4.1 第1课时 数列的概念及通项公式（教学课件）-高中数学人教A版（2019）选择性必修 第二册(共66张PPT)

(共66张PPT)
第四章　§4.1　数列的概念
第1课时　数列的概念及通项公式
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
2.掌握数列的分类，了解数列的单调性.
3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
内
容
索
引
知识梳理
题型探究
随堂演练
课时对点练
1
知识梳理
PART ONE
1.一般地，我们把按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 .数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第 项，用a2表示……，第 个位置上的数叫做这个数列的第 项，用an表示.其中第1项也叫做 .
2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为 .
思考　数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？
知识点一　数列及其有关概念
答案　不是.顺序不一样.
确定的顺序
项
1
2
n
n
首项
{an}
知识点二　数列的分类
分类标准 名称 含义
按项的个数 有穷数列 项数 的数列
无穷数列 项数 的数列
有限
无限
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号 ，对应的函数值是数列的第n项 ，记为an＝f(n).
知识点三　函数与数列的关系
n
an
知识点四　数列的单调性
递增数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列
递减数列 从第2项起，每一项都 它的前一项的数列
常数列 各项都 的数列
大于
小于
相等
1.如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的 .
2.通项公式就是数列的 ，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数.
思考　既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？
知识点五　通项公式
答案　还可以用列表法、图象法.
序号n
通项公式
函数解析式
1.1,1,1,1是一个数列.(　　)
2.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}.(　　)
3.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.(　　)
4.an与{an}表达不同的含义.(　　)
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
√
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
一、数列的有关概念和分类
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
解　(5)是有穷数列；
(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；
(2)是递增数列；
(1)(4)(5)是递减数列；
(3)是常数列.
反思感悟
(1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断.
(2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例外.
跟踪训练1　下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021；
(6)9,9,9,9,9,9.
解　(1)(6)是有穷数列；
(1)(2)是递增数列；
(3)是递减数列；
(6)是常数列.
例2　写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式
解　这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，
并且奇数项为负，偶数项为正，
解　数列中的项，有的是分数，有的是整数，
(3)0,1,0,1；
解　这个数列中的项是0与1交替出现，奇数项都是0，偶数项都是1，
(4)9,99,999,9 999.
解　各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，
此数列的通项公式为10n，
可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.
反思感悟
根据数列的前几项求通项公式的解题思路
(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.
(2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式.
(3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n或(－1)n＋1处理符号.
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等.
跟踪训练2　写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
解　各项分母分别为21,22,23,24，
易看出第1,2,3,4项分子分别比分母少了3，
解　这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，
分子都是比序号大1的数的平方减1，
(3)7,77,777,7 777.
例3　已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.
(1)写出数列的前3项；
三、数列通项公式的简单应用
解　在通项公式中依次取n＝1,2,3，
可得{an}的前3项分别为1,6,15.
(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项.
故45是数列{an}中的第5项.
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，
解　令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，
反思感悟
(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为该数列的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.
跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求实数q的值；
解　由题意知q4－q2＝72，
则q2＝9或q2＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)判断－81是否为此数列中的项.
解　当q＝3时，an＝3n.
显然－81不是此数列中的项；
当q＝－3时，an＝(－3)n.
令(－3)n＝－81，无解，
∴－81不是此数列中的项.
延伸探究
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N*.问当n为何值时，an取得最小值？并求出最小值.
∴当n＝2或3时，an取得最小值，为a2＝a3＝－2.
核心素养之数学抽象
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE CHOU XIANG
数列单调性的应用
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1则a1a11>a12>…，
又n∈N*，则n＝9或n＝10.
故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，
素养提升
(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件.
(3)通过数列单调性的应用，培养数学抽象、数学运算等核心素养.
3
随堂演练
PART THREE
D.数列0,2,4,6,8，…可记为{2n}
1.下列说法正确的是
A.数列1,3,5,7，…，2n－1可以表示1,3,5,7，…
B.数列1,0，－1，－2与数列－2，－1,0,1是相同的数列
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解析　数列1,3,5,7，…，2n－1为有穷数列，而数列1,3,5,7，…为无穷数列，故A中说法错误；
数的顺序不同就是两个不同的数列，故B中说法错误；
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在D中，an＝2n－2，故D中说法错误.
√
解析　把n＝1,2,3,4依次代入通项公式，
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3.(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是
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解析　选项C，D既是无穷数列又是递增数列.
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5.数列3,5,9,17,33，…的一个通项公式是__________________.
an＝2n＋1，n∈N*
1.知识清单：
(1)数列及其有关概念.
(2)数列的分类.
(3)函数与数列的关系.
(4)数列的单调性.
(5)数列的通项公式.
2.方法归纳：观察、归纳、猜想.
3.常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(－1)n进行调节，不注意分子、分母间的联系.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
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课时对点练
PART FOUR
1.(多选)下列说法正确的是
A.数列可以用图象来表示 B.数列的通项公式不唯一
C.数列中的项不能相等 D.数列可以用一群孤立的点表示
基础巩固
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解析　数列中的项可以相等，如常数列，故选项C中说法不正确.
√
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√
2.数列－1,3，－7,15，…的一个通项公式可以是
A.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N* B.an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*
C.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N* D.an＝(－1)n＋1·(2n－1)，n∈N*
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解析　数列各项正、负交替，故可用(－1)n来调节，
又1＝21－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，…，
所以通项公式为an＝(－1)n·(2n－1)，n∈N*.
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5.数列0.3,0.33,0.333,0.333 3，…的通项公式为
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6.323是数列{n(n＋2)}的第____项.
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解析　由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去).
∴323是数列{n(n＋2)}的第17项.
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7.若数列{an}的通项公式是an＝3－2n，n∈N*则a2n＝_______； ＝____.
3－4n
解析　因为an＝3－2n，所以a2n＝3－22n＝3－4n，
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8.已知数列{an}的通项公式为an＝2 020－3n，则使an>0成立的正整数n的最大值为_____.
673
又因为n∈N*，
所以正整数n的最大值为673.
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9.写出下列各数列的一个通项公式：
(1)4,6,8,10，…；
解　各项是从4开始的偶数，所以an＝2n＋2，n∈N*.
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解　每一项分子比分母少1，而分母可写成21,22,23,24,25，…，
分子分别比分母少1，
解　通过观察，数列中的数正、负交替出现，且先负后正，则选择(－1)n.
则每一项的分母依次为3,5,7,9，…，可写成(2n＋1)的形式.
分子为3＝1×3,8＝2×4,15＝3×5,24＝4×6，…，可写成n(n＋2)的形式.
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10.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数.
(1)求数列{an}的通项公式；
解得k＝4，b＝－2.
∴an＝4n－2，n∈N*.
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(2)求a2 020；
解　a2 020＝4×2 020－2＝8 078.
(3)2 020是否为数列{an}中的项？
∴2 020不是数列{an}中的项.
综合运用
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解析　经代入检验，A，C，D均可以作为已知数列的通项公式.
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所以相等的连续两项是第10项和第11项.
A.第9项，第10项 B.第10项，第11项
C.第11项，第12项 D.第12项，第13项
√
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解析　结合函数的单调性，要使数列{an}递增，
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14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(6)＝____.
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解析　f(1)＝1＝2×1×0＋1，
f(2)＝1＋3＋1＝2×2×1＋1，
f(3)＝1＋3＋5＋3＋1＝2×3×2＋1，
f(4)＝1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝2×4×3＋1，
故f(n)＝2n(n－1)＋1.
当n＝6时，f(6)＝2×6×5＋1＝61.
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15.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为
拓广探究
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(1)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；
所以01
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