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4.2.1 等差数列的概念
1．（2020·河北运河·沧州市一中月考）下列说法正确是（ ）
A．常数列一定是等比数列 B．常数列一定是等差数列
C．等比数列一定不是摆动数列 D．等差数列可能是摆动数列
2．（2020·吉林南关·长春市实验中学高一期末（理））设a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（ ）
A．a，b，c依次成等差数列 B．，，依次成等差数列
C．，，依次成等比数列 D．，，依次成等比数列
3．（2019·佛山市南海区桂城中学月考）下列叙述正确的是（ ）
A．与是相同的数列 B．是常数列
C．数列的通项 D．数列是递增数列
4．已知数列满足，对一切，，则数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定
5．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）若数列的通项公式为，则此数列是（ ）
A．公差为-1的等差数列 B．公差为5的等差数列
C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列
1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）在等差数列{an}中，若，公差d=2，则a7=（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
2．（2020·内蒙古扎鲁特旗·扎鲁特一中期末（文））已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·北京平谷·期末）已知等差数列中那么（ ）
A．17 B．9 C．10 D．24
4．（2019·全国高一课时练习）已知数列是等差数列，且，则公差（ ）
A． B．4 C．8 D．16
5（2019·全国高二课时练习）等差数列的第项是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·陕西商洛·期末（文））若等差数列的公差，则_______．
1．（2020·上海高二课时练习）已知一等差数列中依次的三项为，则______.
2．（2020·全国高二课时练习）若，，成等差数列，则______.
3．（2020·甘肃武威十八中高一课时练习）已知，，成等差数列，则______．
4．（2020·全国高一课时练习）已知（1，3），（3，-1）是等差数列图像上的两点，若5是p，q的等差中项，则的值为______。
5．（2020·陕西省洛南中学高二月考）在等差数列中，已知,则 ( )
A．10 B．11 C．12 D．13
6.（2020·全国月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，且，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
1．（2020·全国高三课时练习（理））数列{an}满足a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，n∈N*.证明：数列是等差数列.
2．（2020·上海高二课时练习）数列的通项公式是．
（1）求证：是等差数列，并求出其公差；
（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？
3．（2019·全国高二课时练习）已知数列的通项公式为.
（1）0.98是不是这个数列中的一项？
（2）判断此数列的单调性，并求最小项.
4．（2019·全国课时练习）已知数列满足令．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
5．（2020·全国高一课时练习）已知数列中，， ，数列满足。
（1）求证：数列为等差数列。
（2）求数列的通项公式。
1．（2020·河南高二期中（文））已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则等于（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
2．（2020·四川广安·高一期末（理））已知数列{an}的通项公式an＝n＋ (n∈N*)，则数列{an}的最小项是 ( )
A．a12 B．a13 C．a12或a13 D．不存在
3．（2020·全国高一课时练习）在等差数列中,,且不大于,则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.（2020·全国高二课时练习）等差数列中，公差，当时，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
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4.2.1 等差数列的概念
1．（2020·河北运河·沧州市一中月考）下列说法正确是（ ）
A．常数列一定是等比数列 B．常数列一定是等差数列
C．等比数列一定不是摆动数列 D．等差数列可能是摆动数列
【答案】B
【解析】对于A选项，各项均为的常数列不是等比数列，A选项错误；
对于B选项，常数列每一项都相等，则常数列是公差为的等差数列，B选项正确；
对于C选项，若等比数列的公比满足，则该等比数列为摆动数列，C选项错误；
对于D选项，若等差数列的公差，则该等差数列为递增数列；
若，则该等差数列为常数列；
若，则该等差数列为递减数列.
所以，等差数列一定不是摆动数列，D选项错误.故选：B.
2．（2020·吉林南关·长春市实验中学高一期末（理））设a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若，，依次成公差不为0的等差数列，则（ ）
A．a，b，c依次成等差数列 B．，，依次成等差数列
C．，，依次成等比数列 D．，，依次成等比数列
【答案】B
【解析】∵a，b，c分别是内角A，B，C的对边，
，，依次成公差不为0的等差数列，
∴，
根据正弦定理可得，
∴，
∴，
∴，
∴，，依次成等差数列.
故选：B.
3．（2019·佛山市南海区桂城中学月考）下列叙述正确的是（ ）
A．与是相同的数列 B．是常数列
C．数列的通项 D．数列是递增数列
【答案】D
【解析】数列与各项顺序不同，不是相同的数列，故错误；
数列是摆动数列，故错误；
数列，通项，故错误；
单调递增，则数列是递增数列，故正确.
本题正确选项：
4．已知数列满足，对一切，，则数列是（ ）
A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．不确定
【答案】B
【解析】因为，所以数列为等比数列，，
又，则，所以得，，故数列是递减数列.故选：B.
5．（2020·哈尔滨市第三十二中学校高一期末）若数列的通项公式为，则此数列是（ ）
A．公差为-1的等差数列 B．公差为5的等差数列
C．首项为5的等差数列 D．公差为n的等差数列
【答案】A
【解析】∵， ∴，
∴{a n}是公差的等差数列． 故选：A
1．（2020·江苏江都·邵伯高级中学月考）在等差数列{an}中，若，公差d=2，则a7=（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】A
【解析】因为等差数列{an}中，且，公差d=2，所以a7=a3+4d=7.故选：A
2．（2020·内蒙古扎鲁特旗·扎鲁特一中期末（文））已知等差数列满足，则中一定为零的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设数列的公差为，则，，∴．故选：C．
3．（2020·北京平谷·期末）已知等差数列中那么（ ）
A．17 B．9 C．10 D．24
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，
，，故选：B.
4．（2019·全国高一课时练习）已知数列是等差数列，且，则公差（ ）
A． B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】等差数列中
5（2019·全国高二课时练习）等差数列的第项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题,等差数列,,,
故选A
6．（2020·陕西商洛·期末（文））若等差数列的公差，则_______．
【答案】
【解析】设，，，则．
又，则，故答案为：.
1．（2020·上海高二课时练习）已知一等差数列中依次的三项为，则______.
【答案】2
【解析】由等差中项定义得：，解得：.故答案为：2.
2．（2020·全国高二课时练习）若，，成等差数列，则______.
【答案】0或1
【解析】由题, ,即,或0故答案为：0或1
3．（2020·甘肃武威十八中高一课时练习）已知，，成等差数列，则______．
【答案】
【解析】因为，，成等差数列，所以，
，
因此
4．（2020·全国高一课时练习）已知（1，3），（3，-1）是等差数列图像上的两点，若5是p，q的等差中项，则的值为______。
【答案】
【解析】设等差数列通项公式为，代入点的坐标得，解得，即，由于是的等差中项，故，所以.
5．（2020·陕西省洛南中学高二月考）在等差数列中，已知,则 ( )
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【解析】由等差中项的性质得， 所以，则，
所以，，故选：A.
6.（2020·全国月考）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，且，则外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，成等差数列，所以，则，
由正弦定理可知，，解得：.
所以外接圆的半径为，从而外接圆的面积为.故选：A.
1．（2020·全国高三课时练习（理））数列{an}满足a1=1，nan+1=(n+1)an+n(n+1)，n∈N*.证明：数列是等差数列.
【答案】证明见解析.
【解析】证明：由已知可得=+1，即=1，
所以是以=1为首项，1为公差的等差数列.
2．（2020·上海高二课时练习）数列的通项公式是．
（1）求证：是等差数列，并求出其公差；
（2）判断、是否是数列中的项，如果是，是第几项？
【答案】（1）证明见解析，公差为；（2）是该数列的第项，不是该数列中的项.
【解析】（1），则，，
所以，数列是等差数列，且公差为；
（2）令，即，解得；
令，即，解得.
所以，是该数列的第项，不是该数列中的项.
3．（2019·全国高二课时练习）已知数列的通项公式为.
（1）0.98是不是这个数列中的一项？
（2）判断此数列的单调性，并求最小项.
【答案】（1）是第7项（2）递增数列，
【解析】（1）令,即,,可解得,故为第7项
（2）由题,
是递增数列,的最小项为
4．（2019·全国课时练习）已知数列满足令．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】(1)证明：∵an＝4－ (n≥2)，∴an＋1－2＝2－＝ (n≥1)．
∴＝＝＋ (n≥1)，即bn＋1－bn＝ (n≥1)．∴{bn}为等差数列．
(2)解：∵为等差数列，∴＝＋(n－1)·＝.
∴an＝2＋.∴{an}的通项公式为an＝2＋
5．（2020·全国高一课时练习）已知数列中，， ，数列满足。
（1）求证：数列为等差数列。
（2）求数列的通项公式。
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）证明：由题意知，，又，故，又易知，故数列是首项为，公差为1的等差数列。
（2）由（1）知，所以由，可得，故数列的通项公式为。
1．（2020·河南高二期中（文））已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则等于（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
【答案】A
【解析】在等差数列中，由 ，得 ，得 ，
∵公差 为整数， ．故选A．
2．（2020·四川广安·高一期末（理））已知数列{an}的通项公式an＝n＋ (n∈N*)，则数列{an}的最小项是 ( )
A．a12 B．a13 C．a12或a13 D．不存在
【答案】C
【解析】令，由对勾函数的性质可得：
当 时,函数f(x)单调递增;当时,函数f(x)单调递减。
∴数列{an}的最小项是a12=25与a13=25中的最小值，因此数列{an}的最小项是a12或a13.本题选择C选项.
3．（2020·全国高一课时练习）在等差数列中,,且不大于,则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，所以，选B.
4.（2020·全国高二课时练习）等差数列中，公差，当时，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
因为，，
所以，又因为，所以，
所以.故选：B.
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