课件40张PPT。第1章 立体几何初步第1章 立体几何初步1.1 空间几何体
1.1.1 棱柱、棱锥和棱台学习目标 1.认识棱柱、棱锥和棱台及简单组合体的几何特征，了解棱柱、棱锥、棱台的
概念．
2．通过制作几何模型，让学生直观感知它们的结构特征，并能画出棱柱、棱锥、棱台的图形．重点难点 重点：棱柱、棱锥、棱台的概念及几何特征．
难点：棱柱、棱锥、棱台的几何特征．1.图形平移
将一个图形上________按某一____的方向移动相同的距离就是平移．
2.棱柱
(1)有关概念：
一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面；两底面之间的距离叫做棱柱的高；多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱．所有的点确定(2)特点：两个底面是_____________，且对应边_________，侧面都是___________．
3.棱锥
(1)有关概念：
当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．由棱柱的一个底面收缩而成的点叫做棱锥的顶点；棱锥中有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；多边形叫做棱锥的底面；顶点到底面的距离叫做棱锥的高．全等的多边形互相平行平行四边形多边形有一个公共顶点的三角形截面和底面之间的部分交于同一点平面多边形想一想
1.棱锥可以所有的面都是三角形吗？做一做
2.五棱柱可以由平面图形________沿某一方向平移形成．
答案：五边形3.三棱锥有________条棱，________棱锥有16条棱．
答案：6 八
4.一个三棱台的每个侧面所属的平面图形类型都是________．
答案：梯形
5.一个正方体的木块砍掉一个角后，面数有________个．
答案：7 下列几何体是棱柱的有________．(填上所有符合要求的图的序号)【解析】 棱柱的结构特征有三方面：有两个面互相平行；其余各面都是平行四边形；这些平行四边形面中，每相邻两个面的公共边都互相平行．当一个几何体同时满足这三方面的结构特征时，这个几何体才是棱柱．很明显，几何体②④⑤⑥均不符合，仅有①③符合．
【答案】 ①③变式训练
1.如图，下列几何体是棱台的为________(填序号)．解析：由棱台的定义知，上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同一点．①侧棱延长后不能交于同一点；②中上底面不平行于下底面，故①②都不是棱台；③符合棱台的定义与结构特征．
答案：③ 观察下图，分别判断(1)中的三棱镜，(2)中的方砖，(3)中的螺杆头部模型，分别有多少对互相平行的平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对？【解】 (1)中的三棱镜有一对平行平面，可以作为棱柱的底面；
(2)中方砖有三对平行平面，都能作为棱柱的底面；
(3)中有四对平行平面．只有一对可做为棱柱的底面．变式训练
2.根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．
(2)这是一个六棱锥，其中六边形面是底，其余的三角形面是侧面．
(3)这是一个三棱台，其中相似的两个三角形面是底面，其余三个梯形面是侧面． (本题满分14分)画一个三棱柱和一个四棱台．
【思路点拨】 分别按照棱柱、棱台的画法步骤画出三棱柱和四棱台．【解】 (1)画三棱柱可分以下三步完成：
第一步：画上底面——画一个三角形；
第二步：画侧棱——从三角形的每一个顶点画平行且相等的线段；
第三步：画下底面——顺次连结这些线段的另一个端点(如图所示)．
(7分)(2)画四棱台可分以下三步完成：
第一步：画一个四棱锥；
第二步：在它的一条侧棱上取一点，然后从这点开始，顺次在各个侧面内画出与底面对应边平行的线段；
名师微博
被遮挡的线画成虚线，你做到了吗？第三步：将多余的线段擦去(如图所示)．(14分)【名师点评】 (1)在画立体图形时，被遮挡的线要画成虚线，可增加立体感；(2)作图时要使用铅笔、直尺等，力求准确．变式训练
3.画一个六面体：
(1)使它是一个四棱柱；
(2)使它是由两个三棱锥组成；
(3)使它是五棱锥．解：如图所示．(1)是一个四棱柱；(2)是一个由两个三棱锥组成的几何体；(3)是一个五棱锥．解：(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体任一对相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，当然是平行四边形，并且四条侧棱互相平行．
(2)截面BCFE右上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1.其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE左下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和CFD1D是底面．2.请画出下图所示的表面展开图．解：展开图如图所示．解：如图所示，方法技巧
棱锥是当棱柱的一个底面收缩为一个点时形成的空间图形，棱台则可以看成是用一个平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的图形．失误防范
在学习时，要注意抓住棱柱、棱锥、棱台这三类多面体之间的联系．棱台的各条侧棱延长后交于一点，即棱台是由棱锥平行于底面的截面截得的，也可以理解成棱台可以还原成棱锥．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件49张PPT。1．1.2 圆柱、圆锥、圆台和球第1章 立体几何初步学习目标 1.认识圆柱、圆锥、圆台和球的几何特征，了解它们的概念．
2．通过与棱柱、棱锥、棱台的类比进一步认识圆柱、圆锥、圆台和球的结构
特征，并能画出它们简单的直观图．重点难点 重点：旋转体的概念及几种旋转体的结构特征．
难点：几种旋转体的结构特征．1.圆柱、圆锥、圆台、球矩形的一边旋转体旋转轴垂直于轴圆面平行于轴不垂直于轴表示它的轴的字母OO′直角边圆锥旋转轴垂直于轴圆面斜曲面表示它的轴的字母SO垂直于底边圆台轴底面侧面母线表示它的轴OO′直径半圆的圆心半圆的半径半圆的直径表示球心O旋转面旋转体想一想
1.根据“球”的定义，乒乓球是“球”吗？
提示：数学中的球，是球体的简称，它包括球面及其所围成的空间部分．所以生活中的乒乓球不是数学中的球，而是球面．2.等腰梯形旋转能形成圆台吗？
提示：等腰梯形以其底边的中线所在的直线为轴，各边旋转半周所形成的曲面是圆台．3.多面体与旋转体的主要区别是什么？
提示：多面体是由多个平面多边形围成的几何体，旋转体是由平面图形绕轴旋转而形成的几何体．做一做
4.一个直角梯形绕着较长的一条底边旋转360°形成的空间几何体为________．
答案：由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体
5.用一个平面去截一个球，无论如何截，截面都是________．
答案：圆面
6.将半圆绕它的直径旋转360°形成的几何体是________．
答案：球答案：①③④ 下列叙述中正确的个数为________．
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．【答案】 0解析：由圆柱的结构特征易知这四个命题都正确．
答案：4 如图所示，画出下列图形绕直线旋转一周后所形成的几何体，并说出这些几何体是由哪些旋转体组合而成的．【解】 如图所示，(1)是由圆锥、圆柱组合而成的，(2)是由圆锥、圆柱组合而成的．变式训练
2.如图是一个由圆台和一个球构成的组合体，试指出这几个几何体是怎样生成的？画出这个几何体的轴截面(过轴的截面)．解：这个几何体是由一个半圆和一个直角梯形绕直线m旋转360°生成的，如图①所示．其轴截面如图②所示．【解】圆锥的轴截面如图所示，设圆锥的母线长为y cm，由圆台的上、下底面面积之比为1∶9，知其上、下底面半径之比为1∶3，设上底面半径为x cm，则下底面半径为3x cm.
(4分)在Rt△SOA中，O′A′∥OA，
∴SA′∶SA＝O′A′∶OA，
(8分)
即(y－20)∶y＝1∶3，
∴y＝30.
∴圆锥的母线长为30 cm. (14分)名师微博
列出比例式是得分关键.变式训练
3.用一张长为8 cm，宽为4 cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的轴截面的面积S1与底面积S2.1.如图，将曲边图形ABC－DE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD∥AE，曲边DE为四分之一的圆周且圆心在AE上．2.直角△ABC中，∠A＝90°，将△ABC分别绕AB，AC，BC三边所在直线旋转一周，由此形成的几何体是哪一种简单几何体？或由哪几种简单几何体构成？3.把一个圆锥截成圆台，已知圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面的半径及两底面面积之和．解：设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，
如图所示，∠ASO＝30°.方法技巧
1.圆柱、圆锥、圆台、球的区别如下表所示：(3)圆(棱)台问题有时需要将圆(棱)台还原为圆(棱)锥来解决．
(4)关于球的问题中的计算，常作球的一个大圆，化“球”为“圆”，应用平面几何的有关知识解决；关于球与多面体的切接问题，要恰当地选取截面，化“空间”为平面．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件45张PPT。1．1.3 中心投影和平行投影第1章 立体几何初步重点难点 重点：三视图及画法．
难点：三视图的画法及应用．1.投影
(1)定义：投影是光线(投射线)通过物体，向选定的面(投影面)投射，并在该面上得到图形的方法．(2)分类：正投影正、俯正、左俯、左右边下面想一想
1.形成投影必需的条件是什么？
提示：根据投影的定义可知，投影必须具备光线，不透明物体和投影面三个条件．2.同一个几何体放置的方向不同时，其三视图一样吗？
提示：不一定一样．选择不同的视角，所得的三视图可能不一样，但有些几何体的三视图一样，如球的三视图都是圆，是相同的．做一做
3.一物体如右图，则该物体的俯视图是下列图形中的________(填序号)．答案：③4.在正方体、圆柱、圆台、球中，任意方向上的视图都是全等图形的是________．
答案：球【解】 (1)四边形BMD1N在上、下底面的投影是相同的；由于M、N、D1在下底面ABCD上的投影分别为A、C、D，所以四边形BMD1N在下底面ABCD上的投影为正方形ABCD，同理在上底面A1B1C1D1上的投影为正方形A1B1C1D1，如图①所示；(2)D1在侧面BB1C1C上的投影为C1，M在侧面BB1C1C上的投影在棱BB1上，所以四边形BMD1N在侧面BB1C1C上的投影如图②所示；同理在侧面AA1D1D上的投影如图③所示；
(3)四边形BMD1N在侧面AA1B1B上的投影如图④所示；同理在侧面D1DCC1上的投影如图⑤所示．【名师点评】 (1)一个图形在不同投影面上的投影，应从一系列关键点(如顶点等)的投影入手，判断出投影图形的形状及位置．
(2)本题要考虑在正方体各个面上的投影，正确作出投影的关键在于找到四边形BMD1N的四个顶点在各个面上的投影．答案：②③ (本题满分14分)画出图中正四棱锥和圆台的三视图．(尺寸不作严格要求)【思路点拨】 观察图形→确定方向→画三视图．【解】 正四棱锥的三视图如图所示：
(7分)名师微博
三个视图的位置摆放可要正确噢！圆台的三视图如图所示：
(14分)【名师点评】 画三视图时：(1)务必做到高平齐，长对正，宽相等．
(2)三视图的安排方法是主视图与左视图在同一水平位置，且主视图在左，左视图在右，俯视图在主视图的下方．
(3)若相邻两物体的表面相交，则表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出．变式训练
2.画出下列几何体的三视图： 根据三视图(如图所示)想象物体原形，指出其结构特征并画出物体的实物草图：【解】 该几何体是由一个圆柱和一个底面为正方形的长方体组合而成，且圆柱下底面圆的直径等于长方体底面正方形的边长．
其草图如图：变式训练
3.说出下列三视图表示的几何体．1.螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图①，画出它的三视图．解：该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，主视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，左视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆(中心重合)．它的三视图如图②所示：解：不正确，将组合体分解后得：其三视图如下：3.根据下列三视图画出是什么几何体．解：几何体为：2.简单几何体的三视图可概括如下：
(1)棱柱：两矩形和一多边形；
(2)棱锥：两三角形和一多边形；
(3)棱台：两等腰梯形和两多边形(多边形相似且顶点相连)；
(4)圆柱：两矩形和一圆；
(5)圆锥：两三角形和一个带有圆心的圆；
(6)圆台：两等腰梯形和两同心圆；失误防范
三视图中三个图之间的关系及应用是还原几何体数量关系的关键．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件40张PPT。1．1.4 直观图画法第1章 立体几何初步学习目标 1.了解中心投影以及由此得到的物体的透视图．
2．理解平行投影(斜投影)在作物体的直观图中的实际应用——斜二测画法．
3．掌握斜二测画法的基本步骤以及画法的基本特征．
4．会画常见的柱、锥、台的直观图．重点难点 重点：斜二测画法及基本步骤．
难点：几何体的直观图的画法．1.消点
在中心投影(透视)中，水平线(或铅直线)仍保持水平(或竖直)，但斜的平行线则会____，____称为消点．相交交点2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤想一想
1.水平放置的直角三角形的直观图还是直角三角形吗？
提示：不一定．因为用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，长度和角度一般要发生变化，故水平放置的直角三角形的直观图一般为斜三角形．2.用斜二测画法画直观图时，应如何在已知图形中建立直角坐标系？
提示：在已知图形中选x轴、y轴时，要使尽量多的点在x轴、y轴上，或尽量在与x轴、y轴平行的线段上．3.空间几何体的直观图一定惟一吗？
提示：不一定惟一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．做一做
4.在如图所示的直角坐标系下，得到的边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是________．答案：③5.一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，如图用斜二测法得到的直观图的形状是________，面积是________cm2. 画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)．【名师点评】 当已知平面图形中没有互相垂直的线段时，通常过平面图形的顶点作另一线段的垂线，作为x轴和y轴．本题也可以以A为原点，AB所在直线为x轴建系，但要过D作x轴的垂线，以确定D在直观图中的位置D′.变式训练
1.(1)画水平放置的边长为4 cm的正三角形的直观图；
(2)画出如图所示图形的水平放置的直观图．(2)水平放置直观图： (本题满分14分)画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(2)画底面．按x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.
(8分)
(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长．
(12分)名师微博
注意：画底面是解决本题关键！(4)成图．顺次连结A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．(14分) 已知水平放置的直观图是一梯形(如图所示)，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2D′C′＝2A′D′，请画出它的原图形．3.试求本例中直观图与还原后平面图形的面积之比．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件48张PPT。1．2 点、线、面之间的位置关系
?
1．2.1 平面的基本性质第1章 立体几何初步学习目标 1.了解平面的概念，体会平面的基本属性，会用图形与字母表示平面；
2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系；
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理和三个推论，理解三个公
理和三个推论的地位与作用．重点难点 重点：点、线、面之间的位置关系的表示及三个公理和三个推论的理解与应用．
难点：平面基本性质的理解与应用．无限延展平行四边形45°2倍虚线(3)表示方法：
①一个希腊字母：如α、β、γ等；
②两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点；
③四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点．2.点、线、面位置关系的表示A∈lA?lA∈αA?αl?αl?αl∩m＝Aα∩β＝l所有的点AB?α经过这个公共点的一条直线α∩β＝l，且P∈l有且只有一个有且只有一个平面相交想一想
1.一个平面把空间分成几部分？两个平面把空间分成几部分？
提示：一个平面把空间分成两部分；两个平面相交时，把空间分成四部分，平行时把空间分成三部分．2.“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说法是否正确，为什么？
提示：不正确．
∵线段AB在平面α内，
∴线段AB上的所有点都在平面α内，
∴线段AB上的A、B两点一定在平面α内，
∴直线AB在平面α内．(公理1)做一做
3.下列命题中，不正确的是________(填序号)．
①平面是无限延展的；
②平面是无面积、无厚度、无形状的；
③一张白纸是一个平面；
④平面一般用平行四边形表示．
答案：③4.如果A∈α，B?α，A∈l，B∈l，那么直线l与平面α有________个公共点．
解析：由公理1可知l与α只能有点A一个公共点．
答案：15.若点M∈平面α，M∈平面β，点N∈α，N∈β，则有α∩β＝________．
答案：MN 判断下列各题的说法正确与否，在正确说法的题号后打√，否则打×.
(1)一个平面长4米，宽2米( )
(2)平面有边界( )
(3)一个平面的面积是25 cm2( )
(4)菱形的面积是4 cm2( )【解析】 根据平面的概念判断，可知(4)是正确的．(1)，(2)，(3)不正确．
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√【名师点评】 要注意平面的以下特点：
(1)平面是平的；
(2)平面是没有厚度的；
(3)平面是无限延展而没有边界的；
(4)平面是由空间点、线组成的无限集合；
(5)平面图形是空间图形的重要组成部分．变式训练
1.下列对平面的描述语句：
①平静的太平洋面就是一个平面；
②8个平面重叠起来比6个平面重叠起来厚；
③四边形确定一个平面；
④平面可以看作空间中点的集合，它是一个无限集．
其中正确的是________(填序号)．解析：①错误．太平洋面只是给我们以平面的形象，而平面是抽象的，可无限延展的；
②错误．平面是无大小，无厚薄之分的；
③错误．如三棱锥的四个顶点相连的四边形不能确定一个平面；
④正确．平面是空间中点的集合，是无限集．
答案：④ 过直线l外一点P引两条直线PA、PB和直线l交于A、B两点，求证：三条直线PA、PB、l共面．【证明】 如图，∵PA∩PB＝P，
∴PA、PB确定一个平面α，
∴A∈α，B∈α.
∵A∈l，B∈l，
∴l?α，
∴PA、PB、l共面．【名师点评】 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内．确定一个平面的方法有：①直线和直线外一点确定一个平面，②两条平行线确定一个平面，③两条相交直线确定一个平面．
(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明这两个平面重合．变式训练
2.求证：如果一条直线与两条平行线都相交，那么这三条直线在同一个平面内．已知：如图，直线a，b，l且a∥b，l∩a＝A，l∩b＝B.
求证：a，b，l共面．
证明：∵a∥b，
∴直线a，b可确定一个平面，设为α.
∵l∩a＝A，
∴A∈a，即A∈α.同理B∈α.由公理1，知AB?α，即l?α.
∴a，b，l共面． (本题满分14分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线．【证明】 ∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF.
又∵M∈直线CD，N∈直线AB，
CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.
∴M、N∈平面ABCD，
∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.
(4分)
同理，可得EF?平面
ADD1A1.
∴Q∈平面ADD1A1.
(8分)名师微博
注意叙述的严密性和条件的完备性.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线AD，
即D、A、Q三点共线．(14分)【名师点评】 (1)证明三点共线，一般先证两点确定的直线是某两个平面的交线，再证第三个点是两平面的一个公共点．证明“点在直线”、“三点共线”、“三线共点”的命题，通常用公理2.(2)证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．设两腰EG、FH相交于一点T.
∵EG?平面ABC，FH?平面ACD，
∴T∈平面ABC，且T∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴T∈AC.
∴直线EG、FH、AC相交于一点T.1.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E、F分别是棱AA′、CC′的中点，试画出平面D′EF与平面ABCD的交线．又∵FG所在直线与MH所在直线相交，
∴FG与MH确定一个平面β，
∵M、G、H在平面α内，M、G、H又在平面β内，且M、G、H三点不共线，
∴α、β重合，∴F∈α.
同理，E∈α，∴E、F、G、H、M、N六点共面．失误防范
要充分理解公理及推论中的条件，如“不在同一条直线上的三点”而不是“三个点”；“一条直线与直线外一点”而不是“一个点及一条直线”等．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件52张PPT。1．2.2 空间两条直线的位置关系第1章 立体几何初步重点难点 重点：空间两直线的位置关系，公理4，异面直线的判定．
难点：异面直线的判定与证明．1.空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种：平行直线异面直线相交直线相交直线平行直线异面直线互相平行3.异面直线
(1)定义：____________________的两条直线叫做异面直线．
(2)画法：图形表示为如图所示(通常用一个或两个平面衬托)．不同在任何一个平面内不经过该点对应平行相等互补锐角直角(0°，90°]90°a⊥b想一想
1.若a?α，b?β，那么a与b一定是异面直线吗？
提示：不一定．两直线若是异面直线，则不同在任何一个平面内．当a?α，b?β时，可能存在平面γ，使a?γ且b?γ，即a与b共面．2.怎样求两异面直线所成的角？
提示：求两异面直线所成的角需转化为两条相交直线所成的角，即空间问题平面化，体现了转化的数学思想方法.做一做
3.若空间两条直线a，b没有公共点，则其位置关系是________．
答案：平行或异面
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，则EF与A1C1的位置关系为________．
答案：平行5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱共有________条．
答案：6
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线A1C1与BD所成角的大小是________．
答案：90°【名师点评】 (1)证明两直线平行的方法：
①平行线的定义：在同一平面内没有公共点的两直线是平行直线．
②利用三角形中位线平行于底边这一性质．
③利用公理4.
④利用平行四边形对边互相平行的性质．
(2)等角定理是证明空间两角相等的基本方法之一，但要注意角的两边的方向．变式训练
1.如图所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.(2)由(1)知EH∥BD，同理GH∥AC.
又∵四边形EFGH是矩形，∴EH⊥GH，∴AC⊥BD. 如图所示，在空间四边形ABCD中，AB≠AC，AE是△ABC的边BC上的高，DF是△BCD的边BC上的中线，求证：AE和DF是异面直线．【名师点评】 证明两条直线为异面直线，方法主要有两种：
(1)定理法，即：a?α，A?α，B∈α，B?a?直线a与AB是异面直线．(2)反证法．变式训练
2.求证：分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD是异面直线．证明：假设AC和BD不是异面直线，
则AC和BD在同一平面内．
设这个平面为α，由AC?α，BD?α，
知A、B、C、D∈α，故AB?α，CD?α.
这与AB与CD是异面直线矛盾．
∴AC和BD是异面直线．∵EO2＋B1O2＝B1E2，
∴△B1OE为直角三角形，∠EOB1＝90°.
∴AC1与B1D1所成的角为90°.(14分)【名师点评】 (1)求两条异面直线所成的角的数学思想是化空间为平面，也就是通过平移直线至相交位置求角，它是立体几何问题的一个难点，找异面直线所成的角时可综合运用多种方法，总结起来有如下“口诀”：
中点、端点定顶点，平移常用中位线；
平行四边形柱中见，指出成角很关键；
求角构造三角形，锐角、钝角要明辨；
平行线若在外，补上原体在外边．(2)求两异面直线所成角的基本步骤是：1.已知棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，求证四边形MNA′C′是梯形．又由已知可知A′N与C′M不平行，
∴四边形MNA′C′是梯形．∵b?α，c?β，∴B是α与β的公共点，又α∩β＝a，∴B∈a，
∴c与a相交，这与c∥a矛盾，故b，c不可能相交．
综上，假设不成立，从而b，c为异面直线．方法技巧
1.判定两条直线平行的方法：
一是在同一平面内判断它们不相交；二是在空间寻找与两已知直线都平行的直线．
2.判定空间两条直线是异面直线的方法：
(1)定理法；(2)反证法．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件41张PPT。1．2.3 直线与平面的位置关系第1章 立体几何初步第一课时 直线与平面平行重点难点 重点：直线与平面平行的定义、判定、性质及应用．
难点：线面平行性质定理的应用．有无数个a?α有且只有一个a∩α＝A没有a∥α平面外这个平面内平行a?α，b?α，a∥b?a∥α相交平行l∥α，l?β，α∩β＝m?l∥m想一想
1.“a?α”的含义是什么？
提示：a?α包含两种情况，一种是a∥α，另一种是a与α相交．
2.若直线a与平面α平行，是不是平面α内所有直线都与a平行？
提示：不是．若a∥α，则平面α内的直线可能与a平行，也可能与a异面．做一做
3.一条直线a和一个平面α有且仅有________三种位置关系．(用符号语言表示)
答案：a?α，a∩α＝A，a∥α
4.若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则a与α的位置关系是________．(用符号语言表示)
答案：a∥α或a?α
5.平行于同一个平面的两条直线的位置关系是________．
答案：平行、相交或异面【解析】 若直线l与平面α不平行，则l与α相交或l?α，
∴①不正确．
若l?α，则l∥α或l与α相交，∴②不正确．
【答案】 ③④【名师点评】 空间直线与平面的位置关系的分类是问题求解的突破口，这类问题常用分类讨论思想解决．变式训练
1.①若a?α，则a与α有无数个公共点；
②若a?α，则a与α有一个公共点；
③若a?α，则a与α没有公共点；
④a与α的关系可分为a?α或a?α两类．
上述命题中，正确的是________(填序号)．解析：若直线在平面内，则直线与平面有无数个公共点，故①正确；
若直线在平面外，则直线与平面平行或直线与平面相交，故②③都不正确；
直线与平面的位置关系可以分为线在面内与线在面外两类，故④正确．
答案：①④故四边形AEFG为平行四边形，所以EF∥AG.
(10分)
又AG?平面SAD，EF?平面SAD，
所以EF∥平面SAD.
(14分)名师微博
你的证明过程的步骤条理完整吗？【名师点评】 (1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线．把握几何体的结构特征，合理利用几何体中的三角形的中位线，平行四边形对边平行等平面图形的特点是找线线平行关系的常用方法．(2)线面平行的证明步骤：变式训练
2.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．
求证：EF∥平面ABC1D1.【名师点评】 (1)通过线线平行与线面平行的相互转化，来证明线线平行是常用的解题思路．
(2)利用线面平行的性质定理解题的步骤：变式训练
3.已知直线a，b和平面α，若a∥b，a∥α，b?α，求证：b∥α.证明：过a与平面α内一点P作平面β，则平面β与平面α相交，设交线为c.
∵a∥α，a?β，α∩β＝c，∴a∥c.
∵a∥b，∴b∥c.
又∵c?α，b?α，∴b∥α.1.如图，已知E，F，G，M分别是四面体的棱AD，CD，BD，BC的中点，求证：AM∥平面EFG.证明：连结MD，交FG于N，连结EN.∵GF为△BCD的中位线，
∴N为MD的中点．∵E为AD中点，
∴EN∥AM.
又∵AM?平面EFG，EN?平面EFG，
∴AM∥平面EFG.2.空间四边形ABCD中，AD＝BC＝a，与直线AD，BC都平行的平面分别交AB，AC，CD，BD于E，F，G，H.
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)求四边形EFGH的周长．解：(1)证明：如图所示，
∵AD∥平面EFGH，平面ADC∩平面EFGH＝FG.
∴AD∥FG.同理EH∥AD.
∴EH∥FG.
同理，由BC∥平面EFGH，
得EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．失误防范
线面平行的判定、性质定理应用时要注意条件，如判定定理中“一条直线在平面外，一条直线在平面内”．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件41张PPT。第二课时 直线与平面垂直第1章 立体几何初步学习目标 1.通过直观感知，操作确认，归纳出直线与平面垂直的判定定理及性质定
理，并能运用它们证明“线面垂直”、“线线垂直”．
2．会用“线线垂直”与“线面垂直”之间的相互转化来解决线线、线面的垂
直问题．3．理解斜线在平面内的射影及直线与平面所成角的概念，并会求简单的
线面角．理解点到面的距离的概念，会求简单的点到面的距离．1.直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平面α内的________直线都_____，就说直线l与平面α互相垂直.任意一条垂直相交a?α，b?αa∩b＝P(3)直线与平面垂直的性质定理平行a∥b垂足任意一点3.直线与平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的____所成的____，叫做这条直线和这个平面所成的角．射影锐角∠PAO直角0°0°≤θ≤90°想一想
1.定理中若去掉a∩b＝P，结论还成立吗？
提示：不一定，如图所示的正方体中，a，b?α，l⊥a，l⊥b，但l∥α，故定理中的“两条相交直线”是不可缺少的条件．2.若直线a与平面α不垂直，那么平面α内与直线a垂直的直线有________条．
答案：无数3.已知正方形ABCD的边长为1，线段PA垂直于平面ABCD，且PA＝1，则点P到点C的距离为________．4.若直线a⊥平面α，直线b?α，直线c∥b，则a和c所成角的大小为________．
答案：90°【名师点评】 利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的步骤是：①在这个平面内找两条直线，使它们和已知直线垂直；②确定这个平面内的两条直线是相交的直线；③根据判定定理得出结论．变式训练
1.如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.
求证：AE⊥SB，AG⊥SD.【思路点拨】 (1)证明线线平行，要先证线面垂直，即证AD1⊥平面A1DC.(2)可利用平行的传递性加以证明．【证明】 (1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.
又∵CD⊥平面ADD1A1，
∴CD⊥AD1.
∵A1D∩CD＝D，
∴AD1⊥平面A1DC.
(4分)名师微博
如何构造两线的垂面是解决本题的关键！变式训练
2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈A1D，F∈AC，且EF⊥A1D，EF⊥AC.
求证：EF∥BD1.证明：如图，连结AB1、B1C、BD、B1D1，
∵DD1⊥面ABCD，AC?面ABCD，
∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，BD∩DD1＝D，
∴AC⊥面BDD1B1，
∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.
又B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.
又EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC，AC∩B1C＝C.∴EF⊥面AB1C.
∴EF∥BD1.解：(1)∵A1A⊥面ABCD，
∴A1A就是A1到面ABCD的距离．
∴A1A＝5，∴A1到面ABCD的距离为5.
(2)∵A1B1⊥面B1BCC1，
∴A1B1就是A1到面B1BCC1的距离．
∵A1B1＝AB＝12，
∴A1到面B1BCC1的距离为12.2.如图，已知PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O的圆周上异于A，B的任意一点，过A点作AE⊥PC于E.
求证：AE⊥平面PBC.证明：∵PA⊥平面ABC，
BC?平面ABC，
∴PA⊥BC.
又∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC，
而AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.
∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.
又AE⊥PC，而PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC.方法技巧
1.线线垂直、线面垂直是立体几何的核心内容之一．由线线垂直可判定线面垂直，由线面垂直又可判定出线线垂直，这种“线线——线面——线线”之间的垂直关系的相互转化，是线线、线面垂直关系的判定的实质，也是我们运用定理对垂直进行证明的关键所在．2.当我们学习了直线和平面平行、直线和平面垂直之后，解决大量的线线平行和线线垂直就有了新方法．在应用过程中我们又发现，线面关系作为中间步骤起传递作用，解决问题时，我们要学会找平面为媒介．另外，我们还可以采用分析法，转换证明角度．
3.证明线线垂直的方法，常结合具体的几何图形，如构建出直角三角形，矩形，等腰三角形等．在具体的几何图形中，可根据所给条件进行判断，选取合适的证明途径．失误防范
应用线面垂直判定定理时，要注意平面内的两条直线必须是相交的．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件45张PPT。1．2.4 平面与平面的位置关系第1章 立体几何初步第一课时 两平面平行1.两个平面的位置关系
(1)两个平面平行——没有公共点，记作α∥β；
(2)两个平面相交——有一条公共直线，记作α∩β＝a.2.平面与平面平行
(1)两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条____直线都______另一个平面，那么这两个平面平行．简述为：线面平行，则面面平行．用符号表示为：a?α，b?α，a∩b＝A，且a∥β，b∥β，则α∥β.相交平行于平行平行于垂直于公垂线公垂线段相等公垂线段的长度做一做
2.若平面α∥平面β，α∩平面γ＝a，β∩γ＝b，则直线a与直线b的位置关系为________．
答案：平行
3.有下列四个命题：①平行于同一平面的两平面平行；②垂直于同一条直线的两平面平行；③与同一条直线成等角的两平面平行．其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)
答案：①② 在以下四种说法中，说法正确的是________(填序号)．
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；
②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；
③平面α内的两条相交直线和平面β内的两条相交直线分别平行，则α与β平行．【解析】
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E，F，连结EF，则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错．对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D中，与AD平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错误的．
命题③是正确的．所以应该填③.
【答案】 ③答案：②③ (本题满分14分)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是CC1、AA1的中点，求证：平面BDE∥平面B1D1F.名师微博
作辅助线是关键，要加强这方向的训练！∴B1F∥平面BDE.(10分)
又∵B1D1∥BD，B1D1?平面BDE，BD?平面BDE，
∴B1D1∥平面BDE.(12分)
∵B1D1∩B1F＝B1，
∴平面BDE∥平面B1D1F.(14分)【名师点评】 证“面面平行”，要先证“线线平行”，进而证“线面平行”，最后证出“面面平行”．这就是立体几何中最常用的化归思想(线线、线面及面面的相互化归)，即线线平行变式训练
2.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D1、D分别为B1C1、BC的中点，求证：面A1D1B∥面ADC1.∴A1D1∥AD.
∵A1D1?面ADC1，AD?面ADC1，
∴A1D1∥面ADC1.
∵BD1∥DC1，BD1?ADC1，DC1?面ADC1，
∴BD1∥面ADC1，又∵A1D1∩BD1＝D1，
∴面A1D1B∥面ADC1. 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，过对角线BD1作平面交A1A于H，交C1C于N，求证：四边形HBND1为平行四边形．【证明】 ∵面A1ADD1∥面BCC1B1，
面D1HBN∩面A1ADD1＝D1H，
面D1HBN∩面BCC1B1＝BN，
∴D1H∥BN；
同理，BH∥D1N，
∴四边形HBND1为平行四边形．【名师点评】 面面平行的性质定理的几个有用推论：
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
②夹在两个平行平面之间的平行线段相等．
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．变式训练
3.如图，在棱长为a的正方体中，点M为A1B上任意一点，求证：DM∥平面D1B1C.1.如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．2.已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，M，N分别为AB和CD的中点，求证：MN∥β.证明：(1)若AB与CD共面，则由MN∥BD∥AC，知MN∥β.(2)若AB与CD异面(如图)，连结AD，取AD中点F，连结NF，MF.
在△ABD中，MF是中位线，∴MF∥BD，∴MF∥β.同理FN∥β，又MF∩FN＝F，∴面MNF∥β.
又MN?面MNF，∴MN∥β.
由(1)、(2)知，MN∥β.方法技巧
1.判定两个平面平行的方法
(1)根据定义：证明两个平面没有公共点．这时，直接证明非常困难，往往采用反证法．
(2)根据判定定理．
(3)推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．
(4)可用“垂直于同一直线的两个平面平行”作为依据证明面面平行．2.面面平行的性质定理是证明线线平行的重要方法．
在面面平行关系的学习中，要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互转化．失误防范
两个平面平行，其中一个平面内的直线必定平行于另一个平面，但这两个平面内的直线不一定相互平行，也有可能异面．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件46张PPT。第二课时 两平面垂直第1章 立体几何初步重点难点 重点：二面角及平面角的概念，面面垂直的判定定理及性质定理．
难点：垂直关系的相互转化．每一部分二面角的棱二面角的面二面角α－l－β②以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作_________________，这两条射线所成的角叫做________________．
③二面角α的大小范围是0°≤α≤180°.
④平面角是直角的二面角叫做_________．垂直于棱的射线二面角的平面角直二面角直二面角α⊥β一条垂线a?α垂直于它们交线想一想
1.两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？
提示：不一定．只有在一个平面内垂直于两平面交线的直线才能垂直于另一个平面．2.由线面垂直的性质定理，知垂直于同一个平面的两条直线平行；试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗？
提示：可能平行，也可能相交．做一做
3.如图，已知PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，连结PB，PC，则互相垂直的平面有________对．
解析：平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC.
答案：3【解】 取AB的中点E，连结VE，CE.
∵VA＝VB＝AC＝BC＝2，
∴VE⊥AB，
又CE⊥AB，∴∠VEC就是二面角的平面角．
∵VE＝EC＝VC＝1，∴∠VEC＝60°.【名师点评】 (1)本例是根据二面角的平面角的定义作出平面角，将空间角转化为平面角来计算．
(2)求二面角的大小，其步骤一般有三步：
①“作”：作出二面角的平面角．
②“证”：证明所作的角是二面角的平面角．
③“求”：解三角形，求出这个角．变式训练
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求平面A1BD和平面BB1D1D所成的二面角的正弦值．【证明】 法一：取AC的中点D，连BD，SD.
∵SA＝SC，∴SD⊥AC. (本题满分14分)已知：α、β、γ是三个不同平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ.【证明】 法一：
设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内任取一点P，过P在γ内作直线m⊥a，n⊥b，如图．
∵α⊥γ，β⊥γ，
∴m⊥α，n⊥β，
又∵α∩β＝l，(8分)
∴m⊥l，n⊥l，∴l⊥γ.
(14分)名师微博
这里一定要在γ内作直线m，n，你知道为什么吗？法二：如图，α∩γ＝a，β∩γ＝b，在α内作m⊥a，在β内作n⊥b.
∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n.
(8分)
又∵n?β，m?β，∴m∥β.(10分)
又α∩β＝l，m?α，∴m∥l，∴l⊥γ.
(14分)【名师点评】 (1)空间问题转化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时要抓住几何图形自身的特点，如等边三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等等，还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．(2)法一、法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线，这是法一、法二的关键．解：(1)
证明：如图，设G为AD的中点，连结PG，BG.
∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.
∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.(2)如图，当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD，
取PC的中点F，连结DE、EF、DF，
在△PBC中，FE∥PB.
在菱形ABCD中，GB∥DE，
而FE?平面DEF，DE?平面DEF，EF∩DE＝E.
∴平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG?平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，
∴平面DEF⊥平面ABCD.1.已知四边形ABCD为正方形，PA⊥面ABCD.证明：(1)面PAB⊥面ABCD；
(2)面PAB⊥面PBC.
证明：(1)∵PA⊥面ABCD，
PA?面PAB，
∴面PAB⊥面ABCD.
(2)∵PA⊥面ABCD，BC?面ABCD，∴PA⊥BC.
又∵BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥面PAB.
又∵BC?面PBC，∴面PAB⊥面PBC.方法技巧2.立体几何中实现平行与垂直转化的结论常有以下几种：
(1)若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
(2)若a⊥α，b⊥α，则a∥b；
(3)若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
(4)若α∥β，a⊥α，则a⊥β.失误防范
线面垂直关系是线线垂直、面面垂直关系之间的枢纽，要注意垂直关系之间的相互转化要有定理作保证．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件43张PPT。1．3 空间几何体的表面积和体积
1．3.1 空间几何体的表面积第1章 立体几何初步学习目标 1.通过操作确认了解柱、锥、台的侧面展开图及它们的内在联系，并能
运用侧面展开图解决相关问题．
2．通过侧面展开图推出侧面积公式，并能运用公式求出柱、锥、台的侧面积．
3．能运用点、线、面的关系求出柱、锥、台中有关角、线段长等几何量．重点难点 重点：特殊多面体、旋转体的侧面积公式及求几何体表面积．
难点：运用点、线、面的关系求出有关角、线段长．1.几个特殊多面体
(1)直棱柱：侧棱和底面____的棱柱．
(2)正棱柱：底面为________的直棱柱．
(3)正棱锥：棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是________．
(4)正棱台：正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分．垂直正多边形底面中心chcl2πrl(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
圆柱表面积：S圆柱＝___________________．
圆锥表面积：S圆锥＝________________．
圆台表面积：S圆台＝________________．2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)πr2＋πrl＝πr(r＋l)π(r′2＋r2＋r′l＋rl)想一想
1.一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？2.根据旋转体的有关公式，分析如何求旋转体的侧面积？做一做
3.若正三棱柱的底面边长为2，高为5，则其侧面积为________．
答案：30
4.若一个圆锥的侧面积恰是底面积的两倍，则其母线与底面所成角的大小为________．
答案：60°5.若圆柱的侧面展开图是边长为10的正方形，则这个圆柱的底面半径为________．【名师点评】 求多面体的表面积，可以先求侧面积，再求底面积．求侧面积，要清楚各侧面的形状，并找出求面积的条件；求底面积要清楚底面多边形的形状及求面积的条件．【名师点评】 (1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们的侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的表面积公式及解决有关问题的关键．(2)解旋转体的有关问题时，常常需要画出其轴截面，将空间问题转化为平面问题．变式训练
3.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，BB1＝c，且a>b>c>0.求沿着长方体的表面自A到C1的最短路径的长．1.已知一圆台的母线长为5 cm，两底半径之比为2∶3，侧面展开图的圆心角为144°，求该圆台的侧面积．2.已知六棱锥P－ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O点，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm，求六棱锥P－ABCDEF的表面积．方法技巧
1.棱柱、棱锥和棱台的表面积等于侧面积与底面积的和．
棱柱、棱锥、棱台均是多面体，多面体的表面积的求法有两种：一种是分开算，把各个面的面积分别计算出来，再求其和；另一种是将它们沿某些棱剪开，计算平面展开图的面积．2.某一平面图形旋转一周后所形成的几何体，要弄清它的组成，其表面积包含了哪些底面和侧面，所产生的旋转体中的旋转半径和母线长是多少，如何计算等，都必须搞清楚．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件48张PPT。1．3.2 空间几何体的体积第1章 立体几何初步重点难点 重点：柱、锥、台、球的体积公式及球的表面积、体积公式及其应用．
难点：求体积的割补法、等积转换法等．1.柱体、锥体、台体的体积2.球的表面积与体积
S球＝________，V球＝________．(其中R为球的半径)4πR2想一想
1.底面积和高分别对应相等的圆柱和棱柱的体积相等吗？2.根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？
提示：柱体和锥体可以看作“特殊”的台体，它们之间的关系如下：(1)柱体、锥体、台体之间的关系：(2)体积公式之间的关系：做一做
3.若正方体的对角线长为a，则它的体积为________．5.若一圆台的高为3，一个底面的半径是另一底面半径的2倍，母线与底面成45°角，则它的体积为________．
答案：63π6.若一个球的体积与其表面积在数值上相等，则该球的半径为________．答案：3【名师点评】 (1)几何体的体积是指几何体所占空间的大小．
(2)求柱体的体积要注意两点：一是底面积，二是柱体的高．解：若圆柱的母线长是6π，则有4π＝2πr，∴r＝2.
即此时圆柱的底面半径为2，∴V＝π×22×6π＝24π2.
若圆柱的母线长是4π，则有6π＝2πr，∴r＝3.
即此时圆柱的底面半径为3，∴V＝π×32×4π＝36π2.【思路点拨】 (1)求VE－CDF的关键是求出S△CDF和点E到平面CDF的距离．由面面垂直的性质作EH⊥AD于点H，则EH的长即为点E到平面CDF的距离．(2)求D点到平面EFC的距离，由于VD－EFC＝VE－DCF，可利用等体积转换法来求．名师微博
等积转换的关键是转换顶点.【名师点评】 三棱锥的“等体积性”，即计算体积时可以用任意一个面作三棱锥的底面．①求体积时，可选择高和底面积容易计算的来算；②利用“等体积性”可求点到平面的距离．利用等体积变换法求点到平面的距离，这是求点到平面距离的又一重要方法，尤其是点到平面的垂线不好作时，往往使用此法．变式训练
2.如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E，F分别是棱AA1和CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．【名师点评】 确定一个球的条件是球心位置和球的半径，已知球的半径可以利用公式求它的表面积和体积；反过来，已知体积或表面积也可以求其半径．变式训练
3.如图，水平地面上有一个大球，现用如下方法测量球的大小：用两个锐角分别为60°和30°的直角三角板，斜边紧靠球面，一条直角边紧靠地面，并使三角板与地面垂直．如果测得PA＝5 cm，求球的表面积．1.若干体积的水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥器皿中，求水面的高度．解：法一：将多面体ABCDEF补成三棱柱BCF－ADG，再将这个三棱柱补成四棱柱ABCD－HKFG(如图1)，则有3.如图所示，直角梯形O2BAO1内有一个内切半圆O，把这个平面图形绕O1O2旋转一周得到一个含有内切球的圆台．已知圆台表面积与球表面积的比是k(k>1)，求它们的体积比．方法技巧
几何体的体积的求法有以下几种
(1)直接法：即直接套用体积公式求解；
(2)等体积转化法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面，为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到；本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件41张PPT。本 章 优 化 总 结第1章 立体几何初步又MK∩KN＝K，A1B1∩B1C1＝B1.
∴平面MKN∥平面A1B1C1D1.
而MN?平面MKN，∴MN∥平面A1B1C1D1.(3)由(2)可知MNBD为平行四边形，∴DM∥BN，
又∵BN⊥平面ECA，∴DM⊥平面ECA.
又DM?平面DEA，∴平面DEA⊥平面ECA.【分析】 先做出要求的角，再在三角形中求角．(2)证明：如图，过点B作BG∥CD，交AD于点G，
则∠BGA＝∠CDA＝45°.
由∠BAD＝45°，可得BG⊥AB，
从而CD⊥AB.
又CD⊥FA，FA∩AB＝A，所以CD⊥平面ABF.【分析】 如图所示，直接求三棱锥的体积，不易求底面积和高，由BC＝AC，BD＝AD，联想取AB的中点M，连结MC、MD，将三棱锥分割成两个较易求体积的三棱锥． 如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值．解析：要找m∥β，m⊥β的条件，不一定能用常规的线面平行与垂直的判定定理，综合本题条件可用面面平行的性质定理．
答案：(1)③⑤ (2)②⑤2.已知二面角α－l－β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成角的大小为________．解析：过二面角内一点P作PA，PB分别垂直于二面角的两个半平面，则PA，PB所成的角即为m，n所成的角．又∠APB与二面角的平面角互补，故m，n所成的角(0°<θ≤90°)为60°.
答案：60°本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件11张PPT。第1章 立体几何初步第1章 立体几何初步以及线线、线面、面面平行或垂直的判定和性质定理，这些知识联系密切，前面内容是后面内容的理论依据，后面内容不仅巩固充实了前面的内容，同时又发展和提升了对前面内容的认识和理解.3.本章重点：空间几何体的结构特征及斜二测画法；空间直线、平面的位置关系；直线、平面平行的判定与性质定理；直线、平面垂直的判定与性质定理；柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式.2.要锻炼自己的空间想象能力．对于每一个几何体，要在现场没有实物的情况下想象出物体的形状、结构(几何体的线面关系).
3.要提高画图能力，要多练习用斜二测画法画几何体的直观图．注意用实线和虚线来画出几何体中的线面关系.4.要学会把空间问题转化为平面问题，学会用截面的方法(特别是一些几何体中的重要截面)来研究几何中的线面关系.
5.加强数学文字语言、图形语言、符号语言的相互转化，逐步达到融会贯通的程度，并能解决一些简单的推理论证.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件45张PPT。2．1 直线与方程
2．1.1 直线的斜率第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：直线的倾斜角，斜率的概念及应用斜率公式证明三点共线问题．
难点：斜率公式的应用．x1≠x2不存在逆时针重合最小正角0°0°≤α＜180°tanα想一想
1.斜率公式与两点的顺序有关吗？
提示：斜率公式与两点的顺序无关，也就是说两点的纵、横坐标在公式中的次序可以同时调换(要一致)．2.如果y1＝y2，x1≠x2或y1≠y2，x1＝x2，分别表示什么样的直线？
提示：如果y1＝y2，x1≠x2，则直线与x轴平行或重合，k＝0；如果y1≠y2，x1＝x2，则直线与x轴垂直，k不存在．做一做
3.经过点P(6，5)，Q(2，3)的直线的斜率为________．4.已知直线的倾斜角为30°，则该直线的斜率为________．5.经过原点和点(1，－1)的直线的倾斜角为________．6.若直线l的斜率小于零，则直线l的倾斜角的取值范围为________．
答案：(90°，180°)变式训练
1.设直线l的斜率为k，且－1＜k＜1，求直线倾斜角α的取值范围．解：由于－1＜k＜1，故需分以下情况讨论：
①当－1＜k＜0时，有－1＜tan α＜0，
此时α∈(135°，180°)．
②当0≤k＜1时，有0≤tan α＜1，
此时α∈[0°，45°)．
综上可知α∈[0°，45°)∪(135°，180°)．名师微博
这里k的范围易错，勿必当心！在解决(2)时，一般是设想直线l绕点P旋转，考查这时直线l的斜率的变化规律．当直线绕定点由与x轴平行(或重合)位置按逆时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐增大到＋∞(即斜率不存在)；按顺时针方向旋转到与x轴垂直时，斜率由0逐渐减小至－∞(即斜率不存在)．具体到(2)题这类问题时，不但要注意kPM与kPN这两个关键的数据，还要注意斜率是如何变化的．变式训练
2.已知A(3，3)，B(－4，2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 已知三点A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)在同一条直线上，求a的值．变式训练
3.(1)判断下列三点是否在同一直线上：A(1，－3)，B(－1，1)，C(2，－1)．
(2)已知A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)三点共线，求m的值．1.已知M(2m＋3，m)，N(2m－1，1)．
(1)当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？直角？钝角？
(2)当m为何值时，直线MN的斜率为－1?2.已知点B在坐标轴上，点A(3，4)，kAB＝2，求点B的坐标．3.已知直线l过点P(－1，0)，且与以A(2，3)，B(3，0)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率的取值范围．失误防范
涉及直线斜率问题，一定要分别讨论斜率不存在与存在两种情况．另外，斜率可以不存在，但倾斜角α存在且α＝90°.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件48张PPT。2．1.2 直线的方程第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：直线方程的五种形式及形式的选择．
难点：直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的适用范围．1.点斜式方程：______________，它表示经过点P1(x1，y1)，且斜率为k的直线．
2.斜截式方程：________，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．b为直线l在y轴上的____．y－y1＝k(x－x1)y＝kx＋b截距x轴y轴5.一般式方程：_____________(其中A、B、C是常数，______不全为0)，它可以表示平面内的任何一条直线．Ax＋By＋C＝0A、B想一想
1.平面直角坐标系下，任何直线都有点斜式方程吗？
提示：平面直角坐标系下，并不是所有的直线都存在点斜式方程．当直线与x轴垂直时(没有斜率)，不能用点斜式方程来表示．2.截距与距离是一回事吗？
提示：不是一回事，截距是直线与x轴(y轴)交点的横(纵)坐标，因此可正，可负也可为零，而“距离”必须是非负的． 根据条件写出下列直线的方程：
(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3；
(2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
(3)过点C(－1，2)且与y轴平行；
(4)过点D(2，1)和E(3，－4)．【名师点评】 (1)求直线的点斜式方程．(2)将直线的方程求出后，为了统一答案的形式，如果没有特别要求，一般都将直线的方程化为Ax＋By＋C＝0(A、B不全为0)的形式．【名师点评】 (1)直线的两点式可由点斜式导出，当直线斜率不存在或斜率为0时，不能用两点式，此时直线与坐标轴重合或平行，直线方程更简单，即x＝x1或y＝y1；
(2)截距式方程有很大的局限性，除了不能表示与坐标轴垂直的直线外，还不能表示过原点的直线．(3)已知直线上的两点坐标时，通常用两点式求直线方程．
(4)由于减法运算的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错，错误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字母对应起来造成的，只有深刻理解公式，才能避免类似“低级”错误．变式训练
2.已知直线l经过点(3，4)，且在两轴上的截距相等，求直线l的方程． (本题满分14分)设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值．
(1)直线l的斜率为－1；
(2)直线l的横、纵截距相等．名师微博
注意分类讨论，否则会出错！变式训练
3.根据下列条件分别求出直线的方程，并化为一般式方程．
(1)斜率为3，经过点(5，－4)；
(2)斜率为－2，经过点(0，2)；
(3)经过两点(2，0)和(0，－3)；
(4)斜率为2，经过点(2，0)．解：(1)∵k＝3，过点(5，－4)．
由直线的点斜式方程，得y＋4＝3(x－5)，
∴所求直线方程为3x－y－19＝0.
(2)∵k＝－2，在y轴上的截距为2，
由直线的斜截式方程，得y＝－2x＋2，
∴所求直线方程为2x＋y－2＝0.1.求与两坐标轴围成的三角形面积为4，且斜率为－2的直线l的方程．方法技巧
1.一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式．另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，则应选用截距式．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件50张PPT。2．1.3 两条直线的平行与垂直第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：两条直线平行与垂直的条件及应用．
难点：应用两条直线平行与垂直的条件求参数的值．1.两条直线平行与斜率的关系
设两条不重合的直线l1，l2，斜率存在且分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2.则对应关系如下：k1＝k2l1∥l22.两条直线垂直与斜率的关系k1k2＝－1l1⊥l2想一想
1.当直线l1与l2斜率都存在时一定有k1＝k2?l1∥l2吗？
提示：不一定．当k1＝k2时，l1和l2可能重合．k1＝k2?l1∥l2或l1与l2重合．2.若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－1吗？
提示：不一定．如果两条直线l1，l2中的一条与x轴平行(或重合)，另一条与x轴垂直(即与y轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．做一做
3.若直线l与直线y＝2x＋5平行，则直线l的斜率为________．
答案：24.直线y＝－1与x轴所在直线的位置关系为________．
答案：平行
5.若直线l与直线y＝－2x＋3垂直，则直线l的斜率为________．6.过点M(3，a)且与直线y＝5垂直的直线方程为________．
答案：x＝3【名师点评】 (1)判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合．
(2)一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，若直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0平行，则必有A1B2－A2B1＝0，反之也成立． 当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？(3)一般地，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程可设为Bx－Ay＋m＝0(m为参数)．若直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直，则必有A1A2＋B1B2＝0，反之也成立．变式训练
2.(1)已知直线(a－1)x＋ay＝2和直线ax＋(a－5)y＝1互相垂直，求实数a的值．
(2)求经过点A(2，1)且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程．名师微博
分类讨论要全面，分类标准要统一.【名师点评】 (1)判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．(2)在本题解答过程中，由C、D两点的横坐标可知l2的斜率一定存在，由A、B两点的横坐标可知l1的斜率可能存在也可能不存在，因此应注意对a的取值进行讨论．1.若直线mx＋4y－1＝0和直线x＋my－3＝0不平行，求实数m的取值范围．2.将直线l向上平移2个单位后得到直线l1经过点P(2，2)，再将直线l1绕点P旋转90°后得到的直线l2经过点(4，－2)，求直线l的方程．方法技巧
1.判断两条不重合的直线l1与l2平行，即判断两直线的斜率k1＝k2，也可判断两直线的倾斜角相等．在利用k1＝k2来判断l1与l2平行时，一定要注意斜率的存在与否，但利用倾斜角相等来判断两直线平行，则无需讨论．
2.判断两直线l1与l2垂直，即判断两直线的斜率k1与k2之积为－1或其中一条直线的斜率不存在并且另一条直线的斜率为0.失误防范
无论是判断两条直线平行或垂直，都需注意特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件51张PPT。2．1.4 两条直线的交点第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：应用二元一次方程组的解讨论研究两条直线的位置关系并会求两直
线的交点．
难点：讨论方程中含参数的两条直线的位置关系．1.两直线的位置关系与二元一次方程组的关系
设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的_______；反之，如果这两个二元一次方程只有____公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1与l2的交点．公共解一组2.方程组的解的组数与两直线的位置关系无有一个无数3.过两条直线交点的直线系方程
若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包含直线l2)或(A2x＋B2y＋C2)＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0(不包含直线l1)(其中λ为常数)．想一想
1.若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否交于一点？做一做
3.直线l1：x＋y＝2与直线l2：x－y＝0的交点坐标为________．
答案：(1，1)4.已知直线l1：ax＋y＋1＝0与直线l相交于(1，0)，则a的值为________．
答案：－1
5.已知直线l：2x＋my＋1＝0与直线y＝x＋1相交，则m的取值范围是________．
答案：(－∞，－2)∪(－2，＋∞)6.若直线x－y＝0与ax＋y－1＝0无公共点，则a的取值为________．答案：－17.直线(a－1)x－(a＋1)y－1＝0经过的定点是________．变式训练
1.已知a∈R，试讨论两条直线l1：y＝a2x＋1，l2：y＝(3－2a)x＋a的位置关系． 求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，
解得λ＝11，
∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.(2)直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具和解题技巧，应注意掌握和应用．变式训练
2.求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．法二：
如图所示，设直线l2与x轴、y轴的交点分别为B，C，则其坐标分别为(4，0)，(0，1)．
(4分)名师微博
数形结合，方便快捷，但叙述要严密！【名师点评】 法二是用直线系方程结合数形结合法求解，数形结合法所起的作用是代数运算往往达不到的．变式训练
3.已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点在第四象限，求m的取值范围．1.设三条直线l1：x＋y－1＝0，l2：kx－2y＋3＝0，l3：x－(k＋1)y－5＝0.若这三条直线交于一点，求k的值．2.求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定点，并求出这个定点的坐标．解得x＝2，y＝－3.
∴所给的直线不论m取什么实数，都经过定点(2，－3)．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件51张PPT。2．1.5 平面上两点间的距离第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：平面上两点间距离公式及应用；中点坐标公式及应用．
难点：应用中点坐标公式解决对称问题．做一做
3.已知两点A(－1，0)，B(2，3)则AB等于________．4.已知两点A(0，10)，B(a，－5)之间的距离为25，则a的值为________．
答案：±205.已知两点A(3，5)，B(5，1)，则线段AB的中点坐标为________．
答案：(4，3)
6.点P(2，－3)关于点M(4，1)的对称点的坐标是________．答案：(6，5)【思路点拨】 可先在直角坐标系中画出△ABC，估计其形状，以寻找解题的方向，然后去验证．名师微博
先画草图，再做判断，可减少繁琐的计算. 已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别是P(3，－2)，Q(1，6)，R(－4，2)，求点A的坐标．法二： 如图，连结PQ，QR，PR.
∵QR∥AP，PQ∥AR，
∴四边形APQR是平行四边形．
连结AQ交PR于点M，则M平分PR和AQ.由中点坐标公式得：【名师点评】 (1)中点坐标公式的应用与数形结合相联系，是解题的好途径．
(2)本例关键是探求三角形各顶点和中点的关系，使用中点坐标公式列方程组求解即可，也可以使用三角形中位线性质求解．变式训练
2.已知A(－1，0)，B(0，2)，C(4，0)，求△ABC的边AC上的中线长． 求直线x－y－2＝0关于直线l：3x－y＋3＝0对称的直线方程．【思路点拨】 本题属于轴对称问题，解决本题有两种方法，一是转化为点的对称，二是利用轴对称的条件，即应用中点公式与直线垂直的条件，代入可得．即7x＋y＋22＝0.
法二：设P(x，y)为所求直线上不同于与直线l的交点的任一点，点P关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
根据PP′⊥l且线段PP′的中点在直线l上．变式训练
3.已知A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求：
(1)点A关于直线l的对称点B的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l1的方程；
(3)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．1.已知AO是△ABC中BC边的中线，证明：
AB2＋AC2＝2(AO2＋OC2)．2.试在直线l：2x－y＝0上求一点P，使点P到两个定点A(1，3)，B(2，6)的距离之和最小．3.入射光线通过点P(4，5)及直线l：x－y－1＝0上的点N(3，2)，经直线l反射，求反射光线所在直线的方程．失误防范
坐标平面上两点间的距离公式及中点坐标公式的形式要熟记，使用时才不致于出错．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件47张PPT。2．1.6 点到直线的距离第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：点到直线距离、两条平行线间距离公式及应用．
难点：公式的灵活运用．点到直线的距离与两条平行线间的距离公垂线段想一想
1.点到直线的距离公式对于A＝0或B＝0或P在直线l上的特殊情况是否还适用？2.两平行线间的距离可转化为其中一直线上的任意一点到另一条直线的距离，而这一点的选取有何要求？
提示：这一点的选取具有任意性，一般选取计算较为简便的特殊点．想一想
3.原点(0，0)到直线l：5x－12y－9＝0的距离为________．4.已知A(1，1)，B(2，0)到直线2x＋3y＋1＝0的距离分别为d1和d2，则d1，d2的大小关系为________．答案：d1>d25.两条平行线5x－12y－2＝0，5x－12y－11＝0之间的距离等于________．答案：－1或－31【名师点评】 应用公式时，应先把直线方程化为一般形式求解，公式应用时要注意系数不可代错．变式训练
1.已知点A(a，2)到直线3x＋4y－2＝0的距离为5，求a的值． 求两平行线l1：3x＋4y－5＝0和l2：6x＋8y－9＝0间的距离．【名师点评】 (1)针对这个类型的题目一般有两种思路：
①利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．变式训练
2.已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求l的方程． (本题满分14分)两点A(1，0)，B(3，2)到直线l的距离均等于1，求直线l的方程．【思路点拨】 直线l的位置应考虑以下三种情况：(1)l∥AB，即点A，点B在l同侧；(2)l过AB的中点，即点A，点B在l异侧；(3)l⊥x轴．名师微博
理清分类标准是正确解题的关键.【名师点评】 本题作了两次分类，第一次以l是否垂直于x轴为标准分类，第二次以A，B是否在l同侧为标准分类．变式训练
3.两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．1.点P(2，0)到过点A(1，2)的直线l的距离等于1，求直线l的方程．2.试在抛物线y＝x2上求一点P，使它到直线l：x－y－1＝0的距离最小．3.设直线l过点A(2，4)，它被平行线x－y＋1＝0，x－y－1＝0所截得的线段的中点在直线x＋2y－3＝0上，试求直线l的方程．失误防范
应用公式求直线方程时，不要忘记讨论斜率不存在的情形．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件47张PPT。2．2 圆与方程
2．2.1 圆的方程第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：圆的方程的两种形式及用待定系数法求圆的方程．
难点：根据条件选择恰当的圆的方程求解．1.圆的标准方程2.圆的一般方程
(1)圆的一般方程形式为____________________，它可以配方化为
_____________________________．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相等xy3.点与圆的位置关系
(1)点与圆的位置关系有三种：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内．
(2)设点P到圆心距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置有如表所示的对应关系(3)已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．则其位置关系如下表：想一想
1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一个圆吗？为什么？2.方程2x2＋2y2－4x－3y－1＝0表示圆吗？若表示圆，其圆心和半径分别是什么？答案：x2＋y2＝5.4.方程(x＋2)2＋(y－3)2＝49表示的圆的圆心坐标是________，半径是________．
答案：(－2，3) 7
5.若圆的方程为x2＋y2＋4x－6y－12＝0，则该圆的圆心坐标为________．
答案：(－2，3)6.点A(0，0)与圆x2＋y2＋4x－5＝0的位置关系为________．答案：点A在圆内 (本题满分14分)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的标准方程．
【思路点拨】 解答本题可以先根据所给条件确定圆心和半径，再写方程，也可以设出方程用待定系数法求解．【解】 法一：设点C为圆心．
∵点C在直线l：x－2y－3＝0上，
∴可设点C的坐标为(2a＋3，a)．(2分)名师微博
据定义，求圆心，定半径，方便快捷.名师微博
这里采用的是待定系数法，此法常用，勿必掌握.变式训练
1.求下列各圆的标准方程：
(1)圆心在y＝－x上，且过两点(2，0)，(0，－4)；
(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．解这个方程组，得D＝－8，E＝6，F＝0.
所以，所求圆的方程是x2＋y2－8x＋6y＝0.
即(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
故所求圆的圆心坐标是(4，－3)，半径为5. 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1，0)，B(1，0)，点P在圆上运动，求d＝PA2＋PB2的最值及相应的点P的坐标．【名师点评】 由于圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，因此涉及圆上的点的问题可转化为与圆的圆心及半径有关的问题来处理．变式训练
3.点A在圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上，它关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，求实数a的值．1.求圆心在直线5x－3y－8＝0上，且与两坐标轴都相切的圆的标准方程．解：法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∵圆与坐标轴相切，∴a＝±b，r＝|a|.
又∵圆心(a，b)在直线5x－3y－8＝0上，∴5a－3b＝8.所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.2.求证：无论实数m如何变化，点(4m，m)都在圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0之外．失误防范
用待定系数法求圆的方程时，要注意平面几何知识的性质应用，可以简化计算.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件47张PPT。2．2.2 直线与圆的位置关系第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：直线与圆的位置关系的判断及解决相切、相交的相关问题．
难点：直线与圆相切、相交时有关切线、弦长问题的解决方法．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系及判断210<＝>>＝<想一想
1.是否任意直线与圆的位置关系的判定都可以用几何法与代数法这两种方法？
提示：是．几何法与代数法是从不同的方面进行判断的，几何法侧重于“形”，代数法侧重于“数”．2.过平面内一点可作几条圆的切线？
提示：当点P在圆内时，切线不存在；当点P在圆上时，只能作一条圆的切线；当点P在圆外时，可作两条圆的切线．做一做
3.直线x＋y－2＝0与圆x2＋y2＝5的位置关系为________．答案：相交4.圆x2＋y2＋2x－8＝0被y轴截得的弦长为________．5.若直线mx－y＋2＝0与圆x2＋y2＝1相切，则实数m的值为________．6.若直线x＋y＋a＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1没有公共点，则a的取值范围为________．【名师点评】 有关直线与圆的位置关系的问题，一般采用几何法，用圆心到直线的距离与圆的半径比较大小加以判断，用判别式判断时运算量较大． (本题满分14分)求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程．【思路点拨】 由于直线过定点(1，－7)，故可设切点或直线的斜率，采用几何法或代数法求解．名师微博
这里k是两解，可不要舍弃噢！变式训练
3.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．失误防范
处理直线与圆的位置关系时，要注意应用平面几何知识来简化计算．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件54张PPT。2．2.3 圆与圆的位置关系第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：根据两圆的方程，判断两圆的位置关系．
难点：根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程．外离外切相交内切内含r1＋r2|r1－r2|想一想
1.两圆没有交点，一定外离吗？
提示：不一定．两圆内含时也没有交点．2.将两个相交的圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？
提示：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点，即两圆的公共弦所在的直线．做一做
3.圆x2＋y2＝4与圆(x－2)2＋y2＝3的位置关系为________．答案：相交4.圆(x＋1)2＋y2＝1与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝9的位置关系为________．答案：内切5.与圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：(x－3)3＋y2＝4都相切的直线共有________条．
解析：圆心C1(0，0)，半径r1＝1，C2(3，0)，r2＝2，|C1C2|＝3＝r1＋r2，∴两圆外切，∴公切线有3条．
答案：36.以(－2，0)为圆心，并与圆x2＋y2＝1相外切的圆的方程为________________．
答案：(x＋2)2＋y2＝1 a为何值时，两圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0.
(1)外切；(2)相交；(3)外离？【解】 将两圆方程写成标准方程：
C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4.
∴两圆的圆心和半径分别为
C1(a，－2)，r1＝3，C2(－1，a)，r2＝2.
设两圆的圆心距为d，则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2
＝2a2＋6a＋5.(1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，
此时a＝－5或a＝2.即当a＝－5或a＝2时，两圆外切．
(2)当1
此时－5(3)当d>5，即2a2＋6a＋5>25时，两圆外离，
此时a>2或a<－5.即当a>2或a<－5时，两圆外离．【名师点评】 (1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：
①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；
②计算两圆圆心的距离d；
③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法断定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．变式训练
1.已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系． 已知圆O1：x2＋y2＋2x＋6y＋9＝0和圆O2：x2＋y2－6x＋2y＋1＝0，求圆O1、圆O2的公切线方程．【名师点评】 (1)对于求切线问题，注意不要漏解，主要是根据几何图形来判断切线的条数．
(2)求公切线的一般步骤是：①判断公切线的条数；②设出公切线的方程；③利用切线性质建立所设字母的方程，求解字母的值；④验证特殊情况的直线是否为公切线；⑤归纳总结． (本题满分14分)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)求两圆公共弦的方程及其长度；
(2)求以两圆公共弦为直径的圆的方程．【思路点拨】 (1)先求出公共弦所在直线的方程，再利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形求解；(2)求出圆心、半径，也可用经过两圆交点的圆系方程求解．名师微博
两圆方程相减得公共弦的方程，你知道为什么吗？【名师点评】 涉及圆的弦问题，一般都考虑利用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形求解．而不采取求出弦的两端点坐标，然后利用两点间的距离求解．1.求圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程．解：联立两圆方程，解得两圆交点为A(－1，－1)，B(3，3)，则AB的中垂线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.与x－y－4＝0联立，解得圆心为C(3，－1)．
又半径r＝|CA|＝4，故圆方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16，即x2＋y2－6x＋2y－6＝0.2.已知实数x，y满足x2＋y2－2x＋4y－20＝0.求x2＋y2的最大值及最小值．方法技巧
1.判断两个圆的位置关系常用圆心距d与两圆半径的和、差比较大小．d＝R＋r时，两圆外切；d＝|R－r|时，两圆内切；d<|R－r|时，两圆内含；d>|R＋r|时，两圆外离；|R－r|?
2．3.1 空间直角坐标系
?
2．3.2 空间两点间的距离第2章 平面解析几何初步重点难点 重点：会建立空间直角坐标系，并能求出或画出某一点的坐标及应用空间
两点间的距离公式．
难点：根据所给空间图形的特征，建立适当的空间直角坐标系．1.空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：________________，这样就建立了一个空间直角坐标系________．x轴、y轴、z轴O-xyz②相关概念：点O叫做坐标原点，________________叫做坐标轴. 通过________________的平面叫做坐标平面，分别称为____平面、____平面、____平面．x轴、y轴、z轴每两个坐标轴xOyyOzzOxx轴y轴z轴2.空间一点的坐标
对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的____，即经过点A作三个平面分别____于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R.点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记为__________．射影垂直A(x，y，z)3.空间两点间的距离公式
一般地，空间中的任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离为P1P2＝ _____________________________________.想一想
1.在给定的空间直角坐标系下，空间中任意一点与有序实数组(x，y，z)之间是否存在惟一的对应关系？提示：是．在给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是惟一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有惟一的点与之对应．2.空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？
提示：适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．3.点(0，3，0)在平面xOz上射影点的坐标是________．
答案：(0，0，0)
4.点P(3，1，2)关于点Q(1，0，0)的对称点的坐标为________．
解析：画图在空间演示(图略)，也可用对称点公式：点(x1，y1，z1)关于点(x2，y2，z2)的对称点的坐标为(2x2－x1，2y2－y1，2z2－z1)．
答案：(－1，－1，－2)5.如图，点P′在x轴正半轴上，OP′＝2，P′P在xOz平面内，且垂直于x轴，P′P＝1，则点P的坐标为________．
答案：(2，0，1)6.点A(1，0，1)与点B(－1，1，－1)间的距离为________．答案：3②路径法：先从原点出发沿x轴的正方向(x＞0)或负方向(x＜0)移动|x|个单位，再沿y轴的正方向(y＞0)或负方向(y＜0)移动|y|个单位，最后沿z轴的正方向(z＞0)或负方向(z＜0)移动|z|个单位即可得到此点的坐标．变式训练
1.如图，OA，OB，OC两两互相垂直，OA＝OB＝OC＝2，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，试建立适当的空间直角坐标系，写出点A，B，C，D，E，F的坐标． 已知点P(2，3，－1)，求：
(1)点P关于各坐标平面对称的点的坐标；
(2)点P关于各坐标轴对称的点的坐标；
(3)点P关于坐标原点O对称的点的坐标．【解】 (1)设点P关于xOy坐标平面的对称点为P′，
则点P′在x轴上的坐标及在y轴上的坐标与点P的相应坐标相同，而点P′在z轴上的坐标与点P在z轴上的坐标互为相反数．所以，点P关于xOy坐标平面的对称点P′的坐标为(2，3，1)．同理，点P关于yOz，zOx坐标平面的对称点的坐标分别为(－2，3，－1)，(2，－3，－1)．
(2)设点P关于x轴的对称点为Q，则点Q在x轴上的坐标与点P的坐标相同，而点Q在y轴上的坐标及在z轴上的坐标与点P在y轴上的坐标及在z轴上的坐标互为相反数．所以，点P关于x轴的对称点Q的坐标为(2，－3，1)．变式训练
2.在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12.
所以P3(6，－3，－12)．【思路点拨】 解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标．名师微博
正确的列出表达式是解题的关键.【名师点评】 解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标．1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1，D1B1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E，F的坐标．2.在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使M到点N(6，5，1)的距离最小．3.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点，如图，建立空间直角坐标系．(1)在平面四边形ABB1A1内找一点P，使△ABP为正三角形；
(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．方法技巧
空间直角坐标系和平面直角坐标系有很多相似的地方，平面直角坐标系中的一些结论可以类比地在空间直角坐标系中得到：
(1)求空间直角坐标系中点的坐标时，可以由点向各坐标轴作垂线，垂足的坐标即为在该轴上的坐标．失误防范
把空间直角坐标系与平面直角坐标系类比，但要注意两者的相同与不同之处．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件55张PPT。本章优化总结第2章 平面解析几何初步【分析】 (1)直线l过点M，斜率变化时，可以理解为直线l绕定点M旋转，数形结合进行分析． 求过定点P(2，1)且与坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程．
【分析】 根据已知条件，可以使用直线的截距式，通过直线过定点和与坐标轴所围成的三角形面积列方程． a为何值时，
(1)直线x＋2ay－1＝0与直线(3a－1)x－ay－1＝0平行？
(2)直线ax＋(1－a)y＝3与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直？【分析】 所给直线方程是一般式，且直线斜率可能不存在时，利用l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0和l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0来判定两条直线是否垂直和平行，比用斜率来判定更简便，它不需要讨论斜率不存在的情况．判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程．【分析】 根据圆的对称性可知圆心在直线x＋2y＝0上，设出圆心坐标根据直线被圆所截得的弦长公式列方程．在两圆的位置关系中一般有两个主要问题．一个是判断两圆的位置关系，其关键就是抓住两圆的圆心和半径，根据圆心距和半径的和差大小关系作出判断；二是当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．【分析】 判断两圆的位置关系时，首先确定圆心之间的距离，其次确定半径之和或差，再分类比较，作出判断． 过圆C：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0外的点P(－1，2)的切线l的方程是________，若切点分别为A，B，则直线AB的方程是________．【分析】 对于第(1)问，点在圆外，不能根据圆的切线性质直接解答，可以设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径解决；对于第(2)问，点P，A，C，B四点共圆，AB为该圆与圆C的公共弦所在的直线．【答案】 y＝2或x＝－1 x＋y＝0在解析几何中，经常遇到对称问题，本章的对称主要有以下四种：
(1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)．
(2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4，5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程． 若x，y满足x2＋y2－6x－4y＋12＝0，求x2＋y2的最值．
【分析】 若令P(x，y)，且点P(x，y)在圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0上运动，则已知条件都有了几何背景，而x2＋y2可变形为(x－0)2＋(y－0)2，看作是点P到原点O的距离的平方，所以只要求出PO2的最大值、最小值即可．1.已知直线x＋ay＝2a＋2与直线ax＋y＝a＋1平行，则a的值为________．答案：12.圆P：x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差为________．3.(2012·台州中学高二期末)曲线x2＋y2＝2|x|＋2|y|所围成的面积是________．解析：作出图象如图，此曲线在直角坐标系内所围成的图形在每个象限的面积相等且为π＋2，所以S＝4×(π＋2)＝4π＋8.答案：4π＋84.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)的图形是圆．
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放课件9张PPT。第2章 平面解析几何初步第2章 平面解析几何初步本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放