5.1.2 弧度制 教学设计（表格式）

5.1.2 弧度制
本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。
课程目标 学科素养
A.理解角集与实数集的一一对应，熟练掌握角度制与弧度制间的互相转化；? B.能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题； C.找出弧度与角度换算的方法，领悟从特殊到一般的思想方法。 1.数学抽象： 角集与实数集间的一一对应； 2.逻辑推理：弧长公式及扇形的面积公式； 3.数学运算：求扇形的弧长和面积； 4.直观想象：由函数的图象表示函数； 5.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。
1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；
2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。
教学过程 教学设计意图 核心素养目标
复习回顾，温故知新 1. 在平面几何里，度量角的大小用什么单位？ 【答案】角度制的单位有：度、分、秒。 2.1°的角是如何定义的？ 【答案】规定：圆周1/360的圆心角称作1°角。 这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制 . 日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80厘米，也可以说长0.8米，显然两种结果出现了不同的数值。在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度 — 弧度制，它是如何定义呢？ 二、探索新知 探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？ 角度为300、600的圆心角，半径r=1,2,3时， （1）分别计算相对应的弧长l （2）分别计算对应弧长与半径之比 思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？ 【答案】①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关； ②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关； 1.弧度的概念 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角. 弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是rad. 约定： 正角的弧度数为正数， 负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为0. 思考1:圆的半径为r,弧长分别为2r、-3r,则它们所对圆心角的弧度 数是多少 【答案】2rad,-3rad. 思考2：如果半径为r的圆的圆心角α所对的弧长为l，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？ 【答案】 结论：圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径长的比的绝对值。 2.角度与弧度的换算 思考3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？ 【答案】360 ，。 思考4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad等于多少度？ 【答案】 把 67°30′化成弧度。 【解析】因为 所以。 把下列各角的弧度化为度数。 【解析】（1） 注：角度制与弧度制互化时要抓住 180°= rad 这个关键。 注: 常规写法 ① 用弧度数表示角时，常常把弧度数 写成多少的形式，不必写成小数． ②用弧度制表示角时,“弧度”二字或 “rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数. ③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:。 填写下列表中特殊角的弧度数或度数。 角度00300600120013502700弧度
角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系， 任意角的集合 实数集R 例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1） 。（其中R是扇形的半径，是弧长，，S是扇形的面积）。 通过复习初中所学角的单位及定义，类比长度的不同度量制，用类比的方法、联系的观点引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 通过探究与思考，寻找弧长、半径与圆心角之间的关系，进而得弧度的定义，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 通过思考，进一步巩固弧度制的定义，提高学生分析问题、概括能力。 通过思考，归纳弧度与角度的互化。提高学生分析问题、概括能力。 通过例题学会角度与弧度的转化，提高学生解决问题的能力。 通过例题总结弧度制下的扇形的弧长公式、扇形的面积公式，提高学生的观察、概括能力。
三、达标检测 1．正确表示终边落在第一象限的角的范围的是(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 【解析】　B中k＝1时为显然不正确；因为第一象限角不含终边在坐标轴的角故C、D均错，只有A正确． 【答案】　A 2．与30°角终边相同的角的集合是(　　) A． B．{α|α＝2kπ＋30°，k∈Z} C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z} D． 【解析】　∵30°＝30× rad＝ rad， ∴与30°终边相同的所有角可表示为 α＝2kπ＋，k∈Z，故选D． 【答案】　D 3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　) A．π B．π C．π D．π 【解析】　240°＝240× rad＝πrad， ∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，选A． 【答案】　A 4．将－1 485°化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为_______． 【解析】　由－1 485°＝－5×360°＋315°， 所以－1 485°可以表示为－10π＋π. 【答案】　－10π＋π 5．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数． 【解析】　设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α， 则2R＋l＝4.① 由扇形的面积公式S＝ lR，得lR＝1.② 由①②得R＝1，l＝2，∴α＝＝2 rad. ∴扇形的圆心角为2 rad. 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
四、小结 1. 1弧度角的定义； 2.角度制与弧度制的联系与区别； 3.弧长公式与扇形的面积公式; 五、作业 习题5.1 5.（2）、（4）,6.（1）,9题 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。
学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。只是学生的作业还是做得不太好。所以在讲解作业的时候要继续加强弧度制的定义的理解。