沪科版数学七年级下册 《一元一次不等式与不等式组》思想方法“集中营” 教案

《一元一次不等式与不等式组》一章思想方法“集中营”
数学思想的方法是通过思维活动对数学认知结构形式的核心，是数学的灵魂．在复习某一章节时及时对该章节的数学思想方法予以总结，有利于内容的复习与知识、方法的掌握．现将《一元一次不等式与不等式组》一章的数学思想方法总结如下，帮助大家复习．
1、 类比思想：
类比是学习数学常用的思想方法．类比的方法是指在不同的数学对象之间，或者不民的数学元素之间，根据它们的相似之处进行比较，通过类比可以发现新旧知识的相同点与不同点，有助于运用已有的知识去认识理解新知识．本章的学习中多次运用类比的方法，如不等式的基本性质的学习类比等式的基本性质；一元一次不等式的定义及解法类比一元一次方程的定义与解法；一元一次不等式的应用类比一元一次方程 的应用等，学起来即简单，快速又准确．
2、 数形结合思想：
在数轴上表示数是数形结合的具体体现．本章中应用数形结合思想尤为突出，求不等式的解集的过程是代数的内容，用数轴表示不等式的解集的过程，是将代数问题几何化的过程，在解不等式组的过程中有一步是在数轴上分别表示各不等式的解集，并找出公共部分都是数形结合的应用．
例1.已知关于x的不等式的整数解共有3个，则b的取值范围是 ．
析解：．
规律总结：化简原不等式组，得，将其中的表示在数轴上如图1,b的位置应是题意中告知的原不等式组有三个整数解，所以b必须包含5，6，7三个整数．所以b的取值范围是．将数与形结合起来，方便于问题的解决．
图1
3、 转化思想：
学习一元一次不等式和一元一次不等式组时，注意转化思想的运用，明确转化的目标是将一元一次不等式化成最简形式，最终求出不等式的解集，转化的理由是不等式的基本性质．
例2.求同时满足不等式有整数x的值．
析解：由已知得，解不等式①得，解不等式②得，所以不等式组的解集为，其中的整数解为0，1，2，3.所以同时满足不等式有整数x的值为0，1，2，3.
规律总结：根据题意建立不等式组，通过转化求出不等式组的解集再确定其中的整数解，转化过程起了重要作用．
4、 分类讨论思想：
根据所给的条件进行分情况讨论是分类思想的应用，本章中在应用不等式进行方案设计时往往用到分类讨论思想．
例3.某校举行文艺汇演，评出一等奖5个、二等奖10个、三等奖15个，学校决定给获奖的学生发奖品，同一等奖的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件：
品名 小提琴 运动鞋 笛子 舞鞋 口琴 相册 笔记本 钢笔
单价（元） 120 80 24 22 16 6 5 4
（1） 如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品？
（2） 学校要求一等奖奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在部费用不超过1000元的前提下，有几购买方案，花费最多的一种方案需要多少钱？
析解：（1）根据题意，得最少花费为6×5+5×10+4×15＝140元．
（2）设三等奖的奖品单价为x元，根据题意得
，解得
于是：方案1：三等奖奖品6元，二等奖奖品24元，一等奖奖品120元；
方案2：三等奖奖品5元，二等奖奖品20元，一等奖奖品100元；此方案不存在舍去．
方案3：三等奖奖品4元，二等奖奖品16元，一等奖奖品80元；
所以购买方案有两种，其中花费最多为120×5+24×10+6×15＝930元．
规律总结：与不等式（组）有关的方案设计问题，往往需要分类讨论确定方案，再从中选择符合要求的方案．
5、 数学建模思想：
把实际问题转化成数学问题，建立相应的不等式模型，从而解决实际问题，也是本章常用的思想方法．
例4.我市某山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间宿舍，如果每间住5人，那么有12人安排不下，如果每间住8人，那么有一间宿舍还余下一些床位，则该样可能有几间宿舍可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？
析解：本例为实际问题，题中既有相等关系又有不等关系，设该样可能有宿舍x间，可以安排学生住宿，那么共有学生（5x+12）人，所以可列不等式组0<8x-(5x+12)<8,解得，因为x是整数，所以x=5或6，当x=5时，5x+12＝37人，当x=6时，5x+12＝42人．所以该样可能有宿舍5间或6间，当有5间宿舍时，住宿学生为37人；当有6间宿舍时，住宿的学生为42人．
规律总结：通过建立不等式（组）模型，可以解决相应的实际问题．要建立不等式模型，题目中应当含有不等关系．