高中数学必修一第一章分段函数与映射

课件34张PPT。1.2.2 函数的表示方法第二课时 分段函数与映射提出问题1.设集合A={x|x是正方形}，B={y|y>0},对应关系f：正方形→面积，那么从集合A到集合B的对应是否是函数？为什么？2.函数是“两个数集A、B间的一种确定的对应关系”，如果集合A、B不都是数集，这种对应关系又怎样解释呢？知识探究(一)：分段函数某市某条公交线路的总里程是20公里，在这条线路上公交车“招手即停”，其票价如下：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）.思考1:里程与票价之间的对应关系是否为函数？若是，函数的自变量是什么？定义域是什么？思考2:该函数用解析法怎样表示？提示：设里程为x公里，票价为y元，则思考3:该函数用列表法怎样表示？思考4:该函数用图象法怎样表示？ 思考5:上面的函数称为分段函数,一般地，分段函数的解析式有什么特点？试举例说明. 知识探究(二)：映射思考1:上述两个对应有何共同特点？思考2:我们把具有上述特点的对应叫做映射，那么如何定义映射？提示：设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射.思考4:在我们的生活中处处有映射，你能举一个实例吗？知识探究（二）：映射与函数的关系思考1:函数一定是映射吗？映射一定是函数吗？思考2:映射有哪几种对应形式？ 一对一，多对一. 思考3:设集合A=N，B={x|x是非负偶数}，你能给出一个对应关系f，使从集合A到集合B的对应是一个映射吗？并指出其对应形式.提示： 思考5:有人说映射有“三性”，即“有序性”，“存在性”和“唯一性”，对此你是怎样理解的？③“唯一性”：对于集合A中的任何一个元素，在集合B中和它对应的元素是唯一的.①“有序性”：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；②“存在性”：对于集合A中的任何一个元素，集合B中都存在元素和它对应；提示：理论迁移考点一： 映射的概念[精解详析]　(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0 B，故不是映射．
(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．[一点通]　给定两个非空集合A，B及对应关系f，判断是否是从集合A到集合B的映射，主要利用映射的定义判断是否满足对集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应．A→B的对应有“多对一”“一对一”“一对多”，前两种对应是A到B的映射，而最后一种不是A到B的映射．1．设映射f：A→B，则下列命题中，正确的是(　　)
A．A中每个元素在B中必有唯一元素与其对应
B．B中每个元素在A中必有元素与其对应
C．B中每个元素在A中的对应元素唯一
D．A中不同的元素在B中的对应元素必不同解析：f：A→B表示A中的任一元素在B中都有唯一元素与之对应，而B中的元素可以不参与对应，也可以和A中多个元素对应．
答案：A2．下列集合A到集合B的对应f是映射的是 (　　)
A．A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开平方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值解析：在B中，集合A中的元素1有±1两个元素与之对应，∴B不正确．C中，集合A中的元素0没有倒数，∴C不正确．D中，集合A中的元素0的绝对值仍然是0，而0?B，∴D不正确．
答案：A答案：C考点二： 分段函数(2)当a≤－2时，a＋1＝3，
即a＝2＞－2，不合题意，舍去．
当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.
所以(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3 (－2,2)，∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.[一点通]　1．分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．
2．多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．
3．已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．解析：∵－4<1，∴f(－4)＝16，f(16)＝16－1＝15.
答案：A解析：f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0.
答案：D答案：(4，＋∞)[精解详析]　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．(6分)
考点三： 分段函数应用(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R. (8分)
由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f(x)＝1，
所以f(x)的值域为[0,1]． (12分)[一点通]　1．分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同部分，所以它的图象也由几部分构成，可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图象法”．2．对含有绝对值的函数，要作其图象，首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数来画图象．
3．画分段函数图象时还要注意端点是“实心点”还是“空心点”．(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．方法规律小结1．对映射的定义，应注意以下几点：
(1)集合A和B必须是非空集合，它们可以是数集、点集，也可以是其他集合．
(2)映射是一种特殊的对应．对应关系可以用图示或文字描述的方法来表达．2．理解分段函数应注意的问题：
(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．写定义域时，区间的端点需不重不漏．(2)求分段函数的函数值时，自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．
(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．同学们 再见！