10.1.3古典概型 课件（30页PPT）

(共30张PPT)
10.1.3古典概型
概率：随机事件与概率
结合具体实例，理解古典概型，能计算
古典概型中随机事件的概率
课程标准
一
二
教学目标
结合实际例子，理解古典概型
能计算古典概型中简单随机事件的概率
教学目标
重难点、易错点
重点
难点
易错点
能计算古典概型中简单随机事件的概率
在计算古典概型相关的事件概率中，样本点可能性的判断
古典概型的模型：等可能性
导
复习回顾1
问题1 两个事件之间的关系有哪些？
包含事件、相等事件、互斥事件、对立事件
问题2 事件之间的运算有哪些？这些事件概念的含义分别如何？
若事件A发生时事件B一定发生，则A B .
若事件A发生时事件B一定发生，反之亦然，则A=B.
若事件A与事件B不同时发生,则A与B互斥.
若事件A与事件B有且只有一个发生，则A与B相互对立.
导
复习回顾
事件A与B关系 含义 符号
事件B包含A（或称事件A包含于B） 如果事件A发生，则事件B一定发生。 B A（A B）
事件A与B相等 如果事件A发生，则事件B一定发生； 反之，也成立。 A=B
事件A与B的和事件（或并事件） 事件A与B至少有一个发生的事件 A B
事件A与B的积事件（或交事件） 事件A与B同时发生的事件 A B
事件A与B互斥 事件A与B不能同时发生 A B=Φ
事件A与B互为对立事件 事件A与B不能同时发生，但必有一个发生 A B=Φ且 A B=Ω
问题3 事件间的关系与运算有哪些？
新课授入1
研究随机现象，最重要的是知道随机事件发生的可能性大小，对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability),事件A的概率用P(A)表示.
我们知道，通过试验和观察的方法可以得到一些事件的概率估计，但这种方法耗时多，而且得到的仅是概率的近似值，能否通过建立适当的数学模型，直接计算随机事件的概率呢？
思
新课授入1
回忆上节课的三个试验例子
试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币
试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子
试验三：抛掷一枚质地均匀的硬币两次
问题4 （1）每个试验有哪些样本点？（列举出来）
（2）每个样本点出现的可能性相同吗？
（总结出他们的共同特征！）
1.样本点只有有限个
2.每个样本点发生的可能性相等
新课授入1
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classical models of probability),简称古典概型
测
下列试验是古典概型的为　　　　.
①从6名同学中选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性大小;
②同时掷两颗骰子,点数和为6的概率;
③近三天中有一天降雨的概率;
④10人站成一排,其中甲、乙相邻的概率.
判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：
一是有限性；二是等可能性
思
新课授入2
随机事件1：一个班级中有18名男生、22名女生.采用抽签的方式,从中随机选择一名学生,事件A=“抽到男生”
问题5 事件A发生的可能性大小该如何度量
班级中共有40名学生，从中选择一名学生，因为是随机选取的，所以选到每个学生的可能性都相等，这是一个古典概型.
抽到男生的可能性大小，取决于男生数在班级学生数中所占的比例大小.
因此，可以用男生数与班级学生数的比值来度量
这个随机试验的样本空间中有40个样本点，而事件A=“抽到男生”包含18个样本点.
因此，事件A发生的可能性大小为18/40=0.45
判断概率模型
计算概率
思
新课授入2
随机事件2：抛掷一枚质地均匀的硬币3次，事件B=“恰好一次正面朝上”
问题6 如何度量事件B发生的可能性大小
我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则试验的样本空间Ω={(1,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,0,0),0,1,1),(0,1,0),(0,0,1),(0,0,0)}.共有8个样本点,且每个样本点是等可能发生的，所以这是一个古典概型.
事件B发生的可能性大小，取决于这个事件包含的样本点在样本空间包含的样本点中所占的比例大小.
因此，可以用事件包含的样本点数与样本空间包含的样本点数的比值来度量.因为B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)},所以事件B发生的可能性大小为3/8=0.375
判断概率模型
计算概率
追问：从两个随机事件中，你能总结出计算古典概型概率的方法吗？
新课授入
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率
其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
测
单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A，B，C,D四个选项中选择一个正确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案,假设考生不会做，他随机地选择一个答案,问他答对的概率是多少？
试验有选A,选B,选C,选D共4种可能结果,试验的样本空间可以表示为Ω={A,B,C,D}.
考生随机选择一个答案，表明每个样本点发生的可能性相等,所以这是一个古典概型.
设M=“选中正确答案”，
因为正确答案是唯一的，所以n(M)=1.
所以,考生随机选择一个答案,答对的概率
思
计算古典概型事件的概率三步骤
步骤一,算出样本点的总个数n;
步骤二,求出事件A所包含的样本点个数k;
步骤三,代入公式求出概率P(A).
议、展、评
在标准化的考试中既有单选题又有多选题,多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案,同学们可能有一种感觉,如果不知道正确答案,多选题更难猜对,这是为什么
问题7 请同学们以小组形式讨论一下：
（1）试验是古典概型吗？
（2） 写出试验的样本空间？（列举出来）
（3）每一个样本点的概率是多少？
（4）单选题与多选题相比哪个更难选对？
测
抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为I号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果.
(1)写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；
(2)求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”；
B=“两个点数相等”；
C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
思
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
(1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果，I号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对，组成掷两枚骰子试验的一个结果，用数字m表示I号骰子出现的点数是m,数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n,则数组（m,n)表示这个试验的一个样本点.
因此该试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型.
利用列表法将试验的样本点列出来：
解析
思
(2)求下列事件的概率：
A=“两个点数之和是5”；
B=“两个点数相等”；
C=“I号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”.
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
(2)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,从而
因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,(6,6)},所以n(B)=6,从而
因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)（4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)(6,5)},
所以n(C)=15,
解析
1.判断事件是否是古典概型
2.利用古典概型公式计算概率
思
问题8 在上例中,为什么要把两枚骰子标上记号
如果不给两枚骰子标记号,会出现什么情况 你能解释其中的原因吗
如果不给两枚骰子标记号，则不能区分所抛掷出的两个点数分别属于哪枚骰子，如抛掷出的结果是1点和2点，有可能第一枚骰子的结果是1点，也有可能第二枚骰子的结果是1点.这样，(1,2)和（2,1)的结果将无法区别.
当不给两枚骰子标记号时，试验的样本空间Ω1={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6},且m≤n},则n(Ω1)=21.
其中，事件A=“两个点数之和是5”的结果变为A={(1,4),(2,3)},这时P(A)=2/21
等可能性无法保证！
不是古典概型
思
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
问题9 同一个事件的概率，为什么会出现两个不同的结果呢？
可以发现，36个结果都是等可能的；而合并为21个可能结果时，(1,1)和（1,2)发生的可能性大小不等，这不符合古典概型特征，所以不能用古典概型公式计算概率，因此P(A)=2/21,是错误的.
等可能性无法保证！
不是古典概型
新课授入
求解古典概型问题的一般思路：
(1)明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）;
(2)根据实际问题情境判断样本点的等可能性；
(3)计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.
列举法 图表法
测
袋子中有5个大小质地完全相同的球,其中2个红球、3个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球,求下列事件的概率：
(1)A=“第一次摸到红球”；
(2)B=“第二次摸到红球”；
(3)AB=“两次都摸到红球”
解：将两个红球编号为1,2,三个黄球编号为3,4,5.第一次摸球时有5种等可能结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果，将两球的结果配对，组成20种等可能的结果，如表所示
思
(1)第一次摸到红球的可能结果有8种（表中第1,2行）,即A={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5)},所以
(2)第二次摸到红球的可能结果也有8种（表中第1、2列）,即B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2)},
所以
(3)事件AB包含2个可能结果，即AB={(1,2),(2,1)},所以
追问：同时摸出2个球则事件AB的概率是多少？
议、展、评
试验：从两名男生(记为B1和B2)、两名女生(记为G1和G2)中任意抽取两人
问题10 以小组形式探究：
（1）分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间
（2）在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率
思
解:设第一次抽取的人记为x1,第二次抽取的人记为x2,则可用数组(x1,x2)表示样本点
有放回简单随机抽样的样本空间Ω1={(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1) ),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}
不放回简单随机抽样的样本空间Ω2={(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1), (B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1) ),(G2,B2),(G2,G1)}
按性别等比例分层抽样的样本空间
Ω3=(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1), (B2,G2)}
列
思
(2)设事件A=“抽到两名男生”,则对于有放回简单随机抽样,A={ (B1,B1),(B1,B2),(B2,B1),(B2,B2)}.
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型,因此P(A)=4/16=0.25
对于不放回简单随机抽样,A={(B1,B2),(B2,B1)}.因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型因此P(A)=2/12=1/6≈0.167.
因为按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以A=Φ,因此P(A)=0
此例表明,同一个事件A=“抽到两名男生”发生的概率,在按性别等比例分层抽样时最小,在不放回简单随机抽样时次之,在有放回简单随机抽样时最大,因此,抽样方法不同,则样本空间不同,某个事件发生的概率也可能不同
1.判断事件是否是古典概型
2.利用古典概型公式计算概率
思
上一章我们研究过通过抽样调查估计树人中学高一学生平均身高的问题.我们知道，简单随机抽样使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现全是男生的“极端”样本，这就可能高估总体的平均身高.
上述计算表明，在总体的男、女生人数相同的情况下，用有放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率为0.25;用不放回简单随机抽样进行抽样，出现全是男生的样本的概率约为0.167,可以有效地降低出现“极端”样本的概率.特别是，在按性别等比例分层抽样中，全是男生的样本出现的概率为0,真正避免了这类极端样本的出现.所以，改进抽样方法对于提高样本的代表性很重要.
问题11 频率与概率一样吗？为什么？
小结
注意：抽样时是有序还是无序，有放回还是无放回
列
小结