数学高中苏教版选修（2-2）1.3《导数在研究函数中的应用》课件3

课件56张PPT。导数在研究函数中的应用1.3.1 函数的单调性与导数问题1：函数单调性的定义 是什么?1.一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于这个个区间内任意两个自变量的值x1，x2，当x1f (x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.2、由定义证明函数的单调性的一般步骤： (1)设x1、 x2是给定区间的任意两个值，且x1< x2； (2)作差f(x1)－f(x2)，并变形； (3)判断差的符号，从而得函数的单调性。问题2:如何判断或证明其在定义域内的单调性?问题情境上述证明中实质上体现了下述问题：问题:导数大于0（或小于0）与函数单调增（减）是否有密切的关系呢? x1-x2＜0
f(x1)－f(x2) ＜0 x1-x2＜0
f(x1)－f(x2) >0f(x)单调增f(x)单调减下面我们通过函数y=x2－4x＋3
的图象来考察一下：观察函数y=x2－4x＋3的图象：2.......K<0K=0K>0 思考:从图像中你发现了什么?
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：增函数减函数正负＞0＜0oxyabcd推广到一般情况结论： 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内f′(x) >0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内f′(x) <0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数. (1)函数y=f(x)在区间I内单调增 f′(x) >0思考:下列命题正确吗? (用I表示某个区间)(2)在区间I内f′(x) ≥ 0 函数y=f(x)在I内单调增 (1)函数y=f(x)在区间I内单调增 f′(x) ≥0不能不能例题分析例1 (1) 确定函数f(x)=x2－4x+3在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.(2) 确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间
内是增函数，哪个区间内是减函数.解:f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，
f(x)是增函数.
当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，
f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.
∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.解题小结：如何用导数判断单调性、求单调区间？ 用导数法确定函数的单调性时的步骤是：注：单调区间不以“并集”出现。 （2）求出函数f(x)的导函数（3）在定义域内求解不等式f ′(x)>0，求得其解 集，再根据解集写出单调递增区间（4）在定义域内求解不等式f ′(x)<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间（1）确定函数f(x)的定义域思考:如何用导数证明函数在某个区间上的单调性呢?例2 试确定函数f（x）= +sinx，x?[0,2?]的单调减区间.例3 求证函数f(x)=x+ （0， 1 ）为单调减函数.感受与理解1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1) (B) (1,2)
(C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( )，
则a的取值范围为( )
(A) a>0 (B) –11 (D) 0单调递增函数
单调递减函数
(C) 部分单调增，部分单调减
(D) 单调性不能确定 AAB4.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间上是增函数 （ ）
A（π/2，3π/2） B（2π，3π）
C（3π/2，5π/2）D（π，2π）5．确定下列函数的单调区间
(1)y=x3－9x2+24x (2)y=x－x3
(3)y=ex-x+1D课堂小结(1)这节课你懂了什么知识?
(2)用你所学知识能解决哪些类型的问题?
(3)解题中有失误吗,什么地方值得你注意？1.3.2 利用导数研究函数的极值f '(x)>0f '(x)<01.定义:一般地,设函数y=f(x)在某个区间（a，b）内有导数,如果在 这个区间内f ′ (x) >0,那么函数y=f(x) 为这个区间内的增函数;如果在这个区间内f ′ (x) <0,那么函数y=f(x) 为这个区间内的减函数.一、复习回顾:如果在某个区间内恒有 ,则 为常数函数.2.求函数单调区间的一般步骤①求函数的定义域; ②求函数的导数 f ′(x) ; ③解不等式 f ′(x) >0 得f(x)的
单调递增区间;
解不等式 f ′(x) <0 得f(x)的
单调递减区间.关注用导数本质及其几何意义解决问题 3.思考： 观察下图，当t=t0时距地面的高度最大,那么函数 h（t）在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？二、新课讲解——函数的极值: 1. 观察：右下图为函数y=2x3-6x2+7的
图象,从图象我们可以看出什么？ 函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。已知函数y=f(x)，设x0是定义域（a,b)内任一点
(1)如果对x0附近的所有点x,都有f(x0) >f(x),则称 f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值.记作:y极大=f(x0)2.函数极值的定义(2)如果对x0附近的所有点x,都有f(x0) 极大值点与极小值点统称为极值点.3. 思考： 观察下述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.(1)极值是一个局部概念
(2)极值点是自变量的值，极值指的是函数值;
(3)函数的极大(小)值不是唯一的.
(4)函数的极大值与极小值之间无法确定大小;(5)函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。思考：极值与最值的区别?4.极值的几点说明(6)当可导函数f(x)在某区间上有有限极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.5.函数的极值与导数的关系(1)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)>0
右侧f /(x)<0, 那么f(x0)是极大值（左正右负）(2)如果f /(x0)=0, 并且在x0附近的左侧 f /(x)<0
右侧f /(x)>0, 那么f(x0)是极小值（左负右正） 从曲线的切线角度看,如果曲线在极值点处有切线，那么曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点处切线的斜率左侧为正,右侧为负;曲线在极小值点处切线的斜率左侧为负,右侧为正.结合导数的几何意义思考探索思考: 导数值为0的点一定是函数的极值点吗? 可导函数的极值点一定是它导数为零的点,反之函数的导数为零的点,不一定是该函数的
极值点.思考：y=x3在x=0处的导数？三、例题精讲:例1.解:令 ,解得x1=-2,x2=2.当x变化时, ,y的变化情况如下表:因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大=28/3;
当x=2时有极小值,并且,y极小=- 4/3.
(1)确定函数的定义域
(2)求导函数f `(x)；
(3)求解方程f `(x)=0；
(4)检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右的
符号，并根据符号确定极大值与极小值. 小结:用导数法求解函数极值的步骤： 故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;
当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.例2:求函数 的极值.解:函数的定义域为令 ,解得x1=-a,x2=a(a>0).当x变化时, ,f(x)的变化情况如下表:练习:求函数 的极值.解:令 =0,解得x1=-1,x2=1.当x变化时, ,y的变化情况如下表:因此,当x=-1时有极小值,并且y极小=-3;
当x=1时有极大值,并且y极大=3.例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,
求a、b的值.
(2)若 ,函数f(x)图象上的任意一点的切线斜
率为k, 若k≥-1恒成立，试求a的取值范围 . 解:(1)由
得x=0或x=2a/3.故2a/3=4,a=6.由于当x<0时, 当x>0时,
故当x=0时,f(x)有极小值f(0)=b,所以b=-1.(2)等价于当 时,-3x2+2ax≥-1恒成立,
即g(x)=3x2-2ax-1≤0对一切 恒成立.由于g(0)=-1≤0,
结合图像知只需g(1)=2-2a≤0,即a≥1.例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1处有极值,且极大值
为4,极小值为0.试确定a,b,c的值.解:由题意, 应有根 ,故5a=3b,于是:(1)设a>0,列表如下:由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)设a<0,列表如下:由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2.四、课堂总结2.若函数f(x)可导,判别f(x0)是极大(小)值的方法是: (1) 如果在x0附近的左侧 右侧
那么f(x0)是极大值; (2) 如果在x0附近的左侧 右侧
那么,f(x0)是极小值.
(1)确定函数的定义域
(2)求导函数f `(x)；
(3)求解方程f `(x)=0；
(4)检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右的
符号，并根据符号确定极大值与极小值. 1.用导数法求解函数极值的步骤： (1.3.3) 函数的最大(小)值与导数 一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值。
极大值与极小值统称为极值. 函数极值的定义——复习: 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的左侧附近f’(x)<0，在x0右侧附近f’(x)>0，那么是f(x0)函数f(x)的一个极小值. 如果x0是f’(x)=0的一个根，并且在x0的
左侧附近f’(x)>0，在x0右侧附近f’(x)<0，
那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值
(1)?求导函数f `(x)；
(2)?求解方程f `(x)=0；
(3) 列表: 检查f `(x)在方程f `(x)=0的根的左右的符号，并根据符号确定极大值与极小值.口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。 用导数法求解函数极值的步骤： 在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题. 函数最值问题.极值反映的是函数在某一点附近的局部
性质,而不是函数在整个定义域内的性质。极大值点 ，极小值点你能说出函数的最大值点和最小值点吗？最大值点 ：a ，最小值点：d观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值点，极小值点吗？最小值是f (b).单调函数的最大值和最小值容易被找到。函数y=f(x)在区间[a,b]上最大值是f (a),1)在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题. 2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则它必有最大值和最小值.oxyaboxyaboxyaboxyaby=f(x)y=f(x)y=f(x)y=f(x)在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值,
在开区间内的连续函数不一定有最大值与
最小值.导数的应用之三、求函数最值. (2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处)
比较,其中最大的一个为最大值，最小的
一个最小值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值，最小值。例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0,3]上的
最大值，最小值。解：由上节课的例4知，在[0,3]上， 当x=2时， f(x)=x3-12x+12有极小值，并且极小值为f (2)=-4.又由于f (0)=12,f (3)=3,因此，函数 f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的
最大值为12，最小值为-4。例2、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内
的最大值和最小值 法一 、 将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函数单调性处理
例2 求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，5]内的极值与最值 故函数f(x) 在区间[1，5]内的极小值为3，最大值为11，最小值为2 解法二、 f ’(x)=2x-4令f ’(x)=0，即2x-4=0，得x=2-+3112例3、已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a;
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20，
求它在该区间上的最小值。令 <0,解得x<-1或x>3解: (1) =-3x2+6x+9函数f(x)的单调递减区间为
(-∞,-1) ,(3,+∞)(2) ∵f(-2)=8+12-18+a=2+af(2)=-8+12+18+a=22+a∴f(2)>f(-2)于是有22+a=20,解得a=-2∴f(x)=-x3+3x2+9x-2∴f(x)在[-1,2]上单调递增∴在(-1,3)上 >0, 又由于f(x)在[-2,-1]上单调递减，即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。∴ f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的
最大值和最小值。∴f(-1)=1+3-9-2=-7,例4、证明：当x>0时，x>ln(1+x)解：设f(x)=x-ln(1+x).即x>ln(1+x).又因为f(x)在x=0处连续，所以f(x)在x≥0上单调递增，从而当x>0时，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0例5、求证证明：设在x=1附近 由负到正令 =0,解得x=1,当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值所以当x>0时，f(x) ≥f(1)=0从而小 结:①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值
(极大值与极小值); ②将函数y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)（即端点的函数值）作比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下