北师大版九年级下册 3.6直线和圆的位置关系课件（共40张PPT）

(共40张PPT)
第三章 圆
6 直线和圆的位置关系
同学们，在我们的生活中到处都蕴含着数学知识，下面老师请同学们欣赏美丽的图片.
从海上日出这种自然现象中可以抽象出哪些基本的几何图形呢？
请同学们利用手中的工具再现海上日出的整个情景.
在再现过程中，你认为直线与圆的位置关系可以分为哪几类？
你分类的依据是什么？
（地平线）
a（地平线）
●O
●O
●O
（2）直线和圆有唯一个公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点.
（1）直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交，这条直线叫圆的割线，这两个公共点叫交点.
（3）直线和圆没有公共点，叫做直线和圆相离.
一、直线与圆的位置关系（用公共点的个数来区分）
相交
相切
相离
上述变化过程中，除了公共点的个数发生了变化，还有什么量在改变？你能否用数量关系来判断直线与圆的位置关系？
1. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离.
2. 连接直线外一点与直线所有点的线段中，最短的是垂线段.
相关知识点回忆
直线和圆相交
d直线和圆相切
d=r
直线和圆相离
d>r
r
d
∟
r
d
∟
r
d
二、直线和圆的位置关系（用圆心到直线 l 的距离 d 与圆的半径 r 的关系来区分）
观察太阳落山的照片，在太阳落山的过程中，太阳与地平线（直线 a）经历了哪些位置关系的变化？
a（地平线）
1. 已知圆的直径为 13 cm，设直线和圆心的距离为 d：
（1）若 d=4.5 cm，则直线与圆　　　 ，直线与圆有____个公共点；
（2）若 d=6.5 cm，则直线与圆　　　 ，直线与圆有____个公共点；
（3）若 d=8 cm，则直线与圆　　　 ，直线与圆有____个公共点.
相交
相切
相离
2
1
0
2. 已知 ⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 与直线 AB 的距离为 d，根据下列条件填写 d 的取值范围：
（1）若 AB 和 ⊙O 相离，则 ；
（2）若 AB 和 ⊙O 相切，则 ；
（3）若 AB 和 ⊙O 相交，则 .
d > 5 cm
d = 5 cm
0 cm≤d < 5 cm
例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？为什么？
（1）r=2 cm；
（2）r=2.4 cm；
（3）r=3 cm．
B
C
A
4
3
D
d
分析：要了解 AB 与 ⊙C 的位置关系，只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的关系．已知 r，只需求出 C 到 AB 的距离 d.
解：过点 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.
在 △ABC 中，AB= 5.
根据三角形的面积公式知，
，
所以 .
即圆心 C 到 AB 的距离 d=2.4 cm.
（1）当 r=2 cm 时，有 d>r，
所以 ⊙C 和 AB 相离.
（2）当 r=2.4 cm 时，有 d=r，
所以⊙C 和 AB 相切.
（3）当 r=3 cm 时，有 d所以 ⊙C 和 AB 相交.
已知 ⊙O 的半径 r=7 cm，直线 l1 // l2，且 l1 与 ⊙O 相切，圆心 O 到 l2 的距离为 9 cm，求 l1 与 l2 的距离 m.
判断直线与圆的位置关系的方法有____种：
（1）根据定义，由__________________的个数来判断；
（2）根据性质，由_____________________
__________的关系来判断.
在实际应用中，常采用第二种方法判断.
两
直线与圆的公共点
圆心到直线的距离 d
与半径 r
第三章 圆
6 直线和圆的位置关系（第2课时）
回顾旧知
直线与圆的位置关系量化
直线和圆相交
d r
d r
直线和圆相切
直线和圆相离
d r
<
=
>
相离
相切
相交
情境引入
动手操作：在 ⊙O 中任取一点 A，连接 OA，过点 A 作直线 l⊥OA .
思 考：（可与同伴交流）
（1）圆心 O 到直线 l 的距离和圆的半径由什么关系？
（2）直线 l 与 ⊙O 的位置有什么关系？根据什么？
（3）由此你发现了什么？
直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂
直这条半径的直线是圆的切线. 如图，半径 OA⊥直
线 l，直线 l 为 ⊙O 的切线．
特征①：直线 l 经过半径 OA 的外端点 A.
特征②：直线 l 垂直于半径 OA.
d = r
相切
感悟新知
圆的切线的判定方法：
（1）概念：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线．
（2）数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆
的切线．
（3）判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径
的直线是圆的切线．
总结归纳
例 1 如图， A 是 ⊙O 外一点，AO 的延长线交
⊙O 于点 C， 点 B 在圆上，且 AB=BC，∠A =
30°. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
证明：连接 OB.
∵OB=OC，AB=BC，∠A=30°，
∴∠OBC=∠C=∠A=30°，
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°.
∵∠ABO=180°-（∠AOB+∠A）=180°-
（ 60°+30°）=90°，
∴AB⊥OB，
∴AB 为 ⊙O 的切线（经过半径的外端并且
垂直这条半径的直线是圆的切线）.
练习
如图，已知 OA=OB=5，AB=8，⊙O 的直径为 6.
求证：AB 与 ⊙O 相切.
证明：过点 O 作 OC⊥AB.
∵OA=OB=5，AB=8，∴AC=BC=4.
∴在 Rt△AOC 中，OC=3.
又∵⊙O 的直径为 6，
∴OC=半径 r，
∴直线 AB 是⊙O 的切线.
有交点，连半径，证垂直；
无交点，作垂直，证 d=r.
实际应用
例 2 如图，台风中心 P（100，200）沿北偏东 30°方向移动，受台风影响区域的半径为 200 km，那么下列城市 A（200，380），B（600，480），C（550，300），D（370，540），哪些受到这次台风的影响，哪些不受到这次台风的影响？
合作学习
已知直线 AT 切 ⊙O 于点 A（切点），连接 OA，
则 OA 是半径. 问：
① OA 与 AT 垂直吗？
②过点 A 作 AT 的垂线，垂线过点 O 吗？
解：①经过切点的半径垂直于圆的切线.
②经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
圆的切线的性质：
经过切点的半径垂直于圆的切线．
拓展：
（1）切线和圆只有一个公共点．
（2）圆心到切线的距离等于半径．
（3）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点．
（4）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心．
总结归纳
例 3 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径. 如图， 用角尺的较短边紧靠 ⊙O 于点 A，并使较长边与 ⊙O 相切于点 C，记角尺的直角顶点为 B，量得 AB=8 cm，BC=16 cm. 求 ⊙O 的半径.
连接过切点的半径是常用的辅助线.
O
A
B
C
D
解：连接 OA，OC，过点 A 作 AD⊥OC 于点 D.
∵⊙O 与 BC 相切于点 C，∴OC⊥BC.
∵AB⊥BC，AD⊥OC，
∴四边形 ABCD 是矩形，
∴AD=BC，OD=OC-CD=OC-AB.
在 Rt△ADO 中，OA2 =AD2 +OD2，
即 r2 =（r-8）2 +162，解得 r=20.
∴ ⊙O 的半径为 20 cm.
例 4 如图，直线 AB 与 ⊙O 相切于点 C，AO 交⊙O 于点 D，连接 CD，OC.
求证：∠ACD = ∠COD.
证明：如图，作 OE丄CD 于点 E，
则∠COE+ ∠OCE= 90°.
∵⊙O 与 AB 相切于点 C，
∴OC丄AB（经过切点的半径垂直于圆的切线），
即∠ACD+ ∠OCE= 90°.
∴∠ACD= ∠COE.
∵△ODC 是等腰三角形，OE⊥CD，
∴ ∠COE= ∠COD， ∴∠ACD= ∠COD.
1. 切线的判定定理.
2. 判定一条直线是圆的切线的方法：
（1）定义：直线和圆有唯一公共点.
（2）数量关系：直线到圆心的距离等于半径.
（3）判定定理：经过半径的外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线.
课堂小结
3. 辅助线作法：
（1）有公共点：作半径证垂直.
（2）无公共点：作垂直证半径.
4. 切线的性质：
（1）经过切点的半径垂直于圆的切线.
（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
5. 切线性质的运用：
常用的辅助线是连接半径.
综合性较强，要联系许多其他图形的性质．
1. 如图，在等腰直角三角形 ABC 中，AB=AC= 4，点O 为 BC 的中点，以 O 为圆心作半圆 O 交 BC 于点 M，N，半圆 O 与 AB，AC 相切，切点分别为 D，E，则半圆 O 的半径和∠MND 的度数分别为（　　）
A．2；22.5°
B．3；30°
C．3；22.5°
D．2；30°
课堂测试
2. 如图，由正方形 ABCD 的顶点 A 引一条直线分别交 BD，CD 及 BC 的延长线于点 E，F，G， ⊙O 是△CGF 的外接圆.
求证：CE 是 ⊙O 的切线.
3. 如图，直线 AB 与 ⊙O 相切于点 C，射线 AO交 ⊙O 于点 D，E，连接 CD，CE. 找出图中的一对相似三角形，并说明理由. 若 AC=4 cm，⊙O 的半径为 3 cm，能否求出图中其他线段的长度？