6.3平面向量线性运算的应用 学案
文档属性
| 名称 | 6.3平面向量线性运算的应用 学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 64.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-17 00:41:58 | ||
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文档简介
平面向量线性运算的应用
【学习目标】
1．能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
2．熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用.
【学习重难点】
用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
【学习过程】
1．用向量解决平面几何问题
【例1】 如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
（1）求AO∶OF与CO∶OE的值；
（2）证明AF，BD，CE交于一点O.
（1）解 因为＝＋＝＋，
又因为E，F都是中点，所以
＋＝＋＝2＋2＝2.
另外，＝＋，所以＋＝2＋2.
设＝s，＝t，
则有s－t＝2＋2，即
(s－2)＝(t－2).
从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1．
（2）证明 要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可.
由（1）可知，＝＋，
＝＋＝＋＝－
＝－＝(＋)，
又＝(＋)，∴∥，又与有公共点B，
∴B，O，D三点共线，
故AF，BD，CE交于一点.
【规律方法】利用向量线性运算解决几何问题的思路：
（1）把几何元素化为向量；
（2）进行向量的线性运算；
（3）把结果翻译成几何问题.
2．用向量坐标解决平面几何问题
【例2】 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a).
设||＝λ(λ>0)，
则F，P，
E.
所以＝，
＝，
因为||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，
||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，
所以||＝||，即PA＝EF.
【规律方法】用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现.利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键.
3．平面向量在物理中的应用
【例3】 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)
解 设A，B处所受力分别为f1，f2，10 N的重力用f表示，则f1＋f2＋f＝0.
以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则＝－f2，＝－f1，＝f.
∠ECW＝180°－150°＝30°，
∠FCW＝180°－120°＝60°，
∠FCE＝90°，
∴四边形CEWF为矩形.
∴||＝||cos 30°＝5，
||＝||cos 60°＝5．
即A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N.
【规律方法】由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决.
【学习小结】
1．向量在平面几何中的应用
在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用.实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题.
证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0) a＝λb x1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).
2．向量在物理中的应用
我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成.
（1）力、速度、位移的合成就是向量的加法，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
（2）力、速度、位移的分解就是向量的减法，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则.
（3）动量mv就是数乘向量，符合数乘向量的运算律.
【精炼反馈】
1．已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A．(9，1) B．(1，9)
C．(9，0) D．(0，9)
解析 f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
设合力f的终点为P(x，y)，则
＝＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1).
答案 A
2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析 由||2＝16，得||＝4，
|＋|＝|－|＝||＝4，
而|＋|＝2||，故||＝2，故选C．
答案 C
3．若＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为________.
解析 ∵F1＋F2＝(0，5)，∴|F1＋F2|＝＝5．
答案 5
4．如图，已知点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
求证：点E，O，F在同一直线上.
证明 设＝m，＝n，由＝＝，
知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴＝＋＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋＝(m＋n)－m
＝m＋n.∴＝.
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
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【学习目标】
1．能用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
2．熟悉平面向量的线性运算在物理中的应用.
【学习重难点】
用平面向量线性运算解决平面几何中的问题.
【学习过程】
1．用向量解决平面几何问题
【例1】 如图所示，已知△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，AF与CE相交于点O.
（1）求AO∶OF与CO∶OE的值；
（2）证明AF，BD，CE交于一点O.
（1）解 因为＝＋＝＋，
又因为E，F都是中点，所以
＋＝＋＝2＋2＝2.
另外，＝＋，所以＋＝2＋2.
设＝s，＝t，
则有s－t＝2＋2，即
(s－2)＝(t－2).
从而由共线向量基本定理可知s＝t＝2，
因此AO∶OF＝CO∶OE＝2∶1．
（2）证明 要证明AF，BD，CE交于一点O，只需证明B，O，D三点共线即可.
由（1）可知，＝＋，
＝＋＝＋＝－
＝－＝(＋)，
又＝(＋)，∴∥，又与有公共点B，
∴B，O，D三点共线，
故AF，BD，CE交于一点.
【规律方法】利用向量线性运算解决几何问题的思路：
（1）把几何元素化为向量；
（2）进行向量的线性运算；
（3）把结果翻译成几何问题.
2．用向量坐标解决平面几何问题
【例2】 如图所示，在正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，PECF是矩形，用向量方法证明PA＝EF.
证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为a，则A(0，a).
设||＝λ(λ>0)，
则F，P，
E.
所以＝，
＝，
因为||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，
||2＝＋＝λ2－aλ＋a2，
所以||＝||，即PA＝EF.
【规律方法】用坐标表示平面向量可将几何问题转化为代数问题，通过向量的坐标运算使问题得到解决，这是数形结合思想的重要体现.利用向量坐标法选取适当的位置建立坐标系是关键.
3．平面向量在物理中的应用
【例3】 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子重量)
解 设A，B处所受力分别为f1，f2，10 N的重力用f表示，则f1＋f2＋f＝0.
以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则＝－f2，＝－f1，＝f.
∠ECW＝180°－150°＝30°，
∠FCW＝180°－120°＝60°，
∠FCE＝90°，
∴四边形CEWF为矩形.
∴||＝||cos 30°＝5，
||＝||cos 60°＝5．
即A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N.
【规律方法】由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决.
【学习小结】
1．向量在平面几何中的应用
在学习向量及其运算时，我们已经看到向量在三角形、平行四边形等平面几何中的应用.实际上，利用平面向量可以很好地描述有关全等、相似、平行等关系，从而可以求解和证明平面几何问题.
证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0) a＝λb x1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).
2．向量在物理中的应用
我们在物理中已经学习过，利用向量可以描述物理学中的位移、力、速度、加速度等，因此，在涉及这些量的运算时，我们都可以借助向量来完成.
（1）力、速度、位移的合成就是向量的加法，符合向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
（2）力、速度、位移的分解就是向量的减法，符合向量减法的三角形法则和平行四边形法则.
（3）动量mv就是数乘向量，符合数乘向量的运算律.
【精炼反馈】
1．已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)，且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )
A．(9，1) B．(1，9)
C．(9，0) D．(0，9)
解析 f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，
设合力f的终点为P(x，y)，则
＝＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1).
答案 A
2．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．8 B．4
C．2 D．1
解析 由||2＝16，得||＝4，
|＋|＝|－|＝||＝4，
而|＋|＝2||，故||＝2，故选C．
答案 C
3．若＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示力F1，F2，则|F1＋F2|为________.
解析 ∵F1＋F2＝(0，5)，∴|F1＋F2|＝＝5．
答案 5
4．如图，已知点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
求证：点E，O，F在同一直线上.
证明 设＝m，＝n，由＝＝，
知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴＝＋＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋＝(m＋n)－m
＝m＋n.∴＝.
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上.
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