4.5.2 用二分法求方程的近似解 教学设计（表格式）

第五章 函数的应用（二）
4.5.2 二分法求方程的近似解
《数学1必修本（A版）》的第五章4.5.2用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。
课程目标 学科素养
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件． 2.了解二分法是求方程近似解的常用方法，能借助计算器用二分法求方程的近似解． 3.会用二分法求一个函数在给定区间内的零点，从而求得方程的近似解． a.数学抽象：二分法的概念； b.逻辑推理：运用二分法求近似解的原理； c.数学运算：运用二分法求具体方程的近似解； d.直观想象：运用函数图像理解二分法的原理； e.数学建模：体会二分法中的算法思想；
教学重点：用“二分法”求方程的近似解
教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，利用二分法求给定精确度的方程的近似解．
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教学过程 设计意图 核心教学素养目标
（一）创设问题情境 1．函数的零点:使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point） 2、零点存在判定法则 提出问题 我们已经知道，函数在区间（２，３） 内存在一个零点．进一步的问题是，如何求出这个零点呢？ （二）问题探究 一个直观的想法是：如果能将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，就可以得到符合要求的零点的近似值．为了方便，可以通过取区间中点的方法，逐步缩小零点所在的范围．取区间（２，３）的中点2.5，用计算工具算得f（ 2.5 ）≈－0.084．因为f（ 2.5 ）f（３）＜０，所以零点在区间（ 2.5 ，３）内．　 再取区间（ 2.5 ，３）的中点2.75 ，用计算工具算得f（ 2.75 ≈0.512．因为f（ 2.5 ）f（ 2.75 ）＜０，所以零点在区间（ 2.5 ， 2.75 ）内． 由于（２，３）（2.5，３） （2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了．如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小,这样，我们就可以通过有限次重复相同的步骤，将零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内的任意一点都可以作为函数零点的近似值．为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值． 概念解析：1．二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·_f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 思考：若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？ 连续不断；f(a)·f(b)<0；一分为二；零点 [提示]　二分法只适用于函数的变号零点(即函数在零点两侧符号相反)，因此函数在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解． 2．二分法求函数零点近似值的步骤 f(a)·f(b)<0；f(c)=0；b=c；(a，c)；f(c)·f(b)<0；(c，b)；|a－b|<ε 1．思考辨析 (1)二分法所求出的方程的解都是近似解．(　　) (2)函数f(x)＝|x|可以用二分法求零点．(　　) (3)用二分法求函数零点的近似值时，每次等分区间后， 零点必定在右侧区间内．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)× 2．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　) A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001 C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001 B　[据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．] 3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________． x3　[∵x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．] 4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算得f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________. 例1.借助信息技术，用二分法求方程+3x=７的近似解（精确度为0.1）． 解：原方程即+3x=７，令+3x-７，用信息技术画出函数的图象并列出它的对应值表; 观察图或表，可知f（１）f（２）＜０，说明该函数在区间（１，２）内存在零点．取区间（１，２）的中点＝１．５，用信息技术算得f（1.5）≈0.33．因为f（１）f（1.5）＜０，所以∈（１，1.5）．　再取区间（１，1.5）的中点＝1.25，用信息技术算得f（1.25）≈－0.87．因为f（1.25）f（1.5）＜０，所以∈（1.25，1.5）．同理可得，∈（1.375，1.5），∈（ 1.375 ， 1.4375 ）．由于｜ 1.375 － 1.4375 ｜＝0.0625＜0.1， 所以，原方程的近似解可取为1.375 ． 口 诀：周而复始怎么办 精确度上来判断.定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间. 通过零点和零点判定定理的回顾，提出新的问题，提出运用函数求解方程近似解的思路；培养和发展逻辑推理和数学抽象、直观想象的核心素养。 通过特殊的方程求解问题的探究，推广一般的方程求解问题的方法，即二分法，；发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养； 通过对二分法概念的辨析，发展学生数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养；
三、当堂达标 1．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是(　　) A．“二分法”求方程的近似解一定可将y＝f(x)在[a，b]内的所有零点得到 B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y＝f(x)在[a，b]内的零点 C．应用“二分法”求方程的近似解，y＝f(x)在[a，b]内有可能无零点 D．“二分法”求方程的近似解可能得到f(x)＝0在[a，b]内的精确解 【答案】D　[二分法求零点，则一定有且能求出，故B，C不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A不正确，故选D.] 2．通过下列函数的图象，判断能用“二分法”求其零点的是(　　) A　　　　　B 　　　　C　　　　　D 【答案】C　[在A中，函数无零点．在B和D中，函数有零点，但它们在零点左右的函数值符号相同，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且在交点两侧的函数值符号相反，所以C中的函数能用二分法求其零点．] 3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是(　　) A．[－2,1] B．[－1,0] C．[0,1] D．[1,2] 【答案】A　[∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算．] 4．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间). 【答案】(2,3)　[因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内．] 5．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表： x1.001.251.3751.50f(x)1.079 40.191 8－0.360 4－0.998 9
由表中的数据，求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)． 【答案】因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解． 通过练习巩固本节所学知识，巩固对二分法的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。
四、小结 用二分法求解方程的近似解： 1、确定区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε 2、求区间(a,b)的中点x1 3、计算f(x1); (f(a)>0,f(b)<0) (1) 若f(x1)=0,则x1就是函数的零点 (2) 若f(x1)<0,则令b= x1(此时零点x0∈(a,x1)) (3) 若f(x1)>0,则令a= x1(此时零点x0∈(x1,b)) 4、判断是否达到精确度ε，即若|a-b|< ε,则得到零点的近似值a(或b)；否则得反复2～4 五、作业 1. 课时练 2. 预习下节课内容 学生根据课堂学习，自主总结知识要点，及运用的思想方法。注意总结自己在学习中的易错点；