2.1直线的倾斜角与斜率 教案（表格式）

3．1直线的倾斜角和斜率
【学情分析】：
通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步研究直线方程的内容进行介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的，是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟练运用上多下功夫．
【教学目标】：
1、理解直线的倾斜角和斜率的定义；掌握斜率公式，并会求直线的倾斜角和斜率.
2、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力
3、帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神
【教学重点】：本节的重点是直线的倾斜角与斜率的概念和斜率公式
【教学难点】：对斜率概念的理解与过两点的直线的斜率公式的建立．.
【教学突破点】：为什么要用倾斜角的正切定义斜率？要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡
度”问题，以及三角函数的定义
【教法、学法设计】：设计为启发、引导、探究、归纳总结的教学模式。学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、小结．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的．在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境，引发争论，组织交流，归纳总结。
【课前准备】：多媒体课件
【教学过程设计】：
教学环节 教学活动 设计意图
一、复习引入 【问题1】在平面几何中，如何确定一条直线？(两点确定一条直线)【问题2】一点能确定一条直线的位置吗？（经过一点有无数条直线）【问题3】经过一点有无数条直线，他们的区别在哪里？（倾斜程度不同）【问题4】怎样描述直线的倾斜程度呢？（引入新课） 为探索新知识做准备.
二、探究新知 1、直线倾斜角定义【板书】定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角． 特别地，当与x轴平行或重合时，规定倾斜角为0°．
由此定义，角的范围如何？（0°≤α＜180°或0≤α＜π）教师强调三点：，（1） 轴的正方向，（2）最小正角，（3）分类思想【归纳】在平面直角坐标系内每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；因此，我们可用倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。2、直线斜率的定义【问题2.1】除两点确定一条直线，现在还有什么几何要素可以确定平面直角坐标系中一条直线的位置呢？(直线上的一点以及它的倾斜角，二者缺一不可)【问题2.2】日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量呢？学生回忆联想：启发学生可联想到工程问题中的“坡度”，及三角函数的定义【板书】定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。记作 ，即 。【讨论】强调定义域与值域的对应关系，及函数的单调性。【归纳】倾斜角不是90°的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同，因此，我们可以用斜率表示直线的倾斜程度。 鼓励学生自己寻找画出不同直线的倾斜程度，积极用自己的语言概括，引导学生转向对直线的倾斜角的探索通过对直线的倾斜角的探讨，拓展学生的思维.引导学生寻找表示倾斜程度的另外的量――“坡度”――直线的斜率
三、练习巩固 例1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： （1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （ ）； （2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； （ ） （3）平行于x轴的直线的倾斜角是； （ ） （4）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.（ ） （5）直线斜率的范围是(－∞，＋∞). （ ） 辨析：上述说法中，（5）正确，其余均错误，原因是：（1）与x轴垂直的直线倾斜角为，但斜率不存在；（2）.举反例说明，120°＞30°，＝－＜（3）平行x轴的直线的倾斜角为；（4）.如果两直线的倾斜角都是，斜率不存在 也就谈不上相等。 说明：①当直线和x轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；②直线倾斜角的取值范围是[；③倾斜角是90°的直线没有斜率.。④坐标平面内，每一条直线都有唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。 例2： 如图，直线的倾斜角＝30°，直线⊥，求、的斜率。 分析：对于直线的斜率，可通过计算直接获得，而直线的斜率则需要先求出倾斜角，而根据平面几何知识， ，然后再求即可。解：的斜率＝tan＝tan30°＝，∵的倾斜角＝90°＋30°＝120°，∴的斜率＝tan120°＝tan（180°－60°） ＝－tan60°＝。评述：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定。【变式1】直线的倾斜角＝150°，直线⊥，求的斜率。【变式2】已知直线的倾斜角，直线⊥，求的斜率及倾斜角。 及时巩固概念，培养技能.本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板．
四、探究新知 3、直线过两点斜率公式的推导【问题3.1】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义 ＝tanα求出直线的斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，求直线P1P2的斜率。思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导，运用正切定义，解决问题。(1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标）(2)角α是“标准位置”吗？（不是）(3)如何把角α放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重合，得到新向量）(4)P的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1）(5)直线的斜率是多少？； x1= x2？6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）还有没有其它推导方法？评价：注意公式中x1≠x2，即直线P1 P2不垂直x轴．因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角。【问题3.2】当直线P1 P2与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么 （成立且k＝0）【问题3.3】】当直线P1 P2与y轴平行或重合时，上述式子还适用吗？为什么 （不适用，斜率不存在）【问题3.4】斜率公式与P1(x1，y1)、P2(x2，y2) 两点坐标的顺序有关吗？（没有）【归纳】对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到． 引导学会探究：既然给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，那么又怎么求出直线的斜率
五、练习巩固 4、巩固练习1.求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：(1)C(4，8)，D(4，-4)；解：(1)k不存在　， α=90°(3)k=1，α=45°． 2．已知：a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A(a，c)，(b，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)．解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°．3. 画出经过点（0，2），且斜率分别为2与－2的直线 及时巩固公式，培养技能.
六、知识延伸拓展阶段 4．知识延伸拓展思考： 证1：； 证2：； 证3：； 思考题，在于拓宽学生的视野，斜率是联结数与形的纽带，借助斜率可以解许多类型的问题。
七．作业
思考题 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．∵A、B、C三点在一条直线上，∴kAB=kAC．
参考题:
选择题
1.直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.直线的斜率的取值范围是( )
A. B . C. D.
3.若直线x=1的倾斜角为,则( )
A.等于0 B. 等于 C. 等于 D.不存在
4.若 ,则直线AB的倾斜角为( )
B. C. D.
5.若直线经过A(2,3),B(-3,m), 它的倾斜角为,则m的值为( )
A. -2 B. 4 C. 8 D. 2
6.已知直线经过A(2,1) , B(1,)两点,那么直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
二 .填空题
7. 直线的斜率为k,且k<0,则的倾斜角的取值范围是_______
8.若直线的倾斜角为,,则直线的倾斜角为______.
9.若A(2,-1), B(-4,-3), C(-2,m), 点C在直线AB上,则m的值为________.
10.已知点A(-1),点B在y轴上,若直线AB的倾斜角为,则B点的坐标是_______
三.解答题
11.已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线L过点P(1，1)且与线段MN相交，求直线L的斜率k的取值范围？
12.已知
答案:1.A 2.A 3.C 4.D 5.C 6.B
7. 8. 9. 10.(0,-2)
11. 解：直线PM的斜率=-4；直线PN的斜率=；
则直线L的取值范围k≥或k≤－4 。
12.