6.4平面向量的应用 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．平行四边形ABCD满足条件（）·（）=，则平行四边形ABCD为（ ）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．任意平行四边形
3．人们通常把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，因为它的底边和腰长的比值等于黄金分割比，我们熟悉的五角星就是由5个黄金三角形和1个正五边形组成的，如图，三角形ABC就是一个黄金三角形，根据以上信息，可得=（ ）
A． B． C． D．
4．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面上选择相距10米的，两个观测点，并在，两点处分别测得塔顶的仰角分别为和，且，则此建筑物的高度为（ ）
A．米 B．米
C．10米 D．5米
7．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度约为(，)（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．在△ABC中，角A B C的对边分别为a b c，若a=1，b=，B=60°，则A=（ ）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
9．已知△ABC的内角A B C所对的边分别为a b c，下列四个命题中，不正确的命题是（ ）
A．若，则一定是等腰三角形
B．若，则是等腰或直角三角形
C．若，则一定是等腰三角形
D．若，且，则是等边三角形
10．在中，，，分别为，，的对边，为的外心，且有，，若，，则（ ）
A．0 B． C．1 D．-2
11．2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
A．346 B．373 C．446 D．473
12．已知在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．在锐角中，，则角A的大小为___________.
14．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则_______.
15．已知，，O为坐标原点，，则的最小值为______．
16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________．
三、解答题
17．如图，从山顶到山脚有两条线路供游人选择，一条从沿直线路径步行到达，另一条从乘缆车到达后，然后沿直线路径步行到，已知米，经测量得（且为锐角）．
（1）求路径的长；
（2）甲从以m/min的速度沿步行1min后，乙乘缆车以130m/min的速度驶向，求甲出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最小．
18．在中，，，分别为角，，的对边，且.
（1）求角；
（2）若的面积为，边上的高，求，.
19．在中，内角，，所对的边分别是，，，已知.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求的取值范围.
20．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且.
(1)求角C；
(2)若，求c的取值范围.
21．在中，，．
(1)求的大小：
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：边上的高．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．D
先利用正弦定理化简，可得，然后利用三角形的面积为10，列方程可求出的值
【详解】
，
∴由正弦定理可得，
，，即，
，
解得，或（舍去）
，的面积，
∴解得.
故选：D
此题考查了正弦定理、同角三角函数的关系、三角形的面积公式等知识，属于基础题.
2．B
根据向量的运算性质，求得，得到，即可求解.
【详解】
由，解得，
即，所以四边形为菱形.
故选：B.
本题主要考查了向量的运算性质，以及四边形形状的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．A
由正弦定理得到，结合倍角公式，求得，再利用诱导公式，即可求解.
【详解】
在中，，
由正弦定理得，即，
由倍角公式得，，
解得，
，
故选：A
4．D
利用余弦定理可求得、的值，可求得的值，由此可求得的值.
【详解】
在中，，，，
由余弦定理可得，解得，则，所以，，
因此，.
故选：D.
5．D
根据题意，结合余弦定理求解即可.
【详解】
由，得，即，
解得或（舍）．
故选D．
6．B
结合图形由余弦定理可得答案.
【详解】
设，则，，
在中，由余弦定理可得，
即，
整理得，解得或（舍），
故选：B.
7．B
在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.
【详解】
Rt△ADC中，，则，Rt△BDC中，，则，
由AC-BC=AB得，约为米.
故选：B
8．A
根据正弦定理的式子，代入题中数据算出，结合△ABC中A【详解】
解：∵在△ABC中，B=60°，
∴根据正弦定理，可得，
又∵在△ABC中a故选：A.
9．C
A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断；B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断；C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断；D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果.
【详解】
A．因为，所以，
即
所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确；
B．因为，所以
，
所以，
所以，所以，
所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故正确；
C．因为，所以，所以，
所以，所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，故错误；
D．因为，所以，所以或（舍），所以，
又因为，所以且，所以，
所以，所以，所以，所以，
所以，所以为等边三角形，故正确.
故选：C
10．B
设三角形的内角，，所对的边分别为，，，运用三角函数的和角公式和正弦定理、余弦定理，求得，，，再将的两边点乘，，运用向量数量积的定义和性质，可得，的方程组，解方程可得，的值，即可得到所求值．
【详解】
解：设三角形的内角，，所对的边分别为，，，
，，
可得，，
即为，即有，
可得，，
所以，
因为
所以，，
若可得，
即有，
化为，
又可得，
即有，
化为，
解得，，
则，
故选：B．
11．B
通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以
所以．
故选：B．
本题关键点在于如何正确将的长度通过作辅助线的方式转化为．
12．C
由利用余弦定理，可得，正弦定理边化角，在消去，可得，利用三角形是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得的取值范围．
【详解】
由
及余弦定理，可得
正弦定理边化角，得
是锐角三角形，
，即．
，，
那么：
则，
故选：
方法点睛：解三角形的基本策
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
13．
利用余弦定理表示出，把已知等式代入求出的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数.
【详解】
解：由，得，
由余弦定理：，
又因为A为锐角三角形的内角，
所以，
故答案为：.
14．7
根据正弦定理、两角和的正弦公式，结合同角的三角函数关系式中商关系进行求解即可.
【详解】
，
由正弦定理可得：
，
得，
左右两边同时除以，
可得.
故答案为：
15．
根据向量的数量积运算，结合函数的性质即可求出．
【详解】
解：，，
，，，，
，
，，，，，
，，，
，
，
，
，
令，
令，，，，，
则，此时，，
则当时，则的最小值为．
故答案为：．
本题考查平面向量的数量积运算，考查了数学转化思想方法，解答的关键是将转化为动点到两定点的距离之和，从而求出函数的最小值．
16．
根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得，B为钝角知，由三角形内角和的性质得，即可求最大值.
【详解】
由题设，，则，
∴，又 B为钝角即为锐角，
∴，即，又，
∴且，
而，
∴当时，的最大值为.
故答案为：
关键点点睛：根据已知条件，利用三角形面积公式、余弦定理可得到，再应用三角形内角性质及三角恒等变换写出关于的二次函数式，求最值.
17．（1）1260；（2）分钟.
（1）求出，再由正弦定理得出路径的长；
（2）设乙出发t分钟后，甲，乙两人距离为d，由余弦定理求出，再由的范围得出所求时间.
【详解】
（1）在中，由得，由，A为锐角得，
∴．
∵，
∴．
（2）设乙出发t分钟后，甲，乙两人距离为d，则
．
∵
∴当时，甲，乙两人距离最短，此时甲已出发分钟．
18．（1）；（2），.
（1）化角为边，化简得，再利用余弦定理求角；
（2）由正弦定理算出，由面积公式算出，由余弦定理计算中即可.
【详解】
解：（1）因为，所以，
所以，即.
由余弦定理可得，
因为，所以.
（2）由正弦定理可得.
因为的面积为，所以，解得.
由余弦定理可得，
则.
在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅰ）由余弦定理先求，从而可得角；
（Ⅱ）用正弦定理将化角，再用两角和的正弦公式化简转化，即可求得的取值范围.
【详解】
（Ⅰ），
（Ⅱ），，
由正弦定理，，
，，
，
；
又，故，，
.
20．(1)
(2)
（1）根据正弦定理，将边化角，利用三角恒等变换以及三角形内角关系，即可求出结果；
（2）利用余弦定理以及已知条件，即可求出的取值范围.
(1)
由正弦定理得，
即，
，
因为，所以，所以，
又因为，所以；
(2)
由得，且
由（1）知：，由余弦定理得：
当时，由二次函数的性质知：
的值域为，当且仅当时取等号，
此时，所以，即所以c的取值范围为.
21．(1)
(2)
（1）依题意可得，再直接利用余弦定理计算可得；
（2）若选①直接代入，得到方程无解，故舍去；
若选②由正弦定理求出，再代入，即可求出，最后根据面积公式计算可得；
若选③由锐角三角函数求出，再代入，求出有两解，故舍去；
(1)
解：因为，，所以，所以，
由余弦定理知，
因为，所以．
(2)
解：若选①，则，即，因为，所以方程无解，不符合题意；
若选②，由正弦定理可知，即，解得，所以，即，解得或（舍去）
所以；
若选③边上的高；在中，所以，即，所以，即，解得或，所以存在两解，不符合题意；
答案第1页，共2页
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