6.3 二项式定理（word版含解析）

6.3 二项式定理
目录
一、二项式定理的展开式应用与逆应用 1
二、二项式通项的应用 2
角度一：二项式系数与项的系数 3
角度二：求二项式展开式的特定项 3
角度三 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 5
角度四　求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 6
三、二项展开式中的系数和问题 7
四、二项展开式中的系数最值问题 8
五、整除和余数问题 10
课后巩固练习 11
一、二项式定理的展开式应用与逆应用
二项式定理展开式：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．（注意a和b不能互换位置）
展开式注意事项：(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.
逆应用注意：逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．注意结合含有‘1’的二项式定理，例如：(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxk＋…＋Cxn
1、1－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC等于(　　)
A．1 B．1 C．(－1)n D．3n
答案　C
解析　逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.
2、
解　方法一　4＝(3)4＋C(3)3·＋C(3)22＋C(3)3＋C4＝81x2＋108x＋54＋＋.
方法二　4＝4＝(1＋3x)4＝·[1＋C·3x＋C(3x)2＋C(3x)3＋C(3x)4]＝(1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4)＝＋＋54＋108x＋81x2.
3、若(1＋)4＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝________.
答案　44
解析　∵(1＋)4＝1＋C×()1＋C×()2＋C×()3＋C×()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，∴a＝28，b＝16，∴a＋b＝28＋16＝44.
4、化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1=
解　原式＝C(2x＋1)5－C(2x＋1)4＋C(2x＋1)3－C(2x＋1)2＋C(2x＋1)－C(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
5、化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC=
解　原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
二、二项式通项的应用
通项：第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk．
二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．
性质 内容
对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
增减性与最大值 如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大
如果n为奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且同时取得最大值
各二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n
奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1
注意事项：①二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
②第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.
角度一：二项式系数与项的系数
6、已知二项式
(1)求展开式第4项的二项式系数；
(2)求展开式第4项的系数；
(3)求第4项．
解　的展开式的通项是Tk＋1＝C(3)10－kk＝C310－kk· (k＝0,1,2，…，10)．
(1)展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为C＝120.
(2)展开式的第4项的系数为C373＝－77 760.
(3)展开式的第4项为T4＝T3＋1＝－77 760.
7、已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
解　(1)因为T3＝C()n－22＝4C，
T2＝C()n－1＝－2C，
依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，
所以n2＝81，n∈N*，故n＝9.
(2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝C()9－kk＝(－2)kC，所以＝3，k＝1，
所以第二项为含x3的项为T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
角度二：求二项式展开式的特定项
求二项展开式的特定项的常见题型
①求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．
(2)求二项展开式的特定项的常用方法
①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
8、在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有(　　)
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
答案　C
解析　24的展开式的通项为Tk＋1＝C·()24－kk＝C，故当k＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项．
9、若的展开式中x3的系数是－84，则a＝________.
答案　1
解析　展开式的通项为Tk＋1＝Cx9－k(－a)kk
＝C·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N)．
当9－2k＝3时，解得k＝3，代入得x3的系数，
根据题意得C(－a)3＝－84，解得a＝1.
10、已知n为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则的二项展开式的常数项是________．
答案　160
解析　由题意得n＝6，∴Tk＋1＝2kCx6－2k，
令6－2k＝0得k＝3，∴常数项为C23＝160.
11、求二项式(－)9展开式中的有理项
解　Tk＋1＝C·＝(－1)kC·，令∈Z(0≤k≤9)，得k＝3或k＝9，
所以当k＝3时，＝4，T4＝(－1)3Cx4＝－84x4，
当k＝9时，＝3，T10＝(－1)9Cx3＝－x3.
综上，展开式中的有理项为－84x4与－x3.
12、已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．
解　通项公式为Tk＋1＝C(－3)k＝C(－3)k.
(1)∵第6项为常数项，∴当k＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得k＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，
令＝t(t∈Z)，则10－2k＝3t，即k＝5－t.∵k∈N，
∴t应为偶数．
令t＝2,0，－2，即k＝2,5,8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61236,295245x－2.
角度三 求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
常见的解题思路
(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑．　
13、(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为(　　)
A．12　　　　　　 B．16
C．20 D．24
解 展开式中含x3的项可以由“1与x3”和“2x2与x”的乘积组成，则x3的系数为C＋2C＝4＋8＝12.
14、已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________．
解　(ax＋1)6的展开式中x2项的系数为Ca2，x项的系数为Ca，由(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，可得－Ca2＋Ca＝0，因为a为正实数，所以15a＝6，所以a＝.
15、已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________
解 (1＋ax)(1＋x)5＝(1＋x)5＋ax(1＋x)5.
∴x2的系数为C＋aC，则10＋5a＝5，解得a＝－1.
16、在(2x－1)6的展开式中，x3的系数是________．(用数字作答)
解 由题意得，(2x－1)6的展开式中含x3的项为xC(2x)2(－1)4＋C·(2x)4(－1)2＝－180x3，所以展开式中x3的系数为－180.
答案：－180
角度四　求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法
(1)通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．
(2)将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形．　
(3)可采用排列组合的形式进行抽取，技巧性较高
17、(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20
C．30 D．60
解 方法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
方法二　(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.
18、(x2－x＋1)10的展开式中x3项的系数为(　　)
A．－210 B．210
C．30 D．－30
解 (x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10，
所以含x3项的系数为：－CC＋C(－C)＝－210.
19、的展开式中的常数项是________．
答案　
解析　方法一　原式＝5，
∴展开式的通项为＝(k1＝0,1,2，…，5)．
当k1＝5时，T6＝()5＝4，
当0≤k1<5时，的展开式的通项公式为
＝＝·(k2＝0,1,2，…，5－k1)．
令5－k1－2k2＝0，即k1＋2k2＝5.
∵0≤k1<5且k1∈Z，∴或
∴常数项为4＋CC2＋CC×()3＝4＋＋20＝.
方法二　原式＝5＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10.
求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中含x5项的系数，即C·()5.
∴所求的常数项为＝.
三、二项展开式中的系数和问题
赋值法求系数和的应用技巧
(1)“赋值法”对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．　
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，奇次项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.令x＝0，可得a0＝f(0)．
20、在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64∶1，则x3的系数为(　　)
A．15　　　　　　　　　 B．45
C．135 D．405
解 由题意知＝64，得n＝6，展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝3rCx6－，
令6－＝3，得r＝2，
则x3的系数为32C＝135.故选C．
21、若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　)
A．29 B．29－1
C．39 D．39－1
解析：选D．(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，所以a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.故选D．
22、若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝(　　)
A．1 B．513
C．512 D．511
解 令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.
23、(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝______．
解 设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
24、已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；
(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；
(3)a1＋a3＋a5.
解(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
(2)令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.
由(2x－1)5的通项Tk＋1＝C(－1)k·25－k·x5－k知a1，a3，a5为负值，
所|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|
＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.
(3)由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，
－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，
得2(a1＋a3＋a5)＝1－35.
所以a1＋a3＋a5＝＝－121.
25、在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．
解　设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.
(1)二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.
(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝1，y＝1，
所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.
(3)令x＝1，y＝－1，可得
a0－a1＋a2－…－a9＝59，
又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，
将两式相加可得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，
即所有奇数项系数之和为.
四、二项展开式中的系数最值问题
求解二项式系数或展开式系数的最值问题的一般步骤
第一步，求系数的最大值问题，要先弄清所求问题是“展开式中项的系数最大”“二项式系数最大”以及“最大项”三者中的哪一个；
第二步，若是求二项式系数最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解．若是求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数的是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果．　
26、(y－)6的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________．
解　因为(y－)6的展开式中二项式系数的最大值为C，所以二项式系数最大的项为第4项．因为(y－)6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·y6－r(－)r＝C·(－2)rx－2ry6－r，所以展开式中系数最大的项为奇数项．
法一：设第r＋1项的系数最大，则
因为r∈Z，0≤r≤6，且r为偶数，所以r＝4，
则T5＝C·(－2)4x－8y2＝240x－8y2，
所以展开式中系数最大的项为240x－8y2，
法二：展开式中第1，3，5，7项的系数分别为C·(－2)0，C·(－2)2，C·(－2)4，C·(－2)6，即1，60，240，64，所以展开式中系数最大的项为240x－8y2.
27、已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
解　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3＝C·(3x2)2＝90x6，T4＝C·(3x2)3＝270.
(2)展开式的通项公式为Tk＋1＝C·3k·，
假设Tk＋1项系数最大，
则有
∴即∴≤k≤，∵k∈N，∴k＝4，
∴展开式中系数最大的项为T5＝C(3x2)4＝405.
27、写出(x－y)11的展开式中：
(1)二项式系数最大的项；
(2)项的系数绝对值最大的项；
(3)项的系数最大的项和系数最小的项；
(4)二项式系数的和；
(5)各项系数的和．
解　(1)二项式系数最大的项为中间两项：
T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.
(2)(x－y)11展开式的通项为
Tk＋1＝Cx11－k(－y)k＝C(－1)kx11－kyk，
∴项的系数的绝对值为|C·(－1)k|＝C，
∴项的系数的绝对值等于该项的二项式系数，其最大的项也是中间两项，T6＝－Cx6y5，T7＝Cx5y6.
(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等，
又∵第6项系数为负，第7项系数为正，
故项的系数最大的项为T7＝Cx5y6，项的系数最小的项为T6＝－Cx6y5.
(4)展开式中，二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝211.
(5)令x＝y＝1，得展开式中各项的系数和为C－C＋C－…－C＝(1－1)11＝0.
五、整除和余数问题
整除和余数问题的解题技巧
(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了．
(2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
28、今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期(　　)
A．一 B．二 C．三 D．四
答案　A
解析　求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数．
因为810＝(7＋1)10＝710＋C×79＋…＋C×7＋1＝7M＋1(M∈N*)，
所以第810天相当于第1天，故为星期一．
29、当n为正奇数时，7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是(　　)
A．0 B．2 C．7 D．8
答案　C
解析　原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C·9n－1＋C·9n－2－…＋C·9(－1)n－1＋(－1)n－1.因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.
30、设a∈Z，且0≤a<13，若512017＋a能被13整除，则a＝________.
答案　1
解析　∵512017＋a＝(52－1)2017＋a＝C522017－C522016＋C522015－…＋C521－1＋a，
能被13整除，0≤a<13.
故－1＋a能被13整除，故a＝1.
31、9192被100除所得的余数为
A．1 B．81 C．－81 D．992
解析　利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式．
方法一　(100－9)92＝C10092－C10091×9＋C·10090×92－…－C100×991＋C992.
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
由992＝(10－1)92＝C1092－…＋C102－C10＋1.
前91项均能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1000，结果为1000－919＝81，
∴9192被100除可得余数为81.
方法二　(90＋1)92＝C9092＋C9091＋…＋C902＋C90＋C.
前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为81.
课后巩固练习
1．二项式的展开式中的常数项是(　　)
A．第7项 B．第8项
C．第9项 D．第10项
答案　C
解析　二项展开式中的通项公式为Tk＋1＝C·x12－k·k＝C·2k·，令12－k＝0，得k＝8.
∴常数项为第9项．
2．(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)
A．56 B．84 C．112 D．168
答案　D
解析　因为(1＋x)8的通项为Cxk，(1＋y)4的通项为Cyt，故(1＋x)8(1＋y)4的通项为CCxkyt.
令k＝2，t＝2，得x2y2的系数为CC＝168.
3．若(x＋3y)n的展开式中所有项的系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为(　　)
A．15 B．10 C．8 D．5
答案　D
解析　由于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.
4．若二项式7的展开式中的系数是84，则实数a等于(　　)
A．2 B. C．1 D.
答案　C
解析　二项式7的展开式的通项公式为Tk＋1＝C(2x)7－k·k＝C27－kakx7－2k，
令7－2k＝－3，得k＝5.
故展开式中的系数是C22a5，即C22a5＝84，解得a＝1.
5、(x－1)11的展开式中，x的奇次幂的系数之和是(　　)
A．2048 B．－1023 C．－1024 D．1024
答案　D
解析　(x－1)11＝a0x11＋a1x10＋a2x9＋…＋a11，
令x＝－1，则－a0＋a1－a2＋…＋a11＝－211，①
令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，②
＝a0＋a2＋a4＋…＋a10＝210＝1 024.
6、(x2＋2)展开式中的常数项是(　　)
A．12 B．－12
C．8 D．－8
解析：选B．展开式的通项公式为Tr＋1＝C(－1)r＝(－1)rCxr－5，当r－5＝－2或r－5＝0，即r＝3或r＝5时，展开式的常数项是(－1)3C＋2(－1)5C＝－12.故选B．
7、展开式中的常数项为(　　)
A．1 B．21
C．31 D．51
解析：选D．因为＝
＝C(x＋1)5＋C(x＋1)4·＋C(x＋1)3·＋C(x＋1)2·＋C(x＋1)1·＋C.
所以展开式中的常数项为C·C·15＋C·C·13＋C·C·12＝51.故选D．
8、已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　　)
A．1 B．243
C．121 D．122
解析：选B．令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①
令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②
①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，
即a4＋a2＋a0＝－121.
①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，
即a5＋a3＋a1＝122.
所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选B．
9、已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则C＋C＋…＋C的值等于(　　)
A．64 B．32
C．63 D．31
解析：选C．因为C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，所以(1－4)n＝36，所以n＝6，因此C＋C＋…＋C＝2n－1＝26－1＝63，故选C．
10、已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)
A．39 B．310
C．311 D．312
解析：选D．对(x＋2)9＝ a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D．
11、(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________．
答案　1.34
解析　(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.
12、已知(2－x2)(1＋ax)3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a＝________，展开式中含x2的项的系数是________．
解析：由已知可得，(2－12)(1＋a)3＝27，则a＝2.所以(2－x2)(1＋ax)3＝(2－x2)(1＋2x)3＝(2－x2)(1＋6x＋12x2＋8x3)，所以展开式中含x2的项的系数是2×12－1＝23.
13、已知n的展开式中含x的项为第6项，设(1－x＋2x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a1＋a2＋…＋a2n＝________.
答案　255
解析　因为n的展开式的通项是C(－1)k·x2n－3k(k＝0,1,2，…，n)，因为含x的项为第6项，所以当k＝5时，2n－3k＝1，即n＝8.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝28＝256.又a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a2n＝255.
14、若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝_____.
答案　7
解析　令x＝－1，∴28＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12.
令x＝－3，∴0＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，
∴28＝2(a1＋a3＋…＋a11)，∴a1＋a3＋…＋a11＝27，
∴log2(a1＋a3＋…＋a11)＝log227＝7.
15、已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
(1)a1＋a2＋…＋a7；
(2)a1＋a3＋a5＋a7；
(3)a0＋a2＋a4＋a6；
(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解：令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①
令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②
(1)因为a0＝C＝1，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.
(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.
(4)因为(1－2x)7的展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|
＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)
＝1 093－(－1 094)＝2 187.
16、已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．
(1)求n；
(2)求展开式中的有理项；
(3)求展开式中系数最大的项．
解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，由已知得2×C＝C＋C，
解得n＝8(n＝1舍去)．
(2)的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·＝2－rCx4－(r＝0，1，…，8)，
要求有理项，则4－必为整数，即r＝0，4，8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝.
(3)设第r＋1项的系数为ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC，
则＝＝≥1，
＝＝≥1，解得2≤r≤3.
当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7，
因此，第3项和第4项的系数最大，
故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x.