8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、单选题
1．下面四个条件中，能确定一个平面的是（ ）
A．空间中任意三点 B．空间中两条直线
C．空间中两条相交直线 D．一条直线和一个点
2．在空间四边形中，在上分别取E，F，G，H四点，如果交于一点P，则（ ）
A．P一定在直线上
B．P一定在直线上
C．P在直线或上
D．P既不在直线上，也不在直线上
3．若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（ ）
A． B． C． D．
4．已知四棱锥S ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S AB C的平面角为θ3，则（ ）
A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1
C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
5．长方体中，，，，则异面直线与成角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．设是互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下面四个说法：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，，则.
其中所有错误说法的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②③④
7．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（ ）
A． B．
C． D．
8．在正四面体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则、所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．设，，是空间的三条直线，下面给出四个命题：
①若，，则
②若，是异面直线，，是异面直线，则，是异面直线
③若和相交，和相交，则和也相交
④若和共面，和共面，则和也共面
其中正确命题的个数（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．已知为等腰直角三角形的直角顶点，以为旋转轴旋转一周得到几何体，是底面圆上的弦，为等边三角形，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系是（ ）
A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交
二、填空题
13．下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.
14．如图已知A是所在平面外一点，，E F分别是的中点，若异面直线与所成角的大小为，则与所成角的大小为___________.
15．已知，是两条不同的直线，，是两个不同平面，则以下命题不成立的是__
（1）若，，，则
（2）若，，则
（3）若，，则
（4）若，，，则
16．已知异面直线a，b所成角为70°，过空间定点P与a，b成55°角的直线共有____________条．
17．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，分如中点，则过点A，D，E的截面与三棱柱的侧面的交线的长为__________．
三、解答题
18．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；
(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.
19．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系.
（1）；
（2）；
（3）.
20．长方体中，分别为棱的中点.
（1）求证：；
（2）求证：.
21．如图，在三棱锥中，，，．
（1）证明：；
（2）若直线AC与平面BCD所成的角为，，求二面角的余弦值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
根据每个选项，可举出相应的反例进而得到结果.
【详解】
A,空间任意三点，当三点共线时能确定一条直线而不是平面，故不正确；
B. 空间两条直线，当两条直线重合时，过这条直线的平面有无数个，故不正确；
C. 空间两条平行直线，根据课本中的判定得到是正确的；
D. 一条直线和一个点，当这个点在直线上时，过这条直线的平面有无数个，故不正确.
故选：C.
2．B
由题设知面，结合已知条件有面、面，进而可判断P所在的位置.
【详解】
由题意知：面，又交于一点P，
∴面，同理，面，又面面，
由公理3知：点P一定在直线上.
故选：B.
3．B
利用空间中点、线、面之间关系的符号表示即可求解.
【详解】
因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以.
又因为直线b(集合)在平面(集合)内,
所以.所以.
故选：B
4．D
设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，由SO垂直于底面ABCD，得到求解.
【详解】
如图所示：
设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，
过E作BC的平行线EF，交CD于F，
过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，SE，SM，OM，OE，
则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，
因此
从而
因为，
所以即，
故选：D.
5．D
连接，可得即为异面直线与所成的角或其补角，即可求出.
【详解】
连接，，四边形为平行四边形，
，则即为异面直线与所成的角或其补角，
.
故选：D.
6．C
①利用平面与平面的位置关系判断；②利用线面垂直的性质定理判断；③利用直线与直线的位置关系判断；④利用面面垂直的性质定理判断.
【详解】
①若，，则或相交，故错误；
②若，，则可得，故正确；
③若，，则，故错误；
④若，，，当时，，故错误.
故选：C
7．D
利用异面直线的判定方法可得正确的选项.
【详解】
在A图中，分别连接，则，所以四点共面，
在B图中，过可作一个正六边形，如图所示，故四点共面，
在C图中，分别连接，则，所以四点共面，
在D图中，与为异面直线，所以四点不共面，
故选:D．
关键点睛：解题关键在于对异面直线的判定方法的理解，难度属于基础题
8．A
取的中点为，可得，即为所求（或其补角），在中利用余弦定理求解即可.
【详解】
设正四面体的棱长为2，
取的中点为，因为是棱的中点，所以，
所以即为所求（或其补角）.
在中，，,
所以.
故选：A.
9．A
画出图形，判断出、所成角，求解即可．
【详解】
解：如图，∵ 平面，平面，平面，
∴，，
是正三角形.
∴ 、所成角的平面角或补角为，
∴、所成角的正弦值为.
故选：.
10．D
根据直线与直线位置关系判断各命题的对错,
【详解】
解：（1）错，在空间中，，时，与关系可能是平行，相交，异面；
（2）错，与同在一个平面时，可以与平面外一直线异面；
（3）错，在空间中，三条直线不一定交于一点，也不一定在一个平面内；
（4）错，和相交，和相交，则与不一定相交，它们不一定在一个平面内；
故选：D
11．B
设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，找出异面直线与所成角，然后通过解三角形可得出所求角的余弦值.
【详解】
设，过点作的平行线，与平行的半径交于点，
则，，
所以为异面直线与所成的角，
在三角形中，，，所以.
故选：B.
本题考查异面直线所成角余弦值的计算，一般通过平移直线的方法找到异面直线所成的角，考查计算能力，属于中等题.
12．D
根据异面直线所成角判断.
【详解】
因为、为异面直线，
所以、所成的角为锐角或直角，
因为直线与平行，
所以与所成的角为锐角或直角，
所以与的位置关系是异面或相交，
故选：D
13．④
根据平面的公理及推论进行判断得解
【详解】
解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；
②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；
③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；
④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，
又因三角形的三个顶点不共线，故④对；
⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；
⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；
⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对．
故答案为：④．
14．或
取的中点，连接，则或，分别分析这两种情况下的大小即为与所成角.
【详解】
解：如图所示：取的中点，连接，则， ，
所以为异面直线与所成角或其补角.因为，所以，
当时，为等边三角形，，
即与所成角的大小为；
当时，，为等腰三角形，，
即与所成角的大小为.
故答案为：或.
15．（1）（2）（4）
由线线、线面、面面的位置关系，判断线、面有关命题的真假即可.
【详解】
由，是两条不同的直线，，是两个不同平面，知：
在（1）中，若，，，则与平行或异面，错误；
在（2）中，若，，则与相交、平行或，错误；
在（3）中，若，，则由面面垂直的判定定理得，正确；
在（4）中，若，，，则与相交或平行，错误．
故答案为：（1）（2）（4）．
16．3
根据条件先将直线平移至过点，然后根据直线所成角的角平分线以及直线所在平面的垂线分析与直线所成角均为的直线的条数.
【详解】
将直线平移，使两直线经过点，如下图所示：
设直线所成角的角平分线为，过点垂直于直线所在平面的直线为，
因为所成角为，当直线经过点且直线在直线所在平面内且垂直于直线，
此时与直线所成角均为；
当直线在直线所在平面内时，若绕着点旋转，此时与直线所成角相等，
且所成角从变化到，再从变化到，所以此时满足条件的有条，
综上所述：过空间定点与成角的直线共有条，
故答案为：.
结论点睛：已知异面直线所成角为，过空间任意一点作直线，使得与成等角：
（1）当时，此时不存在；
（2）当时，此时有一条；
（3）当，此时有两条；
（4）当时，此时有三条；
（5）当时，此时有四条.
17．
首先根据平行线将平面进行扩展得到过点A，D，E的截面与三棱柱的侧面的交线为，确定点为线段的三等分点靠近的点，最后在直角三角形中求得线段的长度即可.
【详解】
由题意将直三棱柱补成一个直四棱柱,
取中点，连接,显然，
取中点，连接，则，
所以A，D，F，E四点共平面，连接与的交点为，连接
所以过点A，D，F，E的截面与三棱柱的侧面的交线为，
因为，且,
所以点为线段的三等分点靠近的点，
因为，所以，
又D为中点，所以，
因为面,所以，
则.
故答案为：.
本题主要考查截面问题，如需要将平面进行扩展，一般有两种方法，一是通过做平行线进行扩展，一种是找相交直线确定交线上的点进行扩展，在备考中注意多总结.
18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .
【详解】
试题分析：本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.第一问，利用线面平行的定理，先证明线线平行，再证明线面平行；第二问，可以先找到线面角，再在三角形中解出正弦值，还可以用向量法建立直角坐标系解出正弦值.
试题解析：（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.
延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.
理由如下：
由已知，BC∥ED，且BC=ED.
所以四边形BCDE是平行四边形.
从而CM∥EB.
又EB平面PBE，CM 平面PBE，
所以CM∥平面PBE.
（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）
（Ⅱ）方法一：
由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，
所以CD⊥平面PAD.
从而CD⊥PD.
所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.
过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.
易知PA⊥平面ABCD，
从而PA⊥CE.
于是CE⊥平面PAH.
所以平面PCE⊥平面PAH.
过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.
所以APH是PA与平面PCE所成的角.
在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，
所以AH=.
在Rt△PAH中，PH== ，
所以sinAPH= =.
方法二：
由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，
所以CD⊥平面PAD.
于是CD⊥PD.
从而PDA是二面角P-CD-A的平面角.
所以PDA=45°.
由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.
设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.
作Ay⊥AD，以A为原点，以 ,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，
所以=（1,0,-2）， =（1,1,0），=（0,0,2）
设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，
由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).
设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα= = .
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 .
考点：线线平行、线面平行、向量法.
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
（1）根据符号的含义可以得出位置关系，表示点与平面的关系；
（2）根据符号的含义可以得出位置关系，表示线与平面的关系；
（3）根据符号的含义可以得出位置关系，表示点与平面的关系.
【详解】
（1）点在平面内，点不在平面内.
（2）直线在平面内，直线与平面相交于点，且点不在直线上.
（3）直线经过平面外一点和平面内一点.
本题主要考查点线面位置关系，熟悉位置关系的符号表示是求解的关键，侧重考查符号语言和文字语言的相互转化.
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
（1）先证明四边形为平行四边形，可得，再证明四边形为平行四边形，得，从而得；（2）根据等角定理证明即可.
【详解】
证明：（1）如图，取的中点，连接.
在矩形中，易得，
因为，，所以，
所以四边形为平行四边形，所以.
在矩形中，易得，.
所以四边形为平行四边形，
所以，所以.
（2）因为，，
又与的对应边方向相同，
所以.
21．（1）证明见解析；（2）．
（1）通过证明，证得平面，由此证得.
（2）通过直线AC与平面BCD所成的角求得，作出二面角的平面角，由此计算出二面角的余弦值.
【详解】
（1）取BD中点O，连接OA，OC，则，
又，，，
所以，所以，所以．
，平面，平面，所以平面．
又平面，所以．
（2）由（1）知平面，平面，所以平面平面，平面平面，
所以CA在平面上的射影在直线CO上，所以为直线AC与平面所成的角，
即．
又因为，，在中由余弦定理可知
，
所以，所以，且平面平面，
所以平面．
，
取CD中点E，连接OE，AE，
则，，
所以为二面角的平面角，
，，
中，．
几何法求二面角，主要是根据二面角的定义作出二面角的平面角，再解三角形求得二面角的余弦值.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页