高中数学必修一第一章 奇偶性
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课件35张PPT。1.3.2 奇偶性提出问题1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的需要，也是数学自身发展的必然结果. 例如事物的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值.2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什么性质？知识探究（一）：函数的奇偶性思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？ 思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？ 思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？ 思考4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函数，那么怎样定义偶函数？提示：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)成立，则称函数f(x)为偶函数.f(x)=f(-x)提示：思考5:等式f(-x)=f(x)用文字语言怎样表述？ 自变量相反时对应的函数值相等 偶函数的定义域关于原点对称提示： 提示： 知识探究（二）：奇函数、偶函数的图象思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？ 思考2:对于上述两个函数，f(1)与f(-1)，f(2)与f(-2)，f(3)与f(-3)有什么关系？ 思考3:一般地，若函数y=f(x)的图象关于坐标原点对称，则f(x)与f(-x)有什么关系？反之成立吗？ 思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函数，那么怎样定义奇函数？提示：如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇函数. f(x)=-f(-x)提示：思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表述？ 自变量相反时对应的函数值相反 奇函数的定义域关于原点对称提示：提示：理论迁移考点一： 函数奇偶性的判断[精解详析] (1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．[一点通] 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．
答案：C2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2
＋cx是 ( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．奇函数又是偶函数解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
答案：A[例2] 如图，给出了偶函数
y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)
与f(3)的大小．
考点二： 奇偶函数的图象及应用[精解详析] 法一：∵函数f(x)是偶函数，
∴其图象关于y轴对称，如图．由图象可知f(1)又函数y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．
∴f(1)若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集是________．[例3] 已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－1，求函数f(x)的解析式．[精解详析] 当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝2x＋1.
又f(x)(x∈R)是奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，考点三： 利用奇偶性求函数解析式[一点通] 解答该类问题的思路
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．
注意，若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.5．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足
f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝ ( )
A．x2 B．2x2
C．2x2＋2 D．x2＋1解析：∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1， ①
∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
又f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)；
g(x)为奇函数，g(－x)＝－g(x)，
∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1. ②
联立①②可得f(x)＝x2＋1.
答案：D6．已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝
x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．
解：设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.
∴f(－x)＝x2－x－1.
∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.[一点通] 此类问题的解答思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解.列不等式(组)时，注意函数的定义域也是一个限制条件．7．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是
单调函数，且f(－4)A．f(－1)C．f(－3)f(1)解析：由f(x)是偶函数，得f(－4)又∵f(x)在[0,5]上是单调的，
∴f(x)在[0,5]上是减函数．
∴f(0)>f(1)>f(2)>f(3)>f(5)．
而f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，
故f(－1)>f(3)，f(－3)>f(5)，只有D正确．
答案：D答案：A1．函数的单调性与奇偶性的关系
(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．
(2)奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等．方法规律小结2．分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与－x的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，最后综合得出在定义域内总有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，从而判定其奇偶性，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．另外也可以用图象法来判断．同学们 再见！
∴f(x)为偶函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)．
综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．[一点通] 判断函数奇偶性的方法
(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．
(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．解析：A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数．
答案：C2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2
＋cx是 ( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．奇函数又是偶函数解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，得b＝0.∴g(x)＝ax3＋cx.
∴g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
答案：A[例2] 如图，给出了偶函数
y＝f(x)的局部图象，试比较f(1)
与f(3)的大小．
考点二： 奇偶函数的图象及应用[精解详析] 法一：∵函数f(x)是偶函数，
∴其图象关于y轴对称，如图．由图象可知f(1)
∴f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)．
∴f(1)
∴f(－x)＝2(－x)－1＝－2x－1.
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝2x＋1.
又f(x)(x∈R)是奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，考点三： 利用奇偶性求函数解析式[一点通] 解答该类问题的思路
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．
(2)要利用已知区间的解析式进行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性解出f(x)．
注意，若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，则未必有f(0)＝0.5．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足
f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则f(x)＝ ( )
A．x2 B．2x2
C．2x2＋2 D．x2＋1解析：∵f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1， ①
∴f(－x)＋g(－x)＝x2－3x＋1.
又f(x)为偶函数，f(－x)＝f(x)；
g(x)为奇函数，g(－x)＝－g(x)，
∴f(x)－g(x)＝x2－3x＋1. ②
联立①②可得f(x)＝x2＋1.
答案：D6．已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝
x2＋x－1，求x∈(－∞，0)时，f(x)的解析式．
解：设x<0，则－x>0.
∴f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1.
∴f(－x)＝x2－x－1.
∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝x2－x－1.
∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝x2－x－1.[一点通] 此类问题的解答思路是：先由函数的奇偶性将不等式两边都变成只含有“f”的式子，然后根据函数的单调性列出不等式(组)求解.列不等式(组)时，注意函数的定义域也是一个限制条件．7．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是
单调函数，且f(－4)
∴f(x)在[0,5]上是减函数．
∴f(0)>f(1)>f(2)>f(3)>f(5)．
而f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，
故f(－1)>f(3)，f(－3)>f(5)，只有D正确．
答案：D答案：A1．函数的单调性与奇偶性的关系
(1)若f(x)是奇函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性一致；若f(x)是偶函数，则f(x)在其关于原点对称的区间上单调性相反．
(2)奇函数在对称区间上的最值相反，且互为相反数；偶函数在对称区间上的最值相等．方法规律小结2．分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x与－x的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，最后综合得出在定义域内总有f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)，从而判定其奇偶性，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．另外也可以用图象法来判断．同学们 再见！