必修第二册 8.2 立体图形的直观图
一、单选题
1.如图所示,一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形,已知直观图的面积为4,则该平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
2.下列说法错误的是( )
A.多面体至少有四个面
B.六棱柱有6条侧棱,6个侧面,侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱
D.三棱柱的侧面为三角形
3.棱台不具备的特点是( )
A.两底面相似 B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等 D.侧棱延长后都交于一点
4.如图,边长为的正方形是一个水平放置的平面图形的直观图,则平面图形以为轴旋转一周所围成的几何体是( )
A.一个圆柱
B.一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体
C.一个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体
D.两个同底的圆锥的组合体
5.水平放置的有一边在水平线上,它的斜二测直观图是边长为2的正,则的面积是( )
A. B. C. D.
6.一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形,且直观图的面积为1,则原梯形的面积为( )
A.1 B. C.2 D.
7.如图为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是选项中的( )
A. B.
C. D.
8.表面积为的球面上有四点,若是边长为3的等边三角形,则三棱锥体积的最大值为
A. B. C. D.
9.如图,是水平放置的的直观图,其中,所在直线分别与轴,轴平行,且,那么是( )
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.等腰直角三角形 D.直角三角形
10.用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时,下列结论中正确的个数是( )
①平行的线段在直观图中仍然平行;②相等的线段在直观图中仍然相等;
③相等的角在直观图中仍然相等;④正方形在直观图中仍然是正方形
A.1 B.2 C.3 D.4
11.如图,用斜二测画法作△ABC水平放置的直观图形得△A1B1C1,其中A1B1=B1C1,A1D1是B1C1边上的中线,由图形可知在△ABC中,下列四个结论中正确的是( )
A.AB=BC=AC B.AD⊥BC
C.AC>AD>AB D.AC>AD>AB=BC
12.用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图,则直观图的面积为( )
A. B. C.4 D.
二、填空题
13.已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,如图,其中有一边长为4,则此正方形的面积是___.
14.已知正的边长为2,那么的斜二测画法平面直观图的面积为______.
15.如图,长方体的体积是120,E为的中点,则三棱锥E-BCD的体积是_____.
16.下列说法正确的有_____________(填序号);
①有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面所围成的几何体是棱锥;
②正四面体的棱都相等;
③平行直线的平行投影仍是平行直线;
④由斜二测画法得到的平面图形直观图的面积是原图形面积的倍.
三、解答题
17.如图所示,在正三棱台中,已知,棱台一个侧面的面积为,,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接并延长,分别交于点,D,,求上底面的边长.
18.如图,已知底面半径为的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为,最小值为,那么圆柱被截后剩下部分的体积是多少
19.如图,已知点,,.求该水平放置的四边形用斜二测画法作出的直观图的面积.
20.如图所示,三棱柱中,若,分别为,的中点,平面将三棱柱分成体积分别为,的两部分,那么等于多少
21.水平放置的平面图形与直观图的面积间有何关系
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.C
由原图的面积是直观图面积的倍即可求解.
【详解】
已知直观图的面积为4,
所以原图的面积为,
故选:C
本题主要考查了斜二测画法,切要掌握原图的面积是直观图面积的倍,属于基础题.
2.D
根据棱柱的性质可判断各选项的正误.
【详解】
多面体至少为四面体即有四个面,故A正确.
根据六棱柱的性质可得其有6条侧棱,6个侧面,且侧面为平行四边形,故B正确.
长方体、正方体都是四棱柱,故C正确.
三棱柱的侧面为平行四边形,故D错误.
故选:D.
3.C
根据棱台的定义结构特征求解.
【详解】
根据棱台的定义知,棱台底面相似,侧面都是梯形,侧棱延长后都交于一点,
但是侧棱长不一定相等,
故选:C
4.C
先根据直观图画出原图,即可得出结论.
【详解】
由直观图画出原图,如下图所示,
因为所以,
则平面图形以为轴旋转一周所围成的几何体为一个圆锥和一个圆柱(里面挖去一个圆锥).
故选:C.
5.C
根据直观图和原图面积比的关系,即得解
【详解】
由题意,.
且
故
故选:C
6.D
根据斜二测画法的规则将图还原,平面图是一个直角梯形,从而可求出其面积
【详解】
解:把该梯形的直观图还原为原来的梯形,如图所示,
设原来梯形的上底为,下底为,高为,
则直观图中等腰梯形的高为,
因为直观图的面积为,
所以,
所以原梯形的面积为,
故选:D
此题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题,掌握斜二测画法的作图规则是解题的关键,属于基础题
7.C
根据斜二测画法的规则判断.
【详解】
由斜二测画法的规则可知,该平面图形为直角梯形,又因为第一象限内的边平行于y′轴,
故选:C.
8.A
由已知求出球的半径,画出图形,判断D的位置,然后求解三棱锥D﹣ABC高的最大值,代入棱锥体积公式求解.
【详解】
由球的表面积为,可知球半径为R=2,
设球心为O,三角形ABC 的外心为O′,显然D在O′O的延长线与球的交点如图:
O′C3,OO′,
则三棱锥D﹣ABC高的最大值为:3.
则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为:.
故选A.
本题考查球的内接多面体,棱锥的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力,是中档题.
9.D
根据斜二测画法的原则,可得原图中,且即可判断的形状.
【详解】
因为中,,所在直线分别与轴,轴平行,
所以中,所在直线分别与分别与轴,轴平行,所以
因为,所以,即,
所以是直角三角形,
故选:D.
10.A
根据斜二侧画法的基本概念和作图原则,对每一个选项进行判断,即可得到结果.
【详解】
对于①,平行的线段在直观图中仍然是平行线段,所以①正确;
对于②,相等的线段在直观图中不一定相等, 如平行于轴的线段,长度不变,平行于轴的线段,变为原来的,所以②错误;
对于③,相等的角在直观图中不一定相等, 如直角坐标系内两个相邻的直角,在斜二测画法内是和,所以③错误;
对于④,正方形在直观图中不是正方形,是平行四边形,所以④错误;
综上,正确的命题序号是①,共1个.
故选:A.
本题主要考查了斜二侧画法的基本概念和作图原则,是基础题.
11.C
根据斜二测画法的规则,将直观图还原,即可比较三条线段的长度关系.
【详解】
根据斜二测画法,把直观图形中的△A1B1C1,还原成原图形,
如图所示;
为直角三角形,且,
则.
故选:C.
12.A
画出直观图,求出底和高,进而求出面积.
【详解】
如图,,,,过点C作CD⊥x轴于点D,则,所以直观图是底为2 高为的平行四边形,所以面积为.
故选:A.
13.16或64
分O'A'=4和O'C'=4两种情况可得结果.
【详解】
若O'A'=4,则正方形边长为4,其面积为16;若O'C'=4,则正方形边长为8,面积为64.
故答案为:16或64.
14.
由题意结合斜二测画法原图形与所得图形面积的比值关系求解面积即可.
【详解】
设原图形的面积为,斜二测画法所得图形的面积为,
由斜二测画法可知:,
题中,
则.
故答案为:.
15.10.
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积.
【详解】
因为长方体的体积为120,
所以,
因为为的中点,
所以,
由长方体的性质知底面,
所以是三棱锥的底面上的高,
所以三棱锥的体积.
本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中,往往需要注意理清整体和局部的关系,灵活利用“割”与“补”的方法解题.
16.②④
根据多面体的概念,直线的位置关系,斜二测画法的概念分别进行判断.
【详解】
正八面体的各个面都是三角形,但它不是棱锥,①错;
正四面体的各面都是正三角形,所有棱都相等,②正确;
要看投影方向,平行直线的平行投影可以是平行直线,也可能重合,还可能是两点.③错;
以水平放置的平行四边形为例,平行四边形底为,高为,面积为,斜二测画法的直观图中,底不变仍然为,高变成与底成的线段,且长度为原来的一半,即为,因此直观图中的高为,面积为,即,④正确.
故答案为:②④.
本题考查立体几何中命题的真假判断,考查棱锥、正四面体的概念,平行投影与斜二测画法的概念,要正确解题必须掌握所涉及到所有知识,要求较高,本题属于中档题.
17.
根据正三棱台的结构特征,用上下底面边长表示出正三棱台的斜高,进而得侧面积表达式即可得解.
【详解】
依题意,,则,
设上底面的边长为,则,
如图所示,连接,过作于点H,则四边形为矩形,且,
于是得,在中,,
因四边形的面积为,则,即,解得,
所以上底面的边长为.
18.
过点作平行于底面的截面,将剩下的几何体分为两部分,计算两部分体积和得到答案.
【详解】
过点作平行于底面的截面,将剩下的几何体分为两部分,
下部分是一个底面半径为,高为的圆柱,其体积
将上部分补成圆柱,这样上部分的体积是所补成圆柱体积的一半,其体积.所以圆柱被截后剩下部分的体积.
本题考查了组合体的体积,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
19.
首先根据斜二测画法的规则,画出四边形的直观图,再结合面积公式,即可计算.
【详解】
解:由斜二测画法可知,在直观图中,,,,,,,,,,
所以
.
20.
如图,分别延长到,到,到,且,,,根据体积的大小关系得到答案.
【详解】
如图,分别延长到,到,到,且,,,连接,,,则得到三棱柱,且.
延长,,则与相交于点.
因为,所以.
连接,,则,所以,故
本题考查了组合体的体积比,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
21.见解析
根据斜二测画法前后的图形面积关系解答即可.
【详解】
若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为,则根据斜二测画法中方向长度变为原来的一半,且与方向垂直的角度变为可知.或.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.
本题主要考查了水平放置的平面图形与直观图的面积间的关系,属于基础题型.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页