8.5空间直线、平面的平行 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．若直线与平面不平行，且直线也不在平面内，则 （ ）
A．内不存在与异面的直线 B．内存在与平行的直线
C．内存在唯一的直线与相交 D．内存在无数条与垂直的直线
2．下列说法正确的是
A．若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
B．若直线a在平面α外，则a∥α
C．若直线a∥b，b α，则a∥α
D．若直线a∥b，b α，那么直线a平行于α内的无数条直线
3．如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知两条不同的直线a，b和两个不重合的平面，下列条件中能推出结论的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
5．已知正四面体的棱长为，平面与棱、均平行，则截此正四面体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α内有无数个点到β的距离相等 D．α、β垂直于同一平面
7．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD＝2，AC＝4，则EG2＋HF2的值是（ ）
A．5 B．10
C．12 D．不能确定
9．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②④
10．已知长方体,平面平面,平面平面,则与的位置关系是
A．平行 B．相交 C．异面 D．不确定
11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点 ，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．线段上存在点 使得
B．平面
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积不为定值
12．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A． B． C． D．
二、填空题
13．在长方体的六个表面与六个对角面(面、面、面、面、面及面)所在的平面中，与棱平行的平面共有______个．
14．如图，四棱台的底面为菱形，P、Q分别为、的中点.若平面BPQD，则此棱台上下底面边长的比值为______.
15．正方体中,,点为的中点,点在上,若平面,则_____.
16．在正方体中，，点，分是棱，的中点，有下列命题：
①平面平面；
②平面截正方体所得截面的面积为；
③直线与平面所成角的正弦值为；
④若点是线段上的一个动点，则三棱锥的体积为定值.
其中正确的选项是___________.
三、解答题
17．如图，在四棱锥中，为正三角形，底面为直角梯形，，，，点分别在线段和上，且．
（1）求证：平面；
（2）设二面角大小为，若，求直线和平面所成角的正弦值．
18．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点.判断直线MN与平面BB1D1D的位置关系，并说明理由.
19．已知正方形，如图，，分别是，的中点，将沿折起，如图所示，求证：平面.
20．如图，在三棱锥中，平面，，点、、分别是、、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
21．在如图所示的五面体中，四边形为平行四边形，平面，，为的中点.求证：平面.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
举出反例可以判断ABC，由异面直线所成的角可以判断D.
【详解】
对于A，如下图长方体中，内存在与异面的直线，错误；
对于B，如果内存在与平行的直线，则，由于，，
所以，与已知直线与平面不平行矛盾，错误；
对于C， 如下图长方体中，内直线与都相交，错误；
对于D，如下图，设，在内过A点做与垂直的直线，内可以做无数条与直线平行，且都与垂直，正确.
故选：D.
2．D
结合线面平行的判定定理，逐个分析即可．
【详解】
选项A中，直线l α时也可以满足条件，但l不平行于α，所以选项A错误；直线在平面外包括直线与平面平行和直线与平面相交两种情况，所以选项B错误；选项C中缺少直线a不在平面α内这一条件，不能证明a∥α；选项D正确．
本题考查了直线与平面平行的判定定理，属于基础题．
3．B
作出辅助线，找到过点且与平面AEF平行的平面，进而得到点P的轨迹，从而求出线段长度的取值范围.
【详解】
如图，取中点G，中点H，连接GH，，，则∥AE，又平面AEF，平面AEF，所以∥平面AEF，同理∥EF，平面AEF，平面AEF，所以∥平面AEF，因为，所以平面∥平面AEF，因为是侧面内一点，当P点在线段GH上时，能够满足平面，因为正方体棱长为2，由勾股定理得：，，故点P落在GH中点时，长度最小，此时，当点P与G或H重合时，长度最大，此时，综上：线段长度的取值范围是.
故选：B
4．C
根据线面平行的判定定理、性质定理和面面平行的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，两条不同的直线a，b和两个不重合的平面，
对于A中，若且，可得或，所以不正确；
对于B中，由，可得，又由，可能，所以不正确；
对于C中，由且，根据面面平行的性质，可得所以正确；
对于D中，由且，可得或，所以不正确.
故选：C.
5．A
取的中点，连接、，证明出，设平面分别交、、、于、、、，连接、、、，证明出四边形为矩形，设，可得出，利用基本不等式可求得截面面积的最大值.
【详解】
取的中点，连接、，
因为为等边三角形，为的中点，所以，，同理可得，
，平面，平面，.
设平面分别交、、、于、、、，连接、、、，
平面，平面，平面平面，，
同理可证，，同理可证，
所以，四边形为平行四边形，
，，则平行四边形为矩形，
设，则，
因为，则，，同理可得，
所以，矩形的面积为，
当且仅当时，等号成立，因此，截面面积的最大值为.
故选：A.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
6．B
应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确
【详解】
应用立方体，如下图所示：
选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；
选项B：由面面平行的判定，可知B正确
选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故C不一定能使α//β成立；
选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；
故选：B
本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题
7．B
【详解】
试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.
8．B
根据中位线定理判断四边形EFGH是平行四边形，再由计算可得解.
【详解】
如图所示，由三角形中位线的性质可得,.
所以四边形EFGH是平行四边形，
因为，
所以 .
故选：B.
9．B
利用线面平行、线面相交的知识对四个图形逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
解：对于①，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，
由于平面，平面，所以平面；
由于平面，平面，所以平面；
由于，所以平面平面，所以平面，所以①正确.
对于②，如图，设与相交于，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，因为与平面相交，所以与平面不平行，所以②错误.
对于③，如图，设是的中点，因为是的中点，所以，而与平面相交，所以与平面不平行，所以③错误.
对于④，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，平面，平面，所以平面，所以④正确.
综上所述，正确的序号有①④.
故选：B.
10．A
由长方体的特点可以得到平面平面,接下来根据面面平行的性质定理可以得到结果.
【详解】
因为几何体是长方体,所以平面平面,由已知条件得平面平面,平面平面,则由面面平行的性质定理得:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,则它们的交线平行,所以与的位置关系是平行.
故选:
本题考查了面面平行的性质定理,在两个平行平面中的两条直线的位置关系有平行和异面两种情况,但本题有第三个平面和两个平行平面相交,则由面面平行的性质定理即可判定出结果.
11．B
利用异面直线的定义可判断A；根据线面平行判定定理可判断B；根据三角形的高不相等可判断C；直接计算体积可判断D.
【详解】
线段上不存在点 使得，
因为在平面平面外，在平面内，
所以，是异面直线，所以A不正确；
连接，几何体是正方体，所以，平面，平面，可知平面，所以B正确.
到的距离为，到的距离大于上下底面中心的连线，
则到的距离大于1，
∴的面积大于的面积，故C错误；
到平面的距离为，的面积为定值，
∴三棱锥的体积为定值，故D不正确.
故选：B.
12．C
首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】
在长方体中，连接，
根据线面角的定义可知，
因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
13．3
根据线面平行的判定定理即可判断求解.
【详解】
如图，因为∥∥，
平面，平面，平面，
平面，平面，平面，
所以∥平面，∥平面，∥平面，
故答案为：3.
14．
连接，与分别交于，根据可求出.
【详解】
连接，则，即四点共面，
设平面与分别交于，连接，
因为平面BPQD，所以，
则四边形为平行四边形，则，
又因为，所以，即.
故答案为：.
15．
取中点，连接 ，，平面，平面，证明平面平行平面，即平面，判断为中点，计算得到答案.
【详解】
取中点，连接
为的中点，为中点平面
又因为：平面
平面平面 平面，
因为平面平面平面
为中点.
在中，计算知：
故答案为
本题考查了线面平行，勾股定理，判断的位置是解题的关键.
16．①②④
根据面面平行的判定定理证明面面平行判断①，作出截面是平行四边形（菱形），然后求得面积判断②，建立空间直角坐标系求出线面角的正弦值判断③，换顶点后结合棱锥体积公式判断④．
【详解】
取的中点，连接，与平行且相等，则是平行四边形，与平行且相等，同理与平行且相等，
与与平行且相等，是平行四边形，与行且相等，
所以与平行且相等，是平行四边形，平行四边形就是截面，
首先由，平面，平面，得平面，同理平面，而，平面，所以平面平面，①正确；
平行四边形是菱形，边长为，对角线，，
面积为，②正确；
如图，以为轴建立空间直角坐标系，则．，，，
设平面的一个法向量是，则，
取得，
，它的一个方向向量为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为，③错；
由平面，点是线段上，所以到平面的距离不变，面积不变，所以不变．④正确．
故答案为：①②④．
17．（1）证明见解析；（2）
（1）连接，交于，只须证明平行于平面内直线即可；
（2）取中点，连接、，可得为二面角的平面角，再在中利用余弦定理求出，过点作交于点，可证平面，即为点到平面的距离，又平面，则也为点到平面的距离，再利用等面积法求出，再求长，二者之比即为所求．
【详解】
（1）证明：连接，交于，
因为，，所以，，
因为，所以，
，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）解：取中点，连接、，
因为为正三角形，所以，，
因为为直角梯形，，，，所以四边形为矩形，
所以，因为，所以平面，所以平面平面，
所以为二面角的平面角，
所以，设，由余弦定理得，
于是，整理得，解得或（舍去），
过点作交于点，
因为，平面，所以平面，又面，所以面平面，面平面，平面，
所以平面，
所以为点到平面的距离，
因为，平面，平面，所以平面，
所以也为点到平面的距离，因为，所以，所以，即，解得，由，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：
①找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；
②计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
18．平行，理由见解析.
根据题意可取AD中点E，连接ME，NE，根据题知MEBD，NED1D，可得平面EMN平面BB1D1D，即面面平行，利用面面平行即可证明线面平行.
【详解】
如图，MN平面BB1D1D，
取AD中点E，连接ME，NE，
根据题知MEBD，NED1D，
因为平面EMN， ME 平面EMN，
所以平面EMN，同理平面EMN，
又，所以平面EMN平面BB1D1D，
因为MN 平面EMN，
故MN平面BB1D1D.
19．证明见解析
先得到，，则四边形为平行四边形，再由线面平行判定定理证明即可.
【详解】
因为，分别是，的中点，所以
又，所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，而平面，
所以平面.
20．（1）见解析；（2）见解析.
（1）利用中位线的性质得出，然后利用线面平行的判定定理可证得平面；
（2）证明出，，利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面．
【详解】
（1）在中，因为、分别是、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）因为平面，平面，所以，
在中，因为，是的中点，所以，
因为，所以，
又因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.
21．证明见解析
取的中点，连接、，分别证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证明平面平面，然后利用面面平行的性质可证明出平面.
【详解】
取的中点，连接、.
因为、分别为、的中点，所以.
又平面，且平面，所以平面，
因为平面，平面，平面平面，所以.
又，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，且平面，以平面.
又，所以平面平面.
又平面，所以平面.
本题考查利用面面平行的性质证明线面平行，同时也涉及了利用线面平行的性质定理证明线线平行，考查推理能力，属于中等题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页