．直线(3＋m)x＋4y＝5－3m与2x＋(5＋m)y＝8平行，则m＝－1
B．正项等比数列{an}满足a1＝1，a2a4＝16，则S4＝15
C．在△ABC中，B＝30°，b＝1，若三角形有两解，则边长c的范围为1D．函数f(x)＝a－为奇函数的充要条件是a＝
11．已知函数f(x)＝(2cos2ωx－1)sin 2ωx＋cos 4ωx(ω>0)，则下列说法正确的是(　　)
A．若f(x)的两个相邻的极值点之差的绝对值等于，则ω＝2
B．当ω＝时，f(x)在区间上的最小值为－
C．当ω＝1时，f(x)在区间上单调递增
D．当ω＝1时，将f(x)图象向右平移个单位长度得到g(x)＝sin的图象
12．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是(　　)
A．平面PB1D⊥平面ACD1
B．A1P∥平面ACD1
C．异面直线A1P与AD1所成角的范围是
D．三棱锥D1 APC的体积不变
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．
13．函数f(x)＝(x＋2)e－x的图象在点(0，f(0))处的切线方程为________．
14．已知随机变量X～N(0，σ2)，且P(X>a)＝m，a>0，则P(－a15．将一个正方形绕着它的一边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为27π，则该几何体的全面积为________．
16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，且＝λ，·＝－2，则实数λ的值为________，若M，N是线段BC上的动点，且||＝1，则·的最小值为________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知数列{an}是等差数列，且a1＝1，a10－a2＝8，求：
(1){an}的通项公式；
(2)设数列的前n项和为Sn，若Sn≤(m∈N＋)对任意n∈N＋恒成立，求m的最小值．
18．(本小题满分12分)
在△ABC中，∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，满足BD＝2DC.
(1)求证：AB＝2AC；
(2)若AD＝BD＝2，求∠BAC的大小．
19．(本小题满分12分)
如图，在三棱锥P ABC中，AB⊥BC，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC中点．
(1)证明：直线PO⊥平面ABC；
(2)若点M在棱BC上，BM＝MC，且AB＝BC，求直线PC与平面PAM所成角的余弦值．
20．(本小题满分12分)
每年春天，婺源的油菜花海吸引数十万游客纷至沓来，油菜花成为“中国最美乡村”的特色景观，三月，婺源篁岭油菜花海进入最佳观赏期．现统计了近七年每年(2015年用x＝1表示，2016年用x＝2表示)来篁岭旅游的人次y(单位：万人次)相关数据，如下表所示：
x 1 2 3 4 5 6 7
旅游人次y(单位：万人次) 29 33 36 44 48 52 59
(1)若y关于x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程y＝x＋，并预测2022年篁岭的旅游的人次；
(2)为维持旅游秩序，今需A、B、C、D四位公务员去各景区值班，已知A、B、C去篁岭值班的概率均为，D去篁岭值班的概率为，且每位公务员是否去篁岭值班不受影响，用X表示此4人中去篁岭值班人数，求X的分布列与数学期望．
参考公式：＝，＝－.
参考数据：i＝301，xi－)(yi－)＝140.
21．(本小题满分12分)
已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半轴上，直线l：mx＋y－＝0经过抛物线C的焦点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线l与抛物线C相交于A、B两点，过A、B两点分别作抛物线C的切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值．
参考答案
1．答案：B
解析：由(x＋1)(2－x)≥0，解得－1≤x≤2，∴A＝{x|－1≤x≤2}，∴ RA＝{x|x<－1或x>2}．
2．答案：C
解析：∵z(2＋i)＝|3＋4i|＝＝5，∴z＝＝＝2－i，则＝2＋i.
3．答案：C
解析：对于A，B校人数为200×34%＝68，C校人数为200×20%＝40，因为68>40×1.5＝60，所以A正确；对于B，A校前100名的人数有29＋25＝54>50，所以B正确；对于C，A校在51～100名的学生有25人，C校在1～200名的学生有40人，也有可能在51～100名的学生有25人，所以C错误；对于D，A校在1～100名和151～200名的学生共有29＋25＋17＝71人，A校在101～150的有21人，C校在1～200名的有40人，但在101～150的不一定有40人，而三个学校中在1～100名和151～200名内的人数至少有150人，所以B校至少有150－71－40＝39人在1～100名和151～200名内，则B至多有68－39＝29人在101～150内，所以D正确．
4．答案：A
解析：因为f(－x)＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；因为f(π)＝>0，所以排除C.
5．答案：A
解析：取x＝0，对于A：f(0)＝cos 0－|sin 0|＝1－0＝1；对于B：f(0)＝sin 0－|cos 0|＝0－1＝－1；对于C：f(0)＝cos 0＋|sin 0|＝1＋0＝1；对于D：f(0)＝cos 0－|cos 0|＝1－1＝0，结合图象中f(0)＝1，故排除BD；取x＝，对于A：f＝cos－＝0－1＝－1，对于C：f＝cos＋＝0＋1＝1，结合图象，可排除C.
6．答案：B
解析：从7名党员选3名去甲村共有C种情况，3名全是男性党员共有C种情况，3名全是女性党员共有C种情况，3名既有男性，又有女性共有C－C－C＝30种情况．
7．答案：B
解析：F1，F2分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，
P是椭圆E上的点，PF1⊥PF2，且sin ∠PF2F1＝3sin ∠PF1F2，由正弦定理可得|PF1|＝3|PF2|，
令|PF1|＝3|PF2|＝3n，则3n＋n＝2a,9n2＋n2＝4c2，可得a2＝4c2，
所以椭圆的离心率为：e＝＝＝.
8．答案：D
解析：记an为第n次去掉的长度，a1＝，剩下两条长度为的线段，第二次去掉的线段长为a2＝2×＝，
第n－1次操作后有2n－1条线段，每条线段长度为，因此第n次去掉的线段长度为an＝2n－1××＝，
所以Sn＝＝1－n≥，n≤，n(lg 2－lg 3)≤－3lg 3，n≥≈8.13，n的最小值为9.
9．答案：AB
解析：对于A，m＝1时，方程为＋＝1，即x2＋y2＝2，曲线C是圆，A正确；对于B，m＝5时，方程为－＝1，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y＝±x，B正确；对于C，m>1时，不妨令m＝5，由选项B知，曲线C为双曲线，C不正确；对于D，要曲线C为双曲线，必有(m＋1)(3－m)<0，即m<－1或m>3，
m<－1时，曲线C：－＝1，m>3时，曲线C：－＝1，
因双曲线离心率为时，它实半轴长与虚半轴长相等，而－(m＋1)≠3－m，m＋1≠m－3，D不正确．
10．答案：BCD
解析：若直线(3＋m)x＋4y＝5－3m与2x＋(5＋m)y＝8平行，
则，解得：m＝－7，故选项A不正确；
数列{an}满足a1＝1，a2a4＝16，所以a＝16，所以a3＝a1q2＝q2＝4，可得q＝2，
所以S4＝＝＝15，故选项B正确；
在△ABC中，B＝30°，b＝1，由正弦定理可得＝，即c＝2sin C，
因为A＋C＝180°－30°＝150°，因为C有两个值，且两个值互补，
若C≤30°，则其补角大于150°，则B＋C>180°不成立，
所以30°所以30°函数f(x)＝a－为奇函数，则f(0)＝a－＝0，可得a＝，当a＝时，
f(x)＝－，
f(－x)＝－＝－＝－＝－1＋＝－＋＝－f(x)，
所以当a＝时，f(x)是奇函数，函数f(x)＝a－为奇函数的充要条件是a＝，故选项D正确．
11．答案：BD
解析：f(x)＝(2cos2ωx－1)sin 2ωx＋cos 4ωx＝cos 2ωxsin 2ωx＋cos 4ωx＝sin 4ωx＋cos 4ωx＝sin，
A．f(x)的两个相邻的极值点之差的绝对值等于，则T＝2×＝，＝，ω＝1，A错；
B．当ω＝时，f(x)＝sin，x∈时，2x＋∈，f(x)的最小值为×＝－，B正确；
C．当ω＝1时，f(x)＝sin，x∈时，4x＋∈，
因此在此区间上，函数不单调，C错；
D．ω＝1时，f(x)＝sin，将f(x)图象向右平移个单位长度得到图象的解析式为g(x)＝sin＝sin，D正确．
12．答案：ABD
解析：根据正方体的性质，可得DB1⊥平面ACD1，又由DB1 平面PB1D，则平面PB1D⊥平面ACD1，故A正确；
连接A1B，A1C1，在正方体中，可得平面BA1C1∥平面ACD1，又由A1P 平面BA1C1，所以A1P∥平面ACD1，故B正确；
当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，故A1P与AD1所成角的范围是，故C错误；
VD1 APC＝VC AD1P，因为点C到平面AD1P的距离不变，且△AD1P的面积不变，所以三棱锥C AD1P的体积不变，故D正确．
13．答案：x＋y－2＝0
解析：∵f(x)＝(x＋2)e－x，∴f′(x)＝e－x－(x＋2)e－x＝－(x＋1)e－x，则f′(0)＝－1.因为f(0)＝2，所以所求切线方程为y－2＝－x，即x＋y－2＝0.
14．答案：1－2m
解析：由X～N(0，σ2)，且P(X>a)＝m，a>0，则P(X<－a)＝m，所以P(－a15．答案：36π
解析：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27π，设正方体的边长为a，则V＝πa2·a＝27π，解得a＝3，∴该圆柱的全面积为S＝2π×3×3＋2×π×32＝36π.
16．答案：　
解析：因为＝λ，所以∥，
因为∠B＝60°，所以∠BAD＝120°，
所以·＝||·||cos 120°＝－λ||·||＝－λ×6×2＝－2 λ＝；
建立如图所示的坐标系xOy，因为∠B＝60°，AB＝2，BC＝6，可得A(0，)，D(2，)，
设M(m,0)，因为||＝1，则N(m＋1,0)，所以＝(m，－)，＝(m－1，－)，
·＝m(m－1)＋()2＝m2－m＋3＝2＋≥，
当m＝时等号成立，所以·的最小值为.
17．解析：(1)设数列{an}公差为d，则a10＝a1＋9d，a2＝a1＋d，则a10－a2＝a1＋9d－(a1＋d)＝8，解得d＝1.
∴{an}的通项公式为：an＝1＋(n－1)·1＝n.
(2)根据题意，Sn＝＋＋…＋＝＋＋…＋
＝×
＝×
＝×＝－<.
若Sn≤(m∈N＋)对任意n∈N＋恒成立，则≥，解得m≥9.∴m的最小值为9.
18．解析：(1)证明：因为AD为∠BAC的角平分线，故∠BAD＝∠DAC，
在△ABD中，由正弦定理可得：＝①，
在△ADC中，由正弦定理可得：＝②，
由①和②可得＝，
又∠ADC＋∠ADB＝180°，故sin ∠ADC＝sin ∠ADB，
可得：＝＝2，即AB＝2AC；
(2)由题意可知AD＝BD＝2，DC＝1，由(1)知AB＝2AC，不妨设AB＝2AC＝2x.
在△ABD中，由余弦定理可得：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos ∠ADB，
即4x2＝8－8cos ∠ADB③，
在△ADC中，由余弦定理可得：AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos ∠ADC，
即x2＝5－4cos ∠ADC④，
由又∠ADC＋∠ADB＝180°，故cos ∠ADC＝－cos ∠ADB，
由③和④可解得：x＝，cos ∠ADC＝，
从而可得AB＝2，AC＝，BC＝3，
在△ABC中，由余弦定理得：cos ∠BAC＝＝，
又0°<∠BAC<180°，故∠BAC＝60°.
19．解析：(1)∵PA＝PC，且O为AC中点，∴PO⊥AC，∵AB⊥BC，且O为AC中点，
∴OB＝AC＝2，
∵PA＝PC＝AC＝4，且O为AC中点，∴PO＝2，∵PB＝4，OB＝2，PO＝2，
∴PB2＝PO2＋OB2，∴PO⊥OB，
∵OB，AC 平面ABC，且OB∩AC＝O，∴PO⊥平面ABC.
(2)∵AB＝BC，且O为AC中点，∴AC⊥OB，从而OB，OC，OP两两垂直，
如图，建立以O为原点，且OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，
则A(0，－2,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,0,0)，
设M(x，y，z)，由BM＝MC，即＝，所以(x－2，y，z)＝(－x,2－y，－z)，所以，解得M，
∴＝(0,2，－2)，＝(0，－2，－2)，＝，
不妨设平面PAM的一个法向量为n＝(x，y，z)，故n⊥，n⊥，
∴令z＝1，则x＝2，y＝－，∴n＝(2，－，1)，
设直线PC与平面PAM所成角为θ，∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，
因为θ∈，所以cos θ＝＝＝，∴直线PC与平面PAM所成角的余弦值为.
20．解析：(1)由表知：＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝(29＋33＋36＋44＋48＋52＋59)＝43，
则＝＝＝5，
＝－＝－5×4＝23，
所以y＝5x＋23，
因为2015年用x＝1表示，所以2022年是x＝8时，得y＝5×8＋23＝63(万人次)；
(2)X的可能取值是0,1,2,3,4
则P(X＝0)＝C×3×＝，
P(X＝1)＝C×2××＋C×3×＝，
P(X＝2)＝C××2×＋C×2××＝，
P(X＝3)＝C×3×＋C××2×＝，
P(X＝4)＝C×3×＝，
则X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
故数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
21．解析：(1)设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)．∵直线l：mx＋y－＝0经过抛物线C的焦点，
∴m×0＋－＝0，解得p＝3.∴抛物线C的方程为x2＝6y.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得x2＋6mx－9＝0.
∵Δ＝36m2＋36>0，x1＋x2＝－6m，x1x2＝－9，∴|AB|＝·＝6(1＋m2)．
由x2＝6y得y＝.∴y′＝.∴抛物线C经过点A的切线方程是y－y1＝(x－x1)，
将y1＝代入上式整理得y＝x－.同理可得抛物线C经过点B的切线方程为y＝x－.
解方程组得，∴.
∴P到直线mx＋y－＝0的距离d＝＝3，
△ABP的面积S＝|AB|d＝×6×(1＋m2)×3＝9(m2＋1).
∵m2＋1≥1，∴S≥9.当m＝0时，S＝9.∴△ABP面积的最小值为9.
22．解析：(1)由题意可得，f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，即ax2>xln x，∴a>恒成立．
令h(x)＝，则h′(x)＝，由h′(x)>0得0e；
所以h(x)在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减，因此h(x)max＝h(e)＝，∴只需a>；
(2)由xln x－ax2＝0知ln x＝ax，由题意，可得：ln m＝am，ln n＝an，
所以ln m－ln n＝a(m－n)，即a＝，
又ln m＋ln n＝a(m＋n)＝(m＋n)＝ln
令t＝，t∈(1,2]，则ln mn＝ln t，
令g(t)＝，t∈(1,2]，则g′(t)＝，
令φ(t)＝t－2ln t－，则φ′(t)＝1－＋＝≥0显然恒成立，∴φ(t)递增，
∴t∈(1,2]时，φ(t)>φ(1)＝0，∴g′(t)>0，即g(t)在t∈(1,2]上递增，
因此g(t)max＝g(2)＝3ln 2，∴ln m＋ln n最大值为3ln 2，∴mn最大值为8.
22．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝xln x－ax2.
(1)若f(x)的图象恒在x轴下方，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)有两个零点m、n，且1<≤2，求mn的最大值．