高中数学必修一第一章函数的最大(小)值
文档属性
| 名称 | 高中数学必修一第一章函数的最大(小)值 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 520.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-04-06 20:10:29 | ||
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文档简介
课件36张PPT。第二课时 函数的最大(小)值1.3.1 函数的单调性与
最大(小)值提出问题1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性，
如果函数的图象存在最高点或最低点，它又
反映了函数的什么性质？知识探究(一): 函数的最大值观察下列两个函数的图象： 思考1:这两个函数图象有何共同特征？思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，
则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小
关系如何？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？思考3:设函数 ，则 成立吗？
的最大值是2吗？为什么？思考4:怎样定义函数 的最大值？用什么符号
表示？思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元
素吗？如果函数 的值域是(a,b)，则函
数 存在最大值吗？ 思考6:函数 有最大
值吗？为什么？知识探究(二)：函数的最小值观察下列两个函数的图象： 思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数
的最小值？ 一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实
数M满足：
(1)对于任意的 , 都有 ;
(2)存在 ，使得 .
那么称m是函数 的最小值，记作知识探究(三)：对函数最值的理解思考1:如果在函数 定义域内存在x1和 x2，
使对定义域内任意x都有
成立，由此你能得到什么结论？思考2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而
言，有哪几种可能情况？思考3:如果函数 存在最大值，那么有几个？思考4:如果函数 的最大值是b，最小值是a，
那么函数 的值域是[a，b]吗？理论迁移考点一： 利用函数图象求函数最值[例1] 下图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．[精解详析] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)在x＝3时取得最大值，即ymax＝3，当x＝－1.5时，取得最小值，即ymin＝－2.[一点通] 用图象法求最值的一般步骤是解：画出函数的图象，如图所示．
由图可知，函数的最大值是f(3)＝3，最小值是f(1)＝1.2．函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 ( )
A．－2，f(2) B．2，f(2)
C．－2，f(5) D．2，f(5)解析：由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；
当x＝5时，有最大值f(5)．
答案：C考点二： 利用函数单调性求函数最值[一点通] 函数的最值与单调性的关系
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．答案：C考点三： 应用题中的最值问题(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[一点通]1．解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学问题解决．
2．分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．
3．对于分段函数求最大(小)值时，要分别求出函数在各段上的最大(小)值，然后比较，最大(小)的一个即为函数的最大(小)值．6．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价
格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)?解：设每天从报社买进x(180≤x≤400，x∈N*)份晚报，每月获利为y元，则有y＝0.20(18x＋12×180)－0.35×12(x－180)＝－0.6x＋1 188,180≤x≤400，x∈N*.
因为函数y＝－0.6x＋1 188在180≤x≤400，x∈N*时是减函数，所以x＝180时函数取得最大值，最大值为
y＝－0.6×180＋1 188＝1 080.
故摊主每天从报社买进180份晚报时，每月获得的利润最大，为1 080元.考点四： 与参数有关的最值问题[例4] (12分)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．[精解详析] ∵函数图象的对称轴是x＝a， (1分)
∴当a<2时，
f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. (4分)
当a>4时，
f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. (7分)[一点通] 求二次函数的最值的一般步骤
(1)确定二次函数图像的对称轴．
(2)根据对称轴的位置情况讨论函数的单调性．
(3)写出最值．7．已知函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)，且ymax＝a2，求实数a
的取值范围．解：∵y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2(0≤x≤1)，
∴函数图象是开口向下的抛物线，且对称轴为x＝－a.
又∵ymax＝a2，且0≤x≤1，
∴0≤－a≤1?－1≤a≤0.
∴实数a的取值范围是[－1,0]．8．设f(x)＝x2－4x－4，x∈[a，a＋1](a∈R)，求函
数f(x)的最小值g(a)的解析式．解：∵f(x)＝(x－2)2－8，x∈[a，a＋1]，
∴当2∈[a，a＋1]时，即1≤a≤2时，
g(a)＝f(2)＝－8.
当a＋1<2，即a<1时，f(x)在[a，a＋1]上是减函数，方法规律小结函数的值域与最大(小)值的区别
(1)函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义域中一定存在一个x0，使f(x0)＝M(最值)．
(2)函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大(小)值，如y＝x在x∈(－1,1)时无最值．同学们 再见！
最大(小)值提出问题1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性，
如果函数的图象存在最高点或最低点，它又
反映了函数的什么性质？知识探究(一): 函数的最大值观察下列两个函数的图象： 思考1:这两个函数图象有何共同特征？思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，
则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小
关系如何？函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？思考3:设函数 ，则 成立吗？
的最大值是2吗？为什么？思考4:怎样定义函数 的最大值？用什么符号
表示？思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元
素吗？如果函数 的值域是(a,b)，则函
数 存在最大值吗？ 思考6:函数 有最大
值吗？为什么？知识探究(二)：函数的最小值观察下列两个函数的图象： 思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数
的最小值？ 一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实
数M满足：
(1)对于任意的 , 都有 ;
(2)存在 ，使得 .
那么称m是函数 的最小值，记作知识探究(三)：对函数最值的理解思考1:如果在函数 定义域内存在x1和 x2，
使对定义域内任意x都有
成立，由此你能得到什么结论？思考2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而
言，有哪几种可能情况？思考3:如果函数 存在最大值，那么有几个？思考4:如果函数 的最大值是b，最小值是a，
那么函数 的值域是[a，b]吗？理论迁移考点一： 利用函数图象求函数最值[例1] 下图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的最大值、最小值．[精解详析] 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3,3)，最低的点是(－1.5，－2)，所以函数y＝f(x)在x＝3时取得最大值，即ymax＝3，当x＝－1.5时，取得最小值，即ymin＝－2.[一点通] 用图象法求最值的一般步骤是解：画出函数的图象，如图所示．
由图可知，函数的最大值是f(3)＝3，最小值是f(1)＝1.2．函数f(x)在区间[－2,5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 ( )
A．－2，f(2) B．2，f(2)
C．－2，f(5) D．2，f(5)解析：由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；
当x＝5时，有最大值f(5)．
答案：C考点二： 利用函数单调性求函数最值[一点通] 函数的最值与单调性的关系
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．(3)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．答案：C考点三： 应用题中的最值问题(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)[一点通]1．解决实际问题，首先要理解题意，然后建立数学模型转化成数学问题解决．
2．分清各种数据之间的关系是正确构造函数关系式的关键．
3．对于分段函数求最大(小)值时，要分别求出函数在各段上的最大(小)值，然后比较，最大(小)的一个即为函数的最大(小)值．6．某市一家报刊摊点，从该市报社买进该市的晚报价
格是每份0.40元，卖出价格是每份0.60元，卖不掉的报纸以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(按30天计算)里，有18天每天可卖出400份，其余12天每天只能卖出180份．摊主每天从报社买进多少份晚报，才能使每月获得的利润最大(设摊主每天从报社买进晚报的份数是相同的)?解：设每天从报社买进x(180≤x≤400，x∈N*)份晚报，每月获利为y元，则有y＝0.20(18x＋12×180)－0.35×12(x－180)＝－0.6x＋1 188,180≤x≤400，x∈N*.
因为函数y＝－0.6x＋1 188在180≤x≤400，x∈N*时是减函数，所以x＝180时函数取得最大值，最大值为
y＝－0.6×180＋1 188＝1 080.
故摊主每天从报社买进180份晚报时，每月获得的利润最大，为1 080元.考点四： 与参数有关的最值问题[例4] (12分)求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值．[精解详析] ∵函数图象的对称轴是x＝a， (1分)
∴当a<2时，
f(x)在[2,4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. (4分)
当a>4时，
f(x)在[2,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. (7分)[一点通] 求二次函数的最值的一般步骤
(1)确定二次函数图像的对称轴．
(2)根据对称轴的位置情况讨论函数的单调性．
(3)写出最值．7．已知函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)，且ymax＝a2，求实数a
的取值范围．解：∵y＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2(0≤x≤1)，
∴函数图象是开口向下的抛物线，且对称轴为x＝－a.
又∵ymax＝a2，且0≤x≤1，
∴0≤－a≤1?－1≤a≤0.
∴实数a的取值范围是[－1,0]．8．设f(x)＝x2－4x－4，x∈[a，a＋1](a∈R)，求函
数f(x)的最小值g(a)的解析式．解：∵f(x)＝(x－2)2－8，x∈[a，a＋1]，
∴当2∈[a，a＋1]时，即1≤a≤2时，
g(a)＝f(2)＝－8.
当a＋1<2，即a<1时，f(x)在[a，a＋1]上是减函数，方法规律小结函数的值域与最大(小)值的区别
(1)函数的值域是一个集合，函数的最值是一个函数值，它是值域的一个元素，即定义域中一定存在一个x0，使f(x0)＝M(最值)．
(2)函数的值域一定存在，但函数并不一定有最大(小)值，如y＝x在x∈(－1,1)时无最值．同学们 再见！