1.1.2空间向量的数量积运算 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
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第一章
空间向量与立体几何
1.2空间向量的数量积运算
空间向量的数量积运算
学习目标
1.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律
2.能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.
新课程标准
1.逻辑推理：运用向量运算求距离、夹角；
学习重难点
重点：利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题；
难点：利用数量积运算可以解决一些距离、夹角问题
知识点一　空间向量数量积的定义
思考1
类比平面向量数量积的定义，给出空间向量数量积的定义.
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
如图，已知两个非零向量，在空间任取一点O，作=，=.
则∠AOB叫做向量的夹角，记作.
O
B
A
O
B
A
如果=，那么向量互相垂直，记作.
知识点一　空间向量数量积的定义
思考1
类比平面向量数量积的定义，给出空间向量数量积的定义.
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.
已知两个非零向量，则||||cos叫做的数量积，记作. 即
=||||cos
特别地，零向量与任意向量的数量积为0.
由向量的数量积定义,可以得到:
=||||cos=
知识点一　空间向量的投影
思考2
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影．类似地，在空间，向量向向量的投影有什么意义？向量向直线的投影呢？向量向平面β的投影呢？
如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，=cos,向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量α向直线投影（图(2)).
图(1)
图(2)
知识点一　空间向量的投影
思考2
在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影．类似地，在空间，向量向向量的投影有什么意义？向量向直线的投影呢？向量向平面β的投影呢？
如图(3)，向量向平面β投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量在平面β上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量α所在直线与平面β所成的角.
β
图(3)
空间向量的数量积满足如下的运算律:
()·=(·)，∈R
·=·(交换律)
·(＋)=·+·(分配律)
知识点一　空间向量的投影
思考3
对于三个均不为0的数a，b，c，若ab=ac，则b=c.对于向量，，,由=，你能得到=吗 如果不能，请举出反例.
解析：不能得到=,即向量不能约分.
例：如图,在三棱锥S-ABC中,SC平面ABC, SCAC,SCBC,设=,=, =,则==0，但
思考4
对于三个均不为0的数a，b、c ，若ab=c，则a=(或b=)．对于向量，，若=k，能不能写成(或)的形式
解析：=k，不能写成(或)的形式，即向量没有除法运算
知识点一　空间向量的投影
思考5
对于三个均不为0的数a，b，c，有(ab )c =a(bc)．
对于向量，，，()=(）成立吗 为什么
解析：对于向量，，，()=(）不成立，也就是说,向量的数量积不满足结合律.
如:任意取三个不共面的向量，其中不共线，()是一个数与向量作数乘, (·)是一个数与向量作数乘，而向量,不共线所以(-) 与(·)不相等
例题精讲 ——例一
例1．已知平行六面体ABCD﹣A’B’C’D’中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7， ∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°，
（1）求的长；
（2）求AC’的长(精确到0.1)．
例题精讲 ——例一
例1．已知平行六面体ABCD﹣A’B’C’D’中，AB＝5，AD＝3，AA′＝7， ∠BAD＝60°，∠BAA′＝∠DAA′＝45°，
（1）求的长；
（2）求AC’的长(精确到0.1)．
解析：(1)·=||| cos
=5×3×cos 60°=7.5;
(2)=(++)
=+++2(·+·+·)
=＋++2(5×3×cos 60°+5×7×cos45° +3×7×cos 45°)
=98+56，
所以AC'13.3.
由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来，因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决.
例题精讲 ——变式练习1
已知平行六面体ABCD﹣A’B’C’D’中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5， ∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，
（1）；（2）求AB’的长;
（3）求AC’的长．
例题精讲 ——变式练习1
已知平行六面体ABCD﹣A’B’C’D’中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5， ∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，
（1）；（2）求AB’的长;
（3）求AC’的长．
解析：(1)·=||| cos<，>=5×4×cos 60°=10;
(2)因为=+
||===
(3)因为=5×3×cos 60°=，=3×4×cos 90°=0
所以=(++)
=+++2(·+·+·)
=＋++2(0+10+)=85=.
例题精讲 ——例二
如图，m，n是平面α内的两条相交直线．如果，，求证:平面α.
分析:要证明平面α，就是要证明l垂直于α内的任意一条直线g(直线与平面垂直的定义)．如果我们能在g和m，n之间建立某种联系，并由，，得到，那么就能解决此问题.
例题精讲 ——例二
如图，m，n是平面α内的两条相交直线．如果，，求证:平面α.
证明：在平面α内作任意一条直线，分别在直线
, , 上取非零向量，, , .
因为直线与相交，所以向量, ,不平行.由向量共面的充要条件可知,存在唯一的有序实效对（，)，使
=.
将上式两边分别与向量作数量积运算，得
=,
因为=0，=0(为什么 )，所以 =0.所以.
这就证明了直线垂直于平面α内的任意一条直线，所以平面α.
课堂检测
1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与
BC1，所成角的大小为( ).
(A) 60° (B) 90° (C) 105° (D) 75°
解析：设 BB1= 1，则AB = ，
= ，
==,
= ()(+)
=2
= 1× ×cos 60° =0,
,AB1BC1.
AB1与BC1，所成角的大小为90,故选B.
B
课堂检测
2.如图，正方体 ABCD -A'B'CD'的棱长为1,设=a, =b,=c，求:
(1)a·(b+c);
(2) a·(a+b＋c);
(3) (a+b)·(b＋c).
解析：(1)a ·( b+c)= a · b+a · c =0.
(2)a · ( a+b+c)= a · a+a · b+a · c= 1.
(3)(a+b)·(b+c)= a · b+a · c+b · b+b· c= 1.
课堂检测
3.如图，线段AB，BD在平面α内，BDAB，AC，且 AB=a，BD=b，AC=c. 求C，D两点间的距离.
解析：=++
=+2+2+2
=
即C,D两点间的距离为
课堂小结
空间向量的数量积
已知两个非零向量，则||||cos叫做的数量积，记作. 即
=||||cos