5.2.1 三角函数的概念 教学设计

【新教材】5.2.1 三角函数的概念
三角函数是描述周期运动现象的重要的数学模型，有非常广泛的应用。三角函数的概念是在初中对锐角三角函数的定义以及刚学过的“角的概念的推广”的基础上讨论和研究的。三角函数的定义是本章最基本的概念，对三角内容的整体学习至关重要，是其他所有知识的出发点。紧紧扣住三角函数定义这个宝贵的源泉，可以自然地导出本章的具体内容：三角函数线、定义域、符号判断、值域、同角三角函数关系、多组诱导公式、多组变换公式、图象和性质。 三角函数的定义在教材中起着承前启后的作用，一方面，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念，另一方面它又为平面向量、解析几何等内容的学习作必要的准备。三角函数知识还是物理学、高等数学、测量学、天文学的重要基础。
课程目标
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．
3.掌握公式一并会应用．
数学学科素养
1.数学抽象：理解任意角三角函数的定义；
2.逻辑推理：利用诱导公式一求三角函数值；
3.直观想象：任意角三角函数在各象限的符号；
4.数学运算：诱导公式一的运用.
重点：①借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；
②掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号.
难点：理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
情景导入
在初中我们学习了锐角三角函数，那么锐角三角函数是如何定义的？若将锐角放入直角坐标系中，你能用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？若以单位圆的圆心O为原点，你能用角的终边与单位圆的交点来表示锐角三角函数吗？那么，角的概念推广之后，三角函数的概念又该怎样定义呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本177-180页，思考并完成以下问题
1．任意角三角函数的定义？
2．任意角三角函数在各象限的符号？
3．诱导公式一？
要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究
1．单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2．任意角的三角函数的定义
(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
图1 2 1
(2)结论
①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；
③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．
(3)总结
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．
思考：若已知α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，则其三角函数定义为？
在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点O的距离是r(r＝＞0)．
三角函数 定义 定义域 名称
R 正弦
R 余弦
正切
正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数.
3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号
(1)图示：
图1 2 2
(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
5．诱导公式一
四、典例分析、举一反三
题型一 三角函数的定义及应用
例1 　在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y＝－2x上，求sin α，cos α，tan α的值．
【答案】当α的终边在第二象限时，sin α＝，cos α＝－，tan α＝－2.
当α的终边在第四象限时， sin α＝－，cos α＝，tan α＝－2.
【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P(－1，2)，则r＝＝，
所以sin α＝＝，cos α＝＝－，tan α＝＝－2.
当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P′(1，－2)，则r＝＝，
所以sin α＝＝－，cos α＝＝，tan α＝＝－2.
解题技巧：（已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法）
(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．
(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
跟踪训练一
1．已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
【答案】当x＝1时，sin θ＝，tan θ＝3；
当x＝－1时，此时sin θ＝，tan θ＝－3.
【解析】由题意知r＝|OP|＝，由三角函数定义得cos θ＝＝.
又∵cos θ＝x，∴＝x.∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
题型二 三角函数值的符号
例2　 (1)若α是第四象限角，则点P(cos α，tan α)在第________象限．
(2)判断下列各式的符号：①sin 183°；②tan ；③cos 5.
【答案】（1）四； （2）　①sin 183°<0；②tan <0；③cos 5>0.
【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cos α>0，tan α<0，∴点P(cos α，tan α)在第四象限．
(2)　①∵180°<183°<270°，∴sin 183°<0；
②∵<<2π，∴tan <0；③∵<5<2π，∴cos 5>0.
解题技巧：(判断三角函数值在各象限符号的攻略)
(1)基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；
(2)关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；
(3)注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误．
提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号．
跟踪训练二
1．确定下列式子的符号：
(1) tan 108°·cos 305°；(2)；(3)tan 120°·sin 269°.
【答案】(1) tan 108°·cos 305°＜0；(2) ＞0；
（3）tan 120°sin 269°＞0.
【解析】(1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0.
∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0.从而tan 108°·cos 305°＜0.
(2)∵是第二象限角，是第四象限角，是第二象限角，
∴cos ＜0，tan＜0，sin ＞0.从而＞0.
(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0，∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0.
从而tan 120°sin 269°＞0.
题型三 诱导公式一的应用
例3 求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；
(2)sincos＋tancos.
【答案】（1）；（2）.
【解析】　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
(2)原式＝sincos＋tan·cos
＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.
解题技巧：（利用诱导公式一进行化简求值的步骤）
(1)定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π)，k∈Z.
(2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值．
(3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
跟踪训练三
1．化简下列各式：
(1)a2sin(－1 350°)＋b2tan 405°－2abcos(－1 080°)；
(2)sin＋cosπ·tan 4π.
【答案】（1）(a－b)2 ； （2）.
【解析】(1)原式＝a2sin(－4×360°＋90°)＋b2tan(360°＋45°)－2abcos(－3×360°)
＝a2sin 90°＋b2tan 45°－2abcos 0°
＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.
(2)sin＋cosπ·tan 4π
＝sin＋cosπ·tan 0＝sin＋0＝.
五、课堂小结
让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧
六、板书设计
(
5.2.1
三角函数的概念
1.
三角函数的定义
例
1
例
2
例
3
2
．三角函数在各象限的符号
3
．诱导公式一
)
七、作业
课本179页练习及182页练习.
本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，借助单位圆探究任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念，且借助单位圆与直角坐标系探究三角函数在各个象限符号，并会灵活运用.