数学高中苏教版选修（2-2）1.1《导数的概念》课件

课件49张PPT。1.1.1变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化导数研究的问题 的快慢程度．变化率问题微积分主要与四类问题的处理相关:一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;
二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值;
四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数学的角度, 如何描述这种现象呢? 气球的体积V(单位:L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是若将半径 r 表示为体积V的函数, 那么当空气容量V从0L增加到1L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2 L , 气球半径增加了气球的平均膨胀率为 随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2 高台跳水 在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度 h (单位:m)与起跳后的时间 t (单位:s) 存在函数关系 如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运动状态, 那么:在0 ≤ t ≤0.5这段时间里,在1≤ t ≤2这段时间里, 计算运动员在 这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:探
究:(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?思考?当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?定义:平均变化率: 式子 称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率.令△x = x2 – x1 , △ y= f (x2) – f (x1) ,则理解：
1，式子中△x 、△ y的值可正、可负，但的△x值不能为0， △ y的值可以为0
2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3, 变式 思考?观察函数f(x)的图象
平均变化率
表示什么?OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1f(x2)-f(x1)直线AB的斜率练习: 1.甲用5年时间挣到10万元, 乙用5个月时间挣到2万元, 如何比较和评价甲、乙两人的经营成果? 2.已知函数 f (x) = 2 x +1, g (x) = – 2 x, 分别计算在下列区间上 f (x) 及 g (x) 的平均变化率.(1) [ –3 , –1] ; (2) [ 0 , 5 ] .做两个题吧!1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( )
A 3 B 3Δx-(Δx)2
C 3-(Δx)2 D 3-Δx D2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。
2x0+Δx 小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
一、复习1.平均变化率:平均变化率的几何意义:
割线的斜率理解：
1，式子中△x 、△ y的值可正、可负，但的△x值不能为0， △ y的值可以为0
2，若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3, 变式求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
1.1.2 导数的概念在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.又如何求
瞬时速度呢?
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?求：从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度当△t = – 0.01时,当△t = 0.01时,当△t = – 0.001时,当△t =0.001时,当△t = –0.0001时,当△t =0.0001时,△t = – 0.00001,△t = 0.00001,△t = – 0.000001,△t =0.000001,………… 平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢? 当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边, 还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近与一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度. 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1.表示“当t =2, △t趋近于0时, 平均速度 趋近于确定值– 13.1”.从2s到(2+△t)s这段时间内平均速度探
究:1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?
2.函数f (x)在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示?定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即定义:函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作或 , 即由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:求函数的改变量
2. 求平均变化率
3. 求值口诀：一差、二化、三极限 题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义.解: 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是和根据导数的定义,所以,同理可得 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为–3和5. 它说明在第2h附近, 原油温度大约以3 / h的速率下降; 在第6h附近,原油温度大约以5 / h的速率上升. 应用： 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果第 x h时, 原油的温度(单位: )为 f (x) = x2 – 7x+15 ( 0≤x≤8 ) . 计算第2h和第6h, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 练习: 计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率, 并说明它们的意义.练习：2 .已知解:课后思考题：12.函数f(x)=|x|在点x0=0处是否有导数？若有，求出来
若没有，请说明理由.第一章 导数及其应用1.1.3
导数的几何意义P相切相交再来一次直线PQ的斜率为PQ无限靠近切线PT相应的 ,
y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．例1、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况。解：我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线，
刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的
变化情况。 当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行
于x轴. 所以,在t=t0附近曲线比较平坦,
几乎没有下降. 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率
h′(t1)<0. 所以,在t=t1附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率
h′(t2)<0. 所以,在t=t2附近曲线下降,
即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些.例2、如图，它表示人体血管中药物浓度c=f(t)(单位：mg/mL)随时间t(单位：min)变化的函数图象。根据图象，估计t=
0.5,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)00.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.80.20.10.40.60.51.10.70.31.00.90.8t(min)c(mg/mL)解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化
率，就是药物浓度f(t)在此时刻的导数。作t=0.5处的切线,它的斜率约为0所以,作t=0.8处的切线,它的斜率约为-1.5所以,因此在t=0.5和0.8处药物浓度的瞬时
变化率分别为0和-1.5.

求函数y=f(x)在点x0处的导数的方法是： (2)求平均变化率(3)取极限,得导数(1)求函数的增量回顾例3、某物体的运动方程为s(t)=5t2
（位移单位：m，时间单位：s）
求它在 t＝2s 时的速度.解: 因为从而所以例4、已知曲线 　 上一点 　
求：点P处的切线的斜率；
点P处的的切线方程． 解: 点P处的切线的斜率即
在x=2处的导数.因为从而所以点P处的的切线方程点P处的切线的斜率是4.即直线练习1、求曲线 在点M(3,3)处的
切线的斜率及倾斜角．斜率为-1,倾斜角为135°有,切线的方程为注: 学了导数的运算后,
此类题有更简单的解法.如果将x0改为x,则求得的是被称为函数y=f(x)的导函数.如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每点处都有导数，此时对于每一个x∈(a,b)，都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 。称这个函数 为函数y=f(x)在开区间内的导函数，简称导数，也可记作 ，即＝＝小 结:相应的 ,
y=f(x)在点P( x0,f(x0) )处的切线方程为：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率．再见