8.6空间直线、平面的垂直 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 8.6 空间直线、平面的垂直
一、单选题
1．若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面
2．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
3．直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的关系是（ ）
A．和平面平行 B．和平面垂直 C．在平面内 D．不能确定
4．已知直线平面，直线，则（ ）
A． B．
C．异面 D．相交而不垂直
5．如图所示，在斜三棱柱中，，且，过作平面，垂足为，则点在（ ）
A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部
6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（ ）
A．若α⊥β，m α，n β，则m⊥n B．若m⊥α，mn，nβ，则α⊥β
C．若m⊥n，m α，n β，则α⊥β D．若αβ，m α，n β，则mn
7．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的余弦值等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知半径为的球O的直径AB垂直于平面，垂足为B，是平面内的等腰直角三角形，其中，线段AC、AD分别与球面交于点M、N，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．已知矩形 ，，，沿对角线将折起，若二面角的余弦值为，则与之间距离为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在棱长为1的正方体中，点，，分别是棱，，的中点，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．不存在点，使得平面
B．三棱锥的体积为定值
C．平面截该正方体所得截面面积的最大值为
D．平面截该正方体所得截面可能是三角形或六边形
11．如图，在正方形中，E、F分别为、的中点，H是的中点.现沿、、把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
12．下列四个命题：
①所在平面外一点P到角的两边距离相等，若点P在平面上的射影H在的内部，则H在的平分线上；
②P是所在平面外一点，点P到三个顶点的距离相等，则点P在平面上的射影O是的外心；
③P是所在平面外一点，点P到三边的距离相等，则点P在平面上的射影O是的内心；
④P是所在平面外一点，点，，两两垂直，且，则点P在平面上的射影O是的中心.
其中，正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
13．平面，点，点，如果，且，在内射影长分别为5和9，则平面与间的距离为________．
14．已知圆锥的顶点为，过母线、的切面切口为正三角形，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
15．如图，已知直四棱柱的所有棱长均相等，，E是棱的中点，设平面经过直线，且平面平面，若平面，则异面直线与所成的角的余弦值为_______．
16．在三棱锥中，平面平面ABC，，为等边三角形，若，则三棱锥外接球的体积为______．
17．已知三个顶点都在球的表面上，且，，是球面上异于 的一点，且平面，若球的表面积为，则球心到平面的距离为____________.
三、解答题
18．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点E是PC的中点，连接.
(1)证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
(2)记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值.
19．已知四棱锥如图所示，，，，平面平面，点为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
20．如图，在正方体中，棱长为1，为的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
21．如图，在直三棱柱中，．
（1）求证：；
（2）若与的所成角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
利用线面垂直的性质定理进行判断.
【详解】
由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行.
故选：C.
2．A
根据正方形的特点，可得，，然后根据线面垂直的判定定理，可得结果.
【详解】
由题意：，，
，平面
所以平面正确，D不正确；.
又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；
同理平面不正确；
故选：A
本题主要考查线面垂直的判定定理，属基础题.
3．D
根据题意，画出图形判断.
【详解】
如图所示：
由图形知和平面平行，和平面垂直或在平面内，
故选：D
4．A
根据线面垂直的定义得解.
【详解】
由线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，
因此
故选:A
本题考查线面垂直的定义，属于基础题.
5．B
先通过线线垂直证明面，进而可得面面，由面面垂直的性质定理可得要过作平面，只需过作即可，则答案可求.
【详解】
连接，，，且，
面，又面ABC
面面，
面面，
要过作平面，则只需过作即可，
故点在直线上
故选：B.
6．B
由线线的位置关系，结合面面垂直，可判断A；由线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理 结合面面垂直的判定定理，可判断B；由面面的位置关系可判断C；由面面平行的定义和线线的位置关系可判断D.
【详解】
解：对于A，若α⊥β，m α，n β，可得m，n相交或平行 异面，故A错误；
对于B，若m⊥α，mn，可得n⊥α，
又nβ，可得过n的平面γ与β的交线ln，又n⊥α，则l⊥α，l β，可得α⊥β，故B正确；
对于C，若m⊥n，m α，n β，则α β可能平行或相交，故C错误；
对于D，若αβ，m α，n β，则m，n可能平行或异面，故D错误.
故选：B.
本题考查空间线线 线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判定和性质，考查推理能力，属于基础题.
7．B
连接，设侧棱与底面边长都等于，计算 ，，， ，再根据点到底面的距离等于点 到底面 的距离，求解与底面所成角的正弦值，即可.
【详解】
如图所示，设三棱柱的侧棱与底面边长都等于.
连接，
则.
在中，，得 .
在中，，即 ，
则为等边三角形，所以.
在菱形中，得.
又因为点到底面的距离等于点到底面 的距离
所以与底面所成角的正弦值为.
即与底面所成角的余弦值为.
故选：B
本题考查直线与平面所成角的问题，属于中档题题.
8．B
由题可知，根据几何关系可求AM、BM长度；由题可证BD⊥平面ABM，则过N作NH垂直于AB，则NH垂直于平面ABC，则.
【详解】
如图所示，∵AB是直径，M和N在球面上，∴，
即，
由等面积法得，
，
∵，
平面ABC，
过N作NH⊥AB，则NH⊥平面ABC，
则.
.
故选：B.
9．C
过点在平面内作，过点在平面内作，以、为邻边作平行四边形，连接，分析可知二面角的平面角为，利用余弦定理求出，证明出，再利用勾股定理可求得的长.
【详解】
过点在平面内作，过点在平面内作，以、为邻边作平行四边形，连接，
因为，，，则，
因为，由等面积法可得，同理可得，
由勾股定理可得，同理可得，，
因为四边形为平行四边形，且，故四边形为矩形，所以，，
因为，所以，二面角的平面角为，
在中，，，
由余弦定理可得，
，，，则，，
因为，平面，平面，则，
，由勾股定理可得.
故选：C.
10．C
连接，可得平面，即可判断A，由平面可判断B，当截面为正六边形时（其中，，，，，都是中点），计算截面面积，然后可判断C、D.
【详解】
如图，连接，可得平面，由与异面可知，不存在点，使得平面，故A正确；
又平面，所以动点到平面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确；
如图，当截面为正六边形时（其中，，，，，都是中点），易得该正六边形的边长为，所以其面积为，故C错误；
截面可能为三角形，也可能为六边形，故D正确，
故选：C.
11．A
根据题意，结合线面垂直的判定与性质，一一判断即可.
【详解】
对于选项A，∵B、C、D重合于点G，∴，，，
∴平面，故A正确；
对于选项B，由A选项可知，平面，因与不平行，知不垂直与平面，故B错；
对于选项C，由不与垂直，得不与垂直，进而可知不垂直于平面，
故C错；
对于选项D，由B选项可知，不垂直于平面，且，得不垂直，进而可知不垂直于平面.
故选：A.
12．D
①,如图所示，证明，,,即得结论正确；
②,如图所示，证明,即得结论正确；
③,如图所示，证明在的平分线上，所以点是的内心,即得结论正确；
④,如图所示，证明,点是的垂心,即得结论正确.
【详解】
①,如图，由题得，因为平面,所以,
因为平面,所以平面,所以,同理,所以H在的平分线上，所以该结论正确；
②，如图所示，平面, O是的外心,所以该结论正确；
③,如图所示，由题得，同①方法可证在的平分线上，同理可证在的平分线上，所以点是的内心,所以该结论正确；
④，如图所示，点，，两两垂直，且，所以,
因为平面,所以平面,所以, 设是中点，所以,又，平面,所以平面,所以,同理,所以点是的垂心.又，所以点是的中心.所以该结论正确.
故选：D
13．12
首先设 ，，根据平行平面间的距离列等式求解.
【详解】
如图，，由题意可知，， ，
设 ，，
则 ，解得：，
平面与平面间的距离
故答案为：12
本题考查面面平行的性质，方程思想，属于基础题型.
14．
设是圆锥底面圆的一条直径，设，，，，根据三角形的面积求得，由此能求出该圆锥的侧面积．
【详解】
依题意画图，如图：
设是圆锥底面圆的一条直径，设，，则，
，由正弦定理得，，
由题意可知，是等边三角形，则，
的面积为，解得，，
则该圆锥的底面圆半径为，
因此，该圆锥的侧面积为．
故答案为：．
本题考查圆锥的侧面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
15．
取的中点，连接，证明平面平面，平面即平面，然后分别取的中点，证明平面平面，可得，，可得异面直线与所成的角即与所成的角，由余弦定理可得答案.
【详解】
由直四棱柱的所有棱长均相等，，所以是菱形，
连接，，且，，
所以，，因为平面，平面，
所以，且，所以平面，
取的中点，连接，连接交与，所以，
且是的中点，所以平面，所以平面平面，
又平面，所以平面即平面，
分别取的中点，连接交与点，即为的中点，
所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，
所以平面，又，
所以平面平面，且平面平面，
平面平面，
所以，，
所以异面直线与所成的角即与所成的角，设，
则直四棱柱的所有棱长均为2，由，
所以，，
且，
由余弦定理得.
故答案为：.
本题考查了异面直线所成的角，关键点是作出平面及找出异面直线所成的角，考查了学生分析问题、解决问题的能力及空间想象力.
16．
设的中点为，连接,三棱锥外接球的球心在直线上，解方程即得解.
【详解】
解：设的中点为，连接,
因为平面平面ABC，所以三棱锥外接球的球心在直线上，
设球的半径为,由题得, ,
所以,
在直角△中，.
所以三棱锥外接球的体积为.
故答案为：
17．
根据题中的垂直关系，确定球心，再根据球的表面积公式计算，再求点到平面的距离.
【详解】
由，，
并且平面，平面，，且
平面，，
是直角三角形和的公共斜边，
取的中点，根据直角三角形的性质可知，
所以点是三棱锥外接球的球心，
设，则，
则三棱锥外接球的表面积，，解得：,
点到平面的距离.
故答案为：
方法点睛：本题考查了球与几何体的综合问题，考查空间想象能力以及化归和计算能力，（1）当三棱锥的三条侧棱两两垂直时，并且侧棱长为，那么外接球的直径，（2）当有一条侧棱垂直于底面时，先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，球心在垂线上，根据垂直关系建立的方程.（3）而本题类型，是两个直角三角形的公共斜边的中点是外接球的球心.
18．(1)四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是，，，；
(2)
（1）先证明面，可得，然后结合即可证明面，即可得出四面体的四个面都是直角三角形.
（2）结合（1）及锥体的体积公式即可得解.
(1)
面，平面，，
，，平面，
面，
又，点E是PC的中点，
由，平面
由面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是，，，；
(2)
由已知，是阳马的高，所以.
由（1）知，是鳖臑的高，，
所以.
因为，点E是PC的中点，所以，
所以
19．（1）证明见解析；（2）．
（1）根据题意取中点，连接，证得平面平面，由面面平行的性质得出线面平行；
（2）由题意得出，利用等体积法结合计算得点到平面的距离.
【详解】
（1）证明：取中点，连接
因为，
所以，
所以，即
又因为，
所以，
四边形为平行四边形，
所以，
因为，分别是，的中点，
所以，
又因为平面,平面,
所以平面，
同理平面,
又因为平面,,
所以平面平面，
因为平面，
所以平面．
（2）解：因为平面，且，
所以平面，
所以过点作平面的高，交平面于点，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为面面且面，面，
所以，
所以，
所以，
因为，
记点到平面的距离为，
所以，
作，则有且，
所以，
所以，
所以，
所以点到平面的距离为．
20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
（1）利用正方体的几何性质可证明，结合，由线面垂直的判定定理可证明平面；
（2）连接，利用四边形是平行四边形，得到且，进一步证明四边形是平行四边形，可得，由线面平行的判定定理证明即可；
（3）由平面，则点到平面的距离即为点到平面的距离，由等体积法求解体积即可．
【详解】
（1）证明：∵在正方体中，平面，
平面，∴，
∵，，
∴平面.
（2）证明：连接，
∵在正方体中，且，
∴四边形是平行四边形，
∴且，
∵，分别为，中点，∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（3）由（2）得平面，
∴点到平面的距离即为点到平面的距离，
∴
.
21．（1）证明见解析；（2）或
（1）将棱分别向下延长，使得，连接，由等腰三角形三线合一可证得，进而可证得，从而证得；
（2）设，，由与的所成角得余弦值，相关线段长度用表示，取的中点，连接，与平面所成的角即为与平面所成的角，即求的正弦值即可
【详解】
（1）将棱分别向下延长，使得，
连接，如图：
，与的交点为的中点，
，，
，
又，，
平面，
取的中点，连接，
,
平面，
,
又，
平面，
，
又为的中点，
，
，
，，
，
（2）由（1）知与的所成角即与的所成角，，
取的中点，连接，
，
与平面所成的角即为与平面所成的角，
当时，
设，则，
，
由（1）知，为的中点，故，
，
，
令，则，
，
，
又，则，
，
又为等腰三角形，所以，
又，，易得为与平面所成的角，
，，
，
；
当时，设，则，
，
，
，
则，
，，
；
故与平面所成角的正弦值为或
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