高中数学必修一第三章几类不同增长的函数模型

课件37张PPT。 3.2.1 几类不同增长的函数模型1.函数来源于实际又服务于实际，客观世界的变化规律，常需要不同的数学模型来描述，这涉及到函数的应用问题.2.所谓“模型”，通俗的解释就是一种固定的模式或类型,在现代社会中，我们经常用函数模型来解决实际问题.那么，面对一个实际问题，我们怎样选择一个恰当的模型来刻画它呢？提出问题考察下列问题：
假设你有一笔资金用于投资, 现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:
方案一: 每天回报40元；
方案二: 第一天回报10元, 以后每天比前一天多回报10元；
方案三: 第一天回报0.4元, 以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？思考1:设第x天所得的回报为y元，那么上述三种投资方案对应的函数模型分别是什么？ 知识探究(一)：无条件函数模型的选择思考2:上述三个函数分别是什么类型的函数？其单调性如何？ 思考3:这三个方案前11天所得的回报如下表,分析这些数据，你如何根据投资天数选择投资方案？思考4:分析上述三个函数的图象，你对指数函数模型与线性函数模型的增长速度有何看法？你对“指数爆炸”的含义有何理解？思考5:到第30天，三个方案所得的回报分别是多少元？问题: 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定
一个激励销售人员的奖励方案: 在销售利润达到10万元
时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位: 万元)随销
售利润x(单位: 万元)的增加而增加，但奖金总数不超
过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型: ， ， 中哪个模
型能符合公司的要求?知识探究(二)：有条件函数模型的选择思考1:根据问题要求，奖金数y应满足哪几个不等式？ 思考2:销售人员获得奖励，其销售利润x(单位: 万元)的取值范围大致如何？思考3:确定三个奖励模型中哪个能符合公司的要求，其本质是解决一个什么数学问题？ 思考4:对于模型y=0.25x，符合要求吗？为什么？ 思考5:对于模型 ，当y=5时，
对应的x的值约是多少？该模型符合要求吗？思考6:对于函数 ,当x∈[10，1000]时，
y的最大值约为多少？ 思考7:当x∈[10，1000]时，如何判断
是否成立？ 考点一： 一次函数与指数函数理论迁移[例1]　甲、乙两城市现有人口总数为100万人，甲城市人口的年自然增长率为1.2%，乙城市每年增长人口1.3万.试解答下面的问题：
(1)写出两城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；
(2)计算10年、20年、30年后两城市的人口总数(精确到0.1万人)；(3)对两城市人口增长情况作出分析．
提示：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)20≈1.269，(1＋1.2%)30≈1.430．[精解详析]　(1)1年后甲城市人口总数为：
y甲＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)；
2年后甲城市人口总数为：
y甲＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%
　＝100×(1＋1.2%)2；
3年后甲城市人口总数为：y甲＝100×(1＋1.2%)3；
……
x年后甲城市人口总数y甲＝100×(1＋1.2%)x，乙城市人口总数y乙＝100＋1.3x.(2)10年、20年、30年后甲、乙两城市人口总数(单位：万人)如下表：(3)甲、乙两城市人口都是逐年增长，而甲城市人口增长的速度快些.从中可以体会到，不同的函数增长模型，增长变化存在很大差异．[一点通]　本例是一个有关平均增长率的问题，其基本运算方法是：如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y可以用下面的公式，即y＝N(1＋p)x来表示．解决平均增长率的问题，常用到这个函数模型．1．某种细菌在培养过程中，每15 min分裂一次(由1个分
裂成2个).这种细菌由1个分裂成4 096个需经过(　　)
A．12 h　　　　　　 B．4 h
C．3 h D．2 h答案：C2．某医药研究所开发一种新药，如果
成年人按规定的剂量服用，据监测，
服药后每毫升血液中的含药量y(毫
克)与时间t(小时)之间近似满足如
图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．考点二： 对数函数模型[一点通]　解决此类问题首先要明确各个量所代表的实际意义，然后利用对数运算性质或换底公式求解．3．某研究小组在一项实验中获得一组关于y、t的数据，
将其整理得到如图所示的图形.下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是 (　　)A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝log2t解析：由图知该函数可能是y＝log2t.
答案：D4．(2011·湖南高考)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－
lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级，9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析：由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则可得lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106.同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级的10 000倍．
答案：6　10 000[例3]　(12分)函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，
f(2 012)，g(2 012)的大小．考点三： 几类函数模型的比较[精解详析]　(1)C1对应的函数为g(x)＝x3， 　 (2分)
C2对应的函数为f(x)＝2x. (4分)
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，
f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024， 　 (6分)
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10)． (8分)∴1由图象知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，
且g(x)在(0，＋∞)上是增函数. (11分)
∴f(2 012)>g(2 012)>g(8)>f(8)． (12分)[一点通]　根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的是对数函数．5．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的
图象如图．
(1)指出C1，C2分别对应图中哪一个函数；
(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，
C2对应的函数为f(x)＝lg x.
(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；
当x∈(x1，x2)时，g(x)当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．6．某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家的设备和服务
都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．(1)设在甲、乙两家租一张球台开展活动x小时的收费分别为f(x)，g(x)(15≤x≤40，单位：元)．求f(x)，g(x)的表达式．
(2)试分析小张选择哪家较合算．(2)当30g(x)．
当15≤x≤30时，由f(x)>g(x)得x>18；
由f(x)所以当15≤x<18时选甲家合算；当x＝18时选甲家、乙家都一样；当x>18时选乙家合算．方法规律小结1．建立数学模型是解决数学问题的主要方法，数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤．
　　识模就是把应用问题的外部信息和自己已有的内部经验相对照，初步判断问题解决的方向；析模就是精读问题，做到“咬文嚼字”，抓住关键字词，化简转换问题，注意已知量，发现未知量，挖掘隐含量；建模是通过数学符号，把问题转化为数学模型的过程；解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解；由于应用问题本身的繁杂性、开放性，根据自己理解所建立的模型也有局限性，最后要对模型的解检验，或取或舍，或重新修正模型，直到满意为止．有些问题还需要我们利用信息技术收集数据、绘图、计算、拟合函数．　　2．三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
　　(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
　　(3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化：n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n＞1)时，增长较快．同学们 再见！