湘教版数学七年级下册 1.3二元一次方程组的应用教案（含2课时）

1．3　二元一次方程组的应用
第1课时　用二元一次方程组解决简单的实际问题
【教学目标】
1．通过实际问题使学生感受二元一次方程组的广泛应用，体会列二元一次方程组是解决某些实际问题的一种有效的数学模型，增强应用意识；
2．能够由题意找出等量关系，列出二元一次方程组并检验所得结果是否符合实际意义．
【教学重难点】
重点：把应用问题转化为数学问题的过程，即对实际问题的数学模型的建立．
难点：在实践探索中寻找解题方案．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”
你知道这四句话的意思吗？你能应用所学知识解决这个问题吗？
分析：本题涉及的等量关系有：
鸡头数＋兔头数＝________
鸡的腿数＋兔子的腿数＝________
解：设鸡有x只，兔子有y只，
根据等量关系，得解得
答：笼中有23只鸡，12只兔．
教学说明
通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣．
【思考探究，获取新知】
1．某业余运动员针对自行车和长跑项目进行专项训练，某次训练中，他骑自行车的平均速度为10米每秒，跑步的平均速度为米每秒，自行车路段和长跑路程共5千米，共用时15分钟，求自行车路段和长跑路段的长度．
分析：本题涉及的等量关系有：
自行车路段长度＋长跑路段长度＝总路程．
骑自行车的时间＋长跑时间＝总时间．
解：设自行车路段的长度为x m，长跑路段长度为y m，
依题意得：解得
答：自行车路段和长跑路段的长度分别为3 000米、2 000米．
2．某食品厂要配制含蛋白质15%的食品100千克，现在有含蛋白质分别为20%、12%的甲、乙两种配料，用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？
分析：本问题涉及的等量关系有：
甲配料质量＋乙配料质量＝总质量，
甲配料含蛋白质质量＋乙配料含蛋白质质量＝总蛋白质质量．
解：设含蛋白质20%的配料需要x kg，含蛋白质12%的配料需要y kg，
依题意，得
解得
答：可以配制出所要的食品，其中20%的配料需要37.5千克，12%的配料需要62.5千克．
3．根据上面的两个例题，你能总结用二元一次方程组解决实际问题的步骤吗？
归纳结论
用二元一次方程组解实际问题的步骤：
(1)审题，分析题目中的已知与未知；
(2)找出等量关系；
(3)设未知数列方程组；
(4)求解方程组；
(5)检验；
(6)写出答案．
教学说明
感受方程模型思想的必要性和优越性，并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性．
【运用新知，深化理解】
1．如图：用8块相同的长方形拼成一个宽为48厘米的大长方形，每块小长方形的长和宽分别是多少？
解：设小长方形的长是x厘米，宽是y厘米．
依题意得解得
答：小长方形的长是36厘米，宽是12厘米．
2．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？
解：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，
依题意，得解得
答：订做的工作服是3375套，要求的期限是18天．
3．某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元．
(1)求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？
(2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售(不足100元不返券，购物券全场通用)，但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
解：设书包的单价为x元，随身听的单价为y元，
根据题意，得
解这个方程组，得
答：该同学看中的随身听单价为360元，书包单价为92元．
(2)在超市A购买随身听与书包各一件需花费现金：452×80%＝361.6(元)．
因为361.6＜400，所以可以选择超市A购买．
在超市B可先花费现金360元购买随身听，再利用得到的90元返券，加上2元现金购买书包，总计共需花费现金：360＋2＝362(元)．
因为362＜400，所以也可以选择在超市B购买．
因为362＞361.6，所以在超市A购买更省钱．
【师生互动，课堂小结】
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
【课后作业】
1．布置作业：教材第18页“习题1.3”中第1、2、3、4、5题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
第2课时　用二元一次方程组解决较复杂的实际问题
【教学目标】
1．通过对实际问题的探索与解决，逐步形成结合具体事例情境发现、提出数学问题的能力；
2．学会用二元一次方程组解决简单的实际问题．
【教学重难点】
重点：1.学生积极参与讨论和探究问题；
2．抽象出数学模型．
难点：用二元一次方程组解决较复杂的实际问题．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
通过前面的学习，你能说出列二元一次方程组解决实际问题的步骤吗？其中什么是关键？
教学说明
采用提问的形式，让学生对列二元一次方程组解决实际问题的步骤的复习，为本节课作铺垫．
【思考探究，获取新知】
1．小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需要10 min，从学校到家里需15 min.问小华家离学校多远？
探究：(1)你能画线段表示本题的数量关系吗？
(2)列方程组；(在课本第16页填空)
(3)解方程组；
(4)检验写出答案．
讨论：本题是否还有其它解法？
2．某城市规定：出租车起步价所包含的路程为0至3千米，超过3千米的部分按每千米另收费，甲说“我乘这种出租车走了11千米，付了17元．”乙说“我乘这种出租车走了23千米，付了35元．”请你算一算：出租车的起步价是多少？超过3千米后，每千米的车费是多少元？
解：设出租车的起步价x元，超过3km后每千米收费y元，依题意，得
根据题意，得
解这个方程组，得
答：这种出租车的起步价是5元，超过3千米后每千米1.5元．
3．某装订车间的工人要将一批书打包后送往邮局，其中每包书的数目相等，第一次它们领来这批书的，结果打了14个包还多35本，第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了11包，那么这批书共有多少本？
解：设这批书共有x本，每包书有y本，依题意得
解得
答：这批书共有1 500本．
教学说明
在学生探索解题方法的过程中，教师要鼓励学生多角度地思考，只要学生的方法有道理，就要给予肯定和鼓励，鼓励学生进行质问和大胆创新．
【运用新知，深化理解】
1．小明在拼图时，发现8个大小一样的长方形，恰好可以拼成如下图所示的一个大的长方形．小红看见了，说：“我来试一试”，结果小红拼成如下图所示的正方形，但中间还留有一个边长刚好为2 mm的小正方形，你能解释一下吗？你能求出这些长方形的长和宽吗？
分析：①观察小明的拼图你能发现小长方形的长x mm与宽y mm之间的数量关系吗？
(根据矩形的对边相等，得3x＝5y)
②再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长x mm与宽y mm之间的另一个关系式吗？
(显然有x＋2＝2y)
这样得到方程组解之得
8个小矩形的面积和＝8xy＝8×10×6＝480(mm2)
大正方形的面积＝(x＋2y)2＝10＋2×62＝484(mm2)484－480＝4＝22
因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个恰好是边长为2 mm的小正方形．
2．某工厂去年的总产值比总支出多500万元．由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%，因此，今年总产值比支出多950万元．今年的总产值和总支出各是多少万元？
分析：可列下表(去年总产值x万元，总支出y万元)：
总产值 总支出 差
去年 x y 500
今年 (1＋15%)x (1－10%)y 950
　　题中有两个相等关系：(1)去年的总产值－去年的总支出＝500万元；(2)今年的总产值－今年的总支出＝950万元．
解：设去年的总产值是x万元，去年的总支出是y万元，
由题意，得
解得
所以(1＋15%)x＝2300，(1－10%)y＝1 350.
故今年的总产值是2 300万元，总支出是1 350万元．
【师生互动，课堂小结】
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
【课后作业】
1．布置作业：教材第19页“习题1.3”中第6、7、8、9题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．