2.2直线的方程 教案
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文档简介
直线的方程
【教学目标】
1．使学生了解二元一次不等式表示平面区域；
2．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；
3．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。
4．培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
【教学重点】
二元一次不等式表示平面区域。
【教学难点】
把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答。
【课时安排】
1课时
【内容分析】
“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视。线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益。它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经常管理等许多方面的实际问题。中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法―数学建模法。通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。
依据新大纲及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次
本大节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法的教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材。
本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力
本小节的重点是二元一次不等式表示平面区域，难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答。解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化。
【教法分析】
（一）教学方法
为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步培养。根据本节课的内容特点，依据“情意”、“序进”、“活动”、“反馈”等四条让学生绝大多数学生都有效学习的教学途径。本节课的采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质的形成。
（二）教学手段
新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学。根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课宜采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式（组）所表示平面区域以及图形的动态变化情况。
【教学过程】
一、复习引入：
通过前几节的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合{（）｜}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合{（）｜}是什么图形呢？
二、讲解新课：
在平面直角坐标系中，所有的点被直线分成三类：
（1）在直线上；
（2）在直线的左下方的平面区域内；
（3）在直线的右上方的平面区域内。
即：对于任意一个点（），把它的坐标代入，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0.若x+y-1=0，则点（）在直线上。
我们猜想：对直线右上方的点（），成立；
对直线左下方的点（），＜0成立。
我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下。
不妨，在直线=0上任取一点P（，），过点P作平行于轴的直线y=y0，在此直线上点P右侧的任意一点（），都有
＞，=，所以，+y＞+，＞+-1=0，
即＞0。
再过点P作平行于y轴的直线x=x0，在此直线上点P上侧的任意一点（），都有=，y＞。所以，+y＞+，＞+-1=0，
即＞0.
因为点P（，）是直线=0上的任意点，所以对于直线=0右上方的任意点（），＞0都成立。
同理，对于直线=0左下方的任意点（），＜0都成立。
如图所示：
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式＞0的解为坐标的点的集合{（）｜＞0}是在直线=0右上方的平面区域 如图所示：
那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式＜0的解为坐标的点的集合{（）｜＜0}是在直线=0左下方的平面区域。
总之，二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。（虚线表示区域不包括边界直线）。
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（），把它的坐标（）代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0，y0），从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域。（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
三、讲解范例：
例1画出不等式2+y-6＜0表示的平面区域。
解：先画直线2+y-6=0（画成虚线）。
取原点（0，0），代入2+y-6，∵2×0+0-6=-6＜0，
∴原点在2+y-6＜0表示的平面区域内，不等式2+y-6＜0表示的区域如图：
例2 画出不等式组表示的平面区域。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分
解：不等式-y+5≥0表示直线-y+5=0上及右下方的点的集合，+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合。不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：
四、课堂练习：
1．画出不等式－+2y－4＜0表示的平面区域。
解：先画直线－+2y－4=0（画成虚线），取原点（0，0），代入－＋2y－4，因为0＋2×0－4＜0，所以，原点在－+2y－4＜0表示的平面区域内，不等式－＋2y－4＜0表示的区域如图所示。
2．画出不等式组表示的平面区域。
选题意图：考查不等式组表示的平面区域的画法。
解：不等式+y－6≥0表示在直线+y－6=0上及右上方的点的集合，－y≥0表示在直线－y=0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y=3上及其下方的点的集合，＜5表示直线=5左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图所示
说明：不等式组表示的区域应注意其边界线的虚实
3．已知直线的方程为Ax+By+C=0，M1（x1，y1）、M2（x2，y2）为直线异侧的任意两点，M1、M3（x3，y3）为直线同侧的任意两点，求证：
（1）Ax1+By1+C与Ax2+By2+C异号；
（2）Ax1+By1+C与Ax3+By3+C同号。
证明：（1）因M1．M2在异侧，故必交线段M1M2于点M0.
设M0分M1Ｍ2所成的比为λ，则分点M0的坐标为
x0＝，y0＝代入l的方程得
A（）＋B（）＋C＝0，
从而得Ax1＋By1＋C＋λ（Ax2＋By2＋C）＝0.解出λ，得
λ=
∵M0为M1M2的内分点，故λ＞0.
∴Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号。
五、小结 ：
“二元一次不等式表示平面区域”：
（1）Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域不包括边界的直线；
（2）Ax+By+C≥0所表示的平面区域包括边界直线Ax+By+C=0 。
【作业布置】
【板书设计】
【教学目标】
1．使学生了解二元一次不等式表示平面区域；
2．了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；
3．了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。
4．培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。
【教学重点】
二元一次不等式表示平面区域。
【教学难点】
把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答。
【课时安排】
1课时
【内容分析】
“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视。线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益。它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经常管理等许多方面的实际问题。中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法―数学建模法。通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣、应用数学的意识和解决实际问题的能力。
依据新大纲及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按高二学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次
本大节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法的教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材。
本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力
本小节的重点是二元一次不等式表示平面区域，难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答。解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解。为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化。
【教法分析】
（一）教学方法
为了激发学生学习的主体意识，面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步培养。根据本节课的内容特点，依据“情意”、“序进”、“活动”、“反馈”等四条让学生绝大多数学生都有效学习的教学途径。本节课的采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质的形成。
（二）教学手段
新大纲明确指出：要积极创造条件，采用现代化的教学手段进行教学。根据本节知识本身的抽象性以及作图的复杂性，为突出重点、突破难点，增加教学容量，激发学生的学习兴趣，增强教学的条理性、形象性，本节课宜采用计算机辅助教学，以直观、生动地揭示二元一次不等式（组）所表示平面区域以及图形的动态变化情况。
【教学过程】
一、复习引入：
通过前几节的学习，我们知道，在平面直角坐标系中，以二元一次方程的解为坐标的点的集合{（）｜}是经过点（0，1）和（1，0）的一条直线，那么，以二元一次不等式（即含有两个未知数，且未知数最高次数都是1的不等式）的解为坐标的点的集合{（）｜}是什么图形呢？
二、讲解新课：
在平面直角坐标系中，所有的点被直线分成三类：
（1）在直线上；
（2）在直线的左下方的平面区域内；
（3）在直线的右上方的平面区域内。
即：对于任意一个点（），把它的坐标代入，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0.若x+y-1=0，则点（）在直线上。
我们猜想：对直线右上方的点（），成立；
对直线左下方的点（），＜0成立。
我们的猜想是否正确呢？下面我们来讨论一下。
不妨，在直线=0上任取一点P（，），过点P作平行于轴的直线y=y0，在此直线上点P右侧的任意一点（），都有
＞，=，所以，+y＞+，＞+-1=0，
即＞0。
再过点P作平行于y轴的直线x=x0，在此直线上点P上侧的任意一点（），都有=，y＞。所以，+y＞+，＞+-1=0，
即＞0.
因为点P（，）是直线=0上的任意点，所以对于直线=0右上方的任意点（），＞0都成立。
同理，对于直线=0左下方的任意点（），＜0都成立。
如图所示：
所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式＞0的解为坐标的点的集合{（）｜＞0}是在直线=0右上方的平面区域 如图所示：
那么，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式＜0的解为坐标的点的集合{（）｜＜0}是在直线=0左下方的平面区域。
总之，二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。（虚线表示区域不包括边界直线）。
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点（），把它的坐标（）代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0，y0），从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域。（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
三、讲解范例：
例1画出不等式2+y-6＜0表示的平面区域。
解：先画直线2+y-6=0（画成虚线）。
取原点（0，0），代入2+y-6，∵2×0+0-6=-6＜0，
∴原点在2+y-6＜0表示的平面区域内，不等式2+y-6＜0表示的区域如图：
例2 画出不等式组表示的平面区域。
分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分
解：不等式-y+5≥0表示直线-y+5=0上及右下方的点的集合，+y≥0表示直线x+y=0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及左方的点的集合。不等式组表示平面区域即为图示的三角形区域：
四、课堂练习：
1．画出不等式－+2y－4＜0表示的平面区域。
解：先画直线－+2y－4=0（画成虚线），取原点（0，0），代入－＋2y－4，因为0＋2×0－4＜0，所以，原点在－+2y－4＜0表示的平面区域内，不等式－＋2y－4＜0表示的区域如图所示。
2．画出不等式组表示的平面区域。
选题意图：考查不等式组表示的平面区域的画法。
解：不等式+y－6≥0表示在直线+y－6=0上及右上方的点的集合，－y≥0表示在直线－y=0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y=3上及其下方的点的集合，＜5表示直线=5左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域如图所示
说明：不等式组表示的区域应注意其边界线的虚实
3．已知直线的方程为Ax+By+C=0，M1（x1，y1）、M2（x2，y2）为直线异侧的任意两点，M1、M3（x3，y3）为直线同侧的任意两点，求证：
（1）Ax1+By1+C与Ax2+By2+C异号；
（2）Ax1+By1+C与Ax3+By3+C同号。
证明：（1）因M1．M2在异侧，故必交线段M1M2于点M0.
设M0分M1Ｍ2所成的比为λ，则分点M0的坐标为
x0＝，y0＝代入l的方程得
A（）＋B（）＋C＝0，
从而得Ax1＋By1＋C＋λ（Ax2＋By2＋C）＝0.解出λ，得
λ=
∵M0为M1M2的内分点，故λ＞0.
∴Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号。
五、小结 ：
“二元一次不等式表示平面区域”：
（1）Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0的某一侧的平面区域不包括边界的直线；
（2）Ax+By+C≥0所表示的平面区域包括边界直线Ax+By+C=0 。
【作业布置】
【板书设计】