7.5 正态分布（word版含解析）

7.5 正态分布
目录
7.5 正态分布 1
一、正态曲线图像（性质应用）及正态分布定义 1
二、利用正态分布的性质求概率及应用（估值问题） 3
三、“3”原则的判断问题...................................................................................................................................................................7
四、正态分布的应用与标准正态分布之间的转化（综合型） 9
五、课后巩固练习 15
一、正态曲线图像（性质应用）及正态分布定义
正态曲线：我们称f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．其中μ是对称轴也是数学期望，σ是标准差，σ2是方差。
正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
正态曲线的性质：
(1)非负性：对 x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．
(2)定值性：曲线与x轴之间的面积为1.
(3)对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
(4)最大值：曲线在x＝μ处达到峰值.
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．
(6)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①.
(7)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
1、设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（　　）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解 由正态曲线的性质可知平均数为10，标准差为2，选B
2、设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1>0)和N(μ2，σ)(σ2>0)的密度函数分别为φ1(x)和φ2(x)，其图象如图所示，则有(　　)
A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2
C．μ1>μ2，σ1<σ2 D．μ1>μ2，σ1>σ2
解：f(x)＝e中x＝μ是对称轴，故μ1<μ2；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小曲线越“高瘦”，故σ1<σ2.故选A.
3、某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，X～N（μ1，σ12），Y～N（μ2，σ22），其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（　　）
A．甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性
B．甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性
C．甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值
D．甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值
解：由图可知，甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线瘦高，
故甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性．故选：A．
4、（多选）甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布N(μ1，σ)，N(μ2，σ)，其正态分布的密度曲线f(x)＝，x∈R，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
答案　ABC
解析　由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于直线x＝0.8对称，
所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A，C正确；
因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；
因为乙图象的最大值为1.99，即＝1.99，σ2≠1.99，故D错误．
5、(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有(　　)
A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升
C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点
答案　ABD
解析　只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散．
二、利用正态分布的性质求概率及应用（估值问题）
正态分布在三个特殊区间内取值的概率值（在做题时候要根据题目所给的概率值）：
P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
正态分布求概率的两个技巧
对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等．如：
①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)．
“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827,0.9545，0.9973求解．
6、已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于(　　)
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
答案　C
解析　∵随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.
∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，
∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.
7、已知随机变量X～N（2，1），其正态分布密度曲线如图所示，则图中阴影部分的面积为（　　）
（附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9545）
A．0.1359 B．0.7282 C．0.8641 D．0.93205
解：由已知得：μ＝2，σ＝1，
故P（0≤ξ≤1）＝[P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）]
＝＝0.1359．故选：A．
8、设随机变量X～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（　　）
（注：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9544）
A．7539 B．7028 C．6587 D．6038
解：由题意知，X～N（1，1），所以μ＝1，σ＝1，μ+σ＝2；
因为P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，
所以P（0＜X＜2）＝0.6826，
所以P（1＜X＜2）＝×0.6826＝0.3413，
所以阴影部分的面积为1﹣0.3413＝0.6587．
所以在正方形ABCD中随机投掷10000个点，
落入阴影部分的点的个数估计值是10000×0.6587＝6587．
故选：C．
9、（多选）正态分布N（1，σ2）的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（　　）
A．﹣P（X≤0） B．﹣P（X≥2）
C．P（X≤2）﹣P（X≤0） D．﹣P（1≤X≤2）
解：正态分布N（1，σ2）的正态密度曲线关于直线x＝1对称，
对于A，由对称性可得，P（0≤X≤1）＝P（X≤1）﹣P（X≤0）＝﹣P（X≤0），故A正确，
对于B，由对称性可得，P（X≤0）＝P（X≥2），
故P（0≤X≤1）＝，故B正确，
对于C，由对称性可得，P（0≤X≤1）＝P（1≤X≤2），P（0≤X≤1）＝，故C正确，
对于D，由对称性可得，，故D错误．
故选：ABC．
10、（多选）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：cm）服从正态分布，其密度曲线函数为f（x）＝e，x∈（﹣∞，+∞），则下列说法正确的是（　　）
A．该地水稻的平均株高为100cm
B．该地水稻株高的方差为10
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D．随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：cm）的概率一样大
解：∵f（x）＝e，x∈（﹣∞，+∞），
∴μ＝100，σ＝10，∴该地水稻的平均株高为100cm，故A正确，
方差为100，故B错误，
∵P（X＞120）＝，P（X＜70）＝，
∴随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大，故C正确，
P（80＜X＜90）＝σP（μ﹣σ＜X＜μ+σ）]，P（100＜X＜110）＝，所以随机测量一株水稻，其株高在（80，90）和在（100，110）（单位：cm）的概率不一样大，故D错误．故选：AC．
11、若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9≤ξ≤11)＝0.4，则P(ξ>11)＝________.
答案　0.3
解析　由P(9≤ξ≤11)＝0.4且正态曲线以x＝μ＝10为对称轴知，
P(9≤ξ≤11)＝2P(10≤ξ≤11)＝0.4.
P(10≤ξ≤11)＝0.2，
∵P(ξ≥10)＝0.5，
∴P(ξ>11)＝0.5－0.2＝0.3.
12、某学校有100人参加暑期社会实践，实践结束时的综合能力测试成绩X近似服从正态分布N（110，σ2），若P（100≤X≤110）＝0.35，则综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为 　 　．
解：∵P（100≤X≤110）＝P（110≤X≤120）＝0.35，
∴P（X≥120）＝P（X≤100）＝，
故综合能力测试成绩在120分以上的人数大约为100×0.15＝15．
故答案为：15．
13、某公司生产了一批小零件，其综合质量指标值X服从正态分布N（50，22），现从中随机抽取该小零件2000个，估计综合质量指标值位于（48，54]的零件个数为 　1637　．
附：若X～N（μ，σ2）（σ＞0），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.683，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.954．
解：∵X服从正态分布N（50，22），故正态曲线的对称轴为X＝50，
∵P（50﹣2＜X≤50+2）＝P（48＜X≤52）＝0.683，
P（50﹣4＜X≤50+4）＝P（46＜X≤54）＝0.954，
∴P（48＜X≤54）＝0.683+＝0.8185，
则综合质量指标值位于（48，54）的零件个数为0.8185×2000＝1637个．
故答案为：1637．
14、已知随机变量X服从正态分布N（2，1），若P（X ≤ a﹣2）＝P（X ≥ 2a+3），则a＝　 .
解：∵P（X ≤ a﹣2）＝P（X ≥ 2a+3）
∴a﹣2＝2a+3＝2（舍）或a﹣2+2a+3=4（根据对称性质）
∴a=1
15、已知随机变量X～N（80，σ2），若P（X＞100）＝a，P（60＜X＜100）＝b，则的最小值为 　 　．
解：∵随机变量X～N（80，σ2），
∴P（X＜60）＝P（X＞100）＝a，
∵P（60＜X＜100）＝b，
∴2a+b＝1，
∴（）＝（）（2a+b）＝4+＝5+≥，
当且仅当，即a＝b时，等号成立，
故的最小值为9．
故答案为：9．
16、在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，该班成绩在90分以上的同学有多少人？
解　∵成绩服从正态分布N(80,52)，
∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85.
∴成绩在[75,85]内的同学占全班同学的68.27%，成绩在[80,85]内的同学占全班同学的34.135%.
设该班有x名同学，则x·34.135%＝17，解得x≈50.
∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90，
∴成绩在[70,90]内的同学占全班同学的95.45%，成绩在90分以上的同学占全班同学的2.275%.
即有50×2.275%≈1(人)，即成绩在90分以上的仅有1人．
三、“3”原则的判断问题
判断方法：在服从正态分布正态分布（μ，σ2）的生产过程中，应注意生产范围落在[μ－3σ，μ＋3σ]之间才
是符合要求的
17、某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态下生产线上生产的零件内径尺寸Z（单位：μm）服从正态分布N（60，4）．甲、乙两名同学正进行尺寸测量练习．甲、乙对各自抽取的5个零件测量零件内径尺寸（单位：μm）如下，
甲同学测量数据：59，60，62，63，65，
乙同学测量数据：52，53，55，57，62．则可以判断（　　）
A．甲、乙两个同学测量都正确
B．甲、乙两个同学测量都错误
C．甲同学测量正确，乙同学测量错误
D．甲同学测量错误，乙同学测量正确
解：由题意知，μ＝60，所以甲、乙测量的数据应该在60上下附近波动，
可知，甲测量的数据正确，而乙的数据偏离60较多，故乙错误．
故选：C．
18、3σ准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除．对于正态分布的随机误差，落在±3σ之外的概率只有0.27%，它在有限次测量中发生的可能性很小，故存在3σ准则.3σ准则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则．为估计某精密仪器的测量误差，取其n次结果的平均值得，为误差使εn在（﹣0.3，0.3）的概率不小于0.9973，至少要测量 　 　次．
解：由题意，正态分布的随机误差落在±3σ之外的概率只有0.27%，
所以落在（﹣3σ，3σ）的概率为0.9973，
根据正态曲线的对称性，要使误差εn在（﹣0.3，0.3）的概率不小于0.9973，
则，解得n≥10．
故答案为：10．
19、某种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．某用户购买了10000件这种产品，则这10000件产品中质量指标值位于区间（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的产品件数为　 　．
解：因为某种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），且P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974．
所以10000件产品中质量指标值位于区间（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的产品件数为：10000×（1﹣0.9974）＝26；
20、某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4,0.52)．质检人员从该厂生产的1000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
解　由于外直径X～N(4,0.52)，
则X在[4－3×0.5,4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997 3，在[2.5,5.5]之外取值的概率为0.002 7，
而5.7 [2.5,5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的．
21、为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次；每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布N（μ，σ2）．
（1）假设生产状态正常，记X表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X＝1）（精确到0.001）及X的数学期望；
（2）在一天内四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，则当天过后药厂需停止生产并对原材料进行检测；若一天中有3次及以上检测出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，则当天过后暂时关闭药厂全面检修．
（i）下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量：
10.02 9.78 10.04 9.92 10.14 10.04 9.22 10.13 9.91 9.95
10.09 9.96 9.88 10.01 9.98 9.95 10.05 10.05 9.96 10.12
经计算得＝xi＝9.96，s＝＝≈0.19．
其中xi为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i＝1，2，…，20．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？
（ii）试确定药厂需停止生产并对原材料进行检测的概率（精确到0.001）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.9517，0.997420≈0.9493，0.05072≈0.0026，0.94932≈0.9012．
四、正态分布的应用与标准正态分布之间的转化（综合型）
①服从正态分布的应用题，要先求出μ和σ2
②标准正态分布转化注意审题套公式求出对应的随机变量
22、从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．
附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为
x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z～N(200，150)，从而
P(187.8②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X～B(100，0.682 6)，所以E(X)＝100×0.682 6＝68.26.
23、为了提高生产效率，某企业引进一条新的生产线，现要定期对产品进行检测．每次抽取100件产品作为样本，检测新产品中的某项质量指标数，根据测量结果得到如图频率分布直方图．
（1）指标数不在17.5和22.5之间的产品为次等品，试估计产品为次等品的概率；
（2）技术评估可以认为，这种产品的质量指标数X服从正态分布N（μ，1.222），其中μ近似为样本的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），计算μ值，并计算产品指标数落在（17.56，22.44）内的概率．
参考数据：X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544．
解：（1）由频率分布直方图可得，（a+0.08+0.09+0.22+0.24+0.33+a）×1＝1，解得a＝0.02，
故次等品的概率为0.02×2＝0.04．
（2）∵这种产品的质量指标数X服从正态分布N（μ，1.222），其中μ近似为样本的平均数，
∴μ＝17×0.02+18×0.09+19×0.22+20×0.33+21×0.24+22×0.08+23×0.02＝20，
∴这种产品的质量指标数X服从正态分布N（20，1.222），
∴P（17.56＜X＜22.44）＝0.9544．
24、学校准备筹建数学建模学习中心，为了了解学生数学建模（应用）能力，专门对高二报名的100名学生进行了数学建模闭卷测试，得分在45～95之间，分为[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），
[85，95]五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40．
（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）根据样本数据，可认为参与建模测试的学生分数X近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2．
①求P（47.2＜X＜79.9）；
②学校为鼓励学生积极参与数学建模活动，决定对本次测试中90.8分以上的同学进行表彰．若某班正好有6人参与了这次测试，求这个班至少有1人获得表彰的概率．
参考数据：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，
≈10.9，0.95446≈0.76，0.97725≈0.89，0.97726≈0.87．
解：（1）由频率分布直方图可知组距＝l0，第三组频数为40，总共有100人，
则第三组频率＝0.4，根据频率之和为1，可知第4组的频率为1﹣0.1﹣0.25﹣0.4﹣0.1＝0.15，
所以，
s2＝（50﹣69）2×0.1+（60﹣69）2×0.25+（70﹣69）2×0.4+（80﹣69）2×0.15+（90﹣69）2×0.1＝192×0.1+92×0.25+12×0.4+112×0.15+212×0.1＝119；
（2）（i）∵，
∴，
＝＝0.8185；
（ii）记“6人中至少1人获得表彰”为事件A，
则＝0.0228，
所以P（A）＝1﹣P（A）＝1﹣（1﹣0.0228）6＝1﹣0.97726＝1﹣0.87＝0.13．
25、为检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，某药物研究所科研人员随机选取200只小白鼠，并将该疫苗首次注射到这些小白鼠体内．独立环境下试验一段时间后检测这些小白鼠的某项医学指标值并制成如图的频率分布直方图（以小白鼠医学指标值在各个区间上的频率代替其概率）：
（1）根据频率分布直方图，估计200只小白鼠该项医学指标平均值（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）若认为小白鼠的该项医学指标值X服从正态分布N（μ，σ2），且首次注射疫苗的小白鼠该项医学指标值不低于14.77时，则认定其体内已经产生抗体；进一步研究还发现，对第一次注射疫苗的200只小白鼠中没有产生抗体的那一部分群体进行第二次注射疫苗，约有16只小白鼠又产生了抗体．这里μ近似为小白鼠医学指标平均值,σ2近似为样本方差s2.经计算得s2＝6.92，假设两次注射疫苗相互独立，求一只小白鼠注射疫苗后产生抗体的概率p（精确到0.01）．
附：参考数据与公式≈2.63，若X～N（μ，σ2），则
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．
【解答】解：（1）由频率分布直方图可得：
X 12 14 16 18 20 22 24
p 0.04 0.12 0.28 0.36 0.10 0.06 0.04
则；
（2）∵μ﹣σ＝17.40﹣2.63＝14.77，
∴，
记事件A表示首先注射疫苗后产生抗体，则p（A）＝0.8414，可得，
因此200只小白鼠首先注射疫苗后有200×0.8414≈168只产生抗体，有200﹣168＝32只没有产生抗体．
故注射疫苗后产生抗体的概率．
26、“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．每次考试过后，考生最关心的问题是：自己的考试名次是多少？自己能否被录取？能获得什么样的职位？某单位准备通过考试（按照高分优先录取的原则）录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2000名，考试满分为400分．（一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布．）考试后考试成绩的部分统计结果如下：
考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名．
（1）最低录取分数是多少？（结果保留为整数）
（2）考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由．
参考资料：（1）当X～N（μ，σ2）时，令Y＝，则Y～N（0，1）．
（2）当Y～N（0，1）时，P（Y≤2.17）≈0.985，P（Y≤1.28）≈0.900，P（Y≤1.09）≈0.863，P（Y≤1.04）≈0.85．
（3）P（x＞x1）＝1﹣P（x1﹣）
解：（1）设考生的成绩为X，则由题意可得X应服从正态分布，
即X～N（180，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1）．
由360分及以上高分考生30名可得P（X≥360）＝，即P（X＜360）＝1﹣＝0.985，
即有P（Y＜）＝0.985，则≈2.17，可得σ≈83，
可得X～N（180，832），
设最低录取分数线为x0，则P（X≥x0）＝P（Y≥）＝，
即有P（Y＜）＝1﹣＝0.85，即有＝1.04，
可得x0＝266.32，即最低录取分数线为266；
（2）考生甲的成绩286＞267，所以能被录取，
P（X＜286）＝P（Y＜）＝P（Y＜1.28）≈0.90，表明不低于考生甲的成绩的人数大约为总人数的1﹣0.90＝0.10，2000×0.10＝200，
即考生甲大约排在第200名，排在前275名之前，所以能被录取为高薪职位．
27、2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X（单位：小时）并绘制如图所示的频率分布直方图．
（1）求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中间值代表）；
（2）由直方图可以认为，目前该校学生每周的阅读时间X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．
（i）一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：若X～N（μ，σ2），令Y＝，则Y～N（0，1），且P（X≤a）＝P（Y≤）．
利用直方图得到的正态分布，求P（X≤10）．
（ii）从该高校的学生中随机抽取20名，记Z表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求P（Z≥2）（结果精确到0.0001）以及Z的数学期望．
参考数据：．若Y～N（0，1），则P（Y≤0.75）＝0.7734．
（1），
s2＝（6﹣9）2×0.03+（7﹣9）2×0.1+（8﹣9）2×0.2+（9﹣9）2×0.35+（10﹣9）2×0.19+（11﹣9）2×0.09+（12﹣9）2×0.04＝1.78；
（2）（i）由题知μ＝9，σ2＝1.78，∴X～N（9，1.78），．
∴；
（ⅱ）由（i）知P（X＞10）＝1﹣P（X≤10）＝0.2266，
可得Z～B（20，0.2266），P（Z≥2）＝1﹣P（Z＝0）﹣P（Z＝1）
＝
＝1﹣（0.7734+20×0.2266）×0.0076
≈0.9597．
∴Z的数学期望E（Z）＝20×0.2266＝4.532．
五、课后巩固练习
1、已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜4)＝(　　)
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
解析：选A．由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.又正态曲线关于x＝2对称，则P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.
2、在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　)(附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4)
A．2386 B．2718 C．4772 D．3413
答案　D
解析　由X～N(0,1)知，P(－1＜X≤1)＝0.682 6，
∴P(0≤X≤1)＝×0.682 6＝0.341 3，故S≈0.341 3.
∴落在阴影部分的点的个数x的估计值为＝，∴x＝10 000×0.341 3＝3 413，故选D.
3、如图，三条曲线分别是甲、乙、丙三个模具厂家生产某种零件尺寸误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（　　）
A．三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的均值相等
B．P（x乙≥1）＜P（x丙≥1）
C．三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的方差从小到大依次为丙、乙、甲
D．生产这种零件时，甲厂的生产质量最好
解：对于A，由正态分布的图象可知，三个模具厂生产某种零件尺寸误差分布的正态分布密度曲线都关于y轴对称，
则三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的均值相等，故A正确，
对于B，乙厂对应的正态密度曲线在区间[1，+∞）之间与x轴围成的面积与丙厂对应的正态密度曲线在区间[1，+∞）之间与x轴围成的面积为乙小于丙，故P（x乙≥1）＜P（x丙≥1），故B正确，
对于C，由正态分布曲线的形状可知，三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的方差从小到大依次为甲，乙丙，故C错误，
对于D，三个模具厂家生产这种零件尺寸误差的均值相等，但甲厂的方差最小，故甲厂的生产质量最好，故D正确．故选：C．
4、为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了10个这类工程，得到如下数据（单位：天）：17，23，19，21，22，21，19，17，22，19．若该类工程的工期X～N（μ，σ2）（其中μ和σ分别为样本的平均数和标准差），由于疫情需要，要求在22天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率约为（　　）
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．
A．0.84 B．0.34 C．0.16 D．0.86
解：由题意可得，样本的平均数为（17+23+19+21+22+21+19+17+22+19）＝20，
样本的方差为×[2×（17﹣20）2+3×（19﹣20）2+2×（21﹣20）2+2×（22﹣20）2+（23﹣20）2]＝4，即标准差为2，可得μ＝20，σ＝2，
故能够在规定时间内完成该工程的概率约为P（X≤22）＝
＝1﹣．故选：A．
5、（多选）甲、乙两名高中同学历次数学测试成绩（百分制）分别服从正态分布N（μ1，σ12），N（μ2，σ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是（　　）
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6826
A．乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
B．甲同学的平均成绩优于乙同学的平均成绩
C．甲同学的成绩比乙同学成绩更集中于平均值附近
D．若σ1＝5，则甲同学成绩高于80分的概率约为0.1587
解：由图象可知甲图象关于直线x＝75对称，乙图象关于直线x＝85对称，
∴μ1＝75，μ2＝85，
故A正确，B错误，
∵甲图象比乙图象更“高瘦”，
∴甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右，故C正确；
若σ1＝5，则甲同学成绩高于80分的概率约为：＝0.1587，故D正确．
6、已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有________件．
(附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ＝0.954 5)
解析：由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2，则质量在[96，104]内的产品的概率为P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 5，而质量在[98，102]内的产品的概率为P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 7，结合对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率为0.682 7＋＝0.818 6，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量为10 000×0.818 6＝8186(件)．
7、设随机变量X～N(1，4)，若P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，则实数a的值为__________．
解：由P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)得＝1 a＝1.故填1.
8、改革开放40年来，我国城市基础设施发生了巨大的变化，各种交通工具大大方便了人们的出行需求．某城市的A先生实行的是早九晚五的工作时间，上班通常乘坐公交或地铁加步行．已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5分钟，乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），下车后步行再到单位需要12分钟；乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），从地铁站步行到单位需要5分钟．现有下列说法：
①若8：00出门，则乘坐公交一定不会迟到；
②若8：02出门，则乘坐公交和地铁上班迟到的可能性相同；
③若8：06出门，则乘坐公交比地铁上班迟到的可能性大；
④若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大．
则以上说法中正确的序号是 　 　．
参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6826，
P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9544，
P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9974
解：若8：00出门，A先生乘坐公交，从甲到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），
故当满足P（Z≥45）＝，
所以A先生仍有可能迟到，只不过概率较小，
故选项①错误；
若8：02出门，A先生乘坐公交，因为从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），
故当满足P（Z≤41）＝时，A先生乘坐地铁不会迟到；
若8：02出门，A先生乘坐地铁，
因为从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），
故当满足P（Z≤48）＝时，A先生乘坐地铁不会迟到；
此时两种上班方式，A先生不迟到的概率相当，
故选项②正确；
若8：06出门，A先生乘坐公交，
因为从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），
故当满足P（Z≤37）＝时，A先生乘坐公交不会迟到；
若8：06出门，A先生乘坐地铁，
因为从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），
故当满足P（Z≤44）＝＝0.5时，A先生乘坐地铁不会迟到；
此时两种上班方式，乘坐公交比地铁上班迟到的可能性小，
故选项③错误；
若8：12出门，A先生乘坐公交，
因为从家到车站需要5分钟，下车后步行再到单位需要12分钟，
乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1（单位：分钟）服从正态分布N（33，42），
故当满足P（Z≤31）时，A先生乘坐公交不会迟到，
而P（Z≤31）＞P（Z≤29）＝；
若8：12出门，A先生乘坐地铁，
因为从家到车站需要5分钟，下地铁后步行再到单位需要5分钟，
乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2（单位：分钟）服从正态分布N（44，22），
故当满足P（Z≤38）＝时，A先生乘坐地铁不会迟到，
因为0.1857＞0.00135，
所以若8：12出门，则乘坐地铁比公交上班迟到的可能性大，
故选项④正确．故答案为：②④．
9、为了解A市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩u0；（精确到个位）
（Ⅱ）研究发现，本次检测的理科数学成绩X近似服从正态分布X～N（μ，σ2）（u＝u0，σ约为19.3）．①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）②已知A市理科考生约有10000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约是多少名？
（说明：表示x＞x1的概率，用来将非标准正态分布化为标准正态分布，即X～N（0，1），从而利用标准正态分布表 （x0），求x＞x1时的概率P（x＞x1），这里x0＝．相应于x0的值 （x0）是指总体取值小于x0的概率，即 （x0）＝P（x＜x0）．参考数据： （0.7045）＝0.54， （0.6772）＝0.46， （0.21）＝0.5832）．
【解答】解：（I）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：
u0＝65×0.05+75×0.08+85×0.12+95×0.15+105×0.24+115×0.18+125×0.1+135×0.05+145×0.03＝103.2≈103．
（II）①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为x1，
根据题意，，即．
由 （0.7054）＝0.54得，，
所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分．
，
所以，理科数学成绩为107分，大约排在10000×0.4168＝4168名．
10、2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至2月29日，该省已累计确诊1349例患者（无境外输入病例）．
（1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取100名确诊患者，统计他们的年龄数据，得如表的频数分布表：
年龄 [10，20] （20，30] （30，40] （40，50] （50，60] （60，70] （70，80] （80，90] （90，100]
人数 2 6 12 18 22 22 12 4 2
由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄服从正态分布N（μ，15.22），其中μ近似为这100名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（≥70）的患者比例；
（2）截至2月29日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替1名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立．现有密切接触者20人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这20名密切接触者随机地按n（1＜n＜20且n是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n个人每人抽取的一半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n个人抽取的另一半血液逐一化验，记n个人中患者的人数为Xn，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得20人的化验总次数最少的n的值．
参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9973，0.94≈0.66，0.95≈0.59，0.910≈0.35．
【解答】解：（1）＝54.8
所以P（54.8﹣15.2＜X＜54.8+15.2）＝P（39.6＜X＜70）＝0.6826．
P（Z≥70）＝＝．
所以该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（≥70）的患者比例为15.87%．
（2）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为，n的可能取值为2，4，5，10．且Xn～B（n，）
对于某组n个人，化验次数Y的可能取值为1，n+1．
P（Y＝1）＝，P（Y＝n+1）＝
所以＝n+1﹣，
则20人的化验总次数为f（n）＝，
经计算f（2）＝13.8，f（4）≈11.8，f（5）≈12.2，f（10）≈15．
所以，当n＝4时符合题意，即按4人一组检测，可是化验总次数最少．
11、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（10，0.01）．
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的10个零件中其尺寸在（9.8，10.2）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望．
（2）该工厂对生产的零件制定了两种销售方案（假设每种方案对销售量没有影响）：
方案一：每个零件均按85元定价销售．
方案二：若零件的实际尺寸在（9.8，10.1）范围内，则该零件为A级零件，每个零件定价100元；否则为B级零件，每个零件定价为30元．
问哪种销售方案的利润更大？请根据数据计算说明．
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9545，0.954510≈0.6277．
解：（1）抽取的一个零件的尺寸在（9.8，10.2）之内的概率为0.9545，
从而零件的尺寸在（9.8，10.2）之外的概率为0.0455，
由已知得X～B（10，0.0455），因此P（X≥1）＝1﹣P（X＝0）＝1﹣＝0.3723，
故X的数学期望为E（X）＝10×0.0455＝0.455．
（2）对方案二，设零件价格的随机变量为Y，故Y可取30，100，
可得，
P（Y＝30）＝1﹣P（Y＝100）＝0.1814，
故E（Y）＝30×0.1814+100×0.8186＝87.302＞85，
又方案一中，每个零件售价均为85，故可得方案二的利润更大．