5.4分式方程 课件（共39张PPT）

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北师大版八年级下册数学
第五章分式与分式方程
5.4 分式方程
想一想：回顾所学知识，完成下面内容.
一艘轮船在静水中的最大航行速度为30km/h，它以最大航行速度沿江顺流航行90km所用的时间，与以最大航行速度逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速为多少？
如果设江水的流速为vkm/h，
则轮船顺流航行90km所用的时间为______h，
逆流航行60km所用的时间为______h，
根据已知条件我们可以得到如下的等量关系：________________
90
30+v
30-v
60
90
30+v
30-v
60
=
情景引入
分式方程的概念
问题1： 甲、乙两地相距1400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
等量关系：①乘高铁列车=乘特快列车-9，
②高铁列车的平均行驶速度=特快列车的平均速度×2.8倍；
探究新知
分式方程的概念
问题1： （2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程；
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh．那么y满足怎样的方程．
探究新知
分式方程的概念
问题2：根据我们得到的等量关系，我们获得了一个新的方程，观察这个方程，试着找出它的特点.
方程中含有分式
分母含有未知数
我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中
定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
D
分式方程的概念
练一练：下列各项属于分式方程的是（ ）
A.
B.
C.
D.
分式方程的解法
问题1：我们学习过整式方程的解法，试着解这个分式方程.
①转化为整式方程——
根据等式的性质，等式两边同时乘以最简公分母——
②得到整式方程，解方程——
（30+v）（30-v）
去分母
90（30-v）=60（30+v）
③检验所得结果是否正确——
将结果代入方程后，等号两边是否相等
v=6
2
分式方程的解法
解：方程①两边同乘（30+x)(30-x)，得
90（30-x)=60(30+x)，
解得 x=6.
检验：将x=6代入原分式方程中，左边= =右边，
因此x=6是原分式方程的根.
探究新知
分式方程的解法
例 解方程
解： 方程两边乘x(x-2),得
x=3（x-2）.
解得
x=3.
检验：将x=3代入原方程，得左边=1，右边=1，左边=右边
所以，x=3是原分式方程的根.
探究新知
分式方程的解法
归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
探究新知
分式方程的解法
练一练：解分式方程 时，去分母后变形为（ ）
A.2+(x+2)=3
B.2-(x+2)=3(1-x)
C.2-x+2=3(x-1)
D.2-(x+2)=3(x-1)
D
A
分式方程的解法
练一练：分式方程 的根是（ ）
A.x=1
B.x=-1
C.x=3
D.x=-3
1、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，
化成整式方程. （转化思想）
2、解这个整式方程.
3、检验 .
4、写出原方程的根.
解分式方程的一般步骤：
分式方程的增根
问题1：根据分式方程的一般解法解下面的分式方程，运用所学知识检验所得结果是否是原分式方程的根.
根据等式的性质，等式两边同时乘以最简公分母——
（x-5）（x+5）
转化为整式方程——
解这个整式方程——
x+5=10
x=5
检验所得结果是否正确——
代入x=5后原分式方程的分母为0，相应分式无意义
5-5=0
25-25=0
此分式方程无解
x=5是整式方程x+5=10的解
探究新知
分式方程的增根
分式方程根的检验：
将整式方程的解代入___________，如果__________的值______，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
不为0
最简公分母
最简公分母
分式方程的增根
例 解方程：
解： 方程两边都乘2x,得
960-600=90x.
解得
x=4.
经检验，x=4是原方程的根.
例题讲解
分式方程的增根
例 解方程
解： 方程两边都乘(x-1)(x+2),得
x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.
解得
x=1.
经检验，x=1是原分式方程的增根.
所以，原分式方程无解.
例题讲解
C
分式方程的增根
练一练：关于x的方程 有增根，则增根是（ ）
A.1
B.-1
C.±1
D.0
针对练习
分式方程的增根
解分式方程的一般步骤：
分式方程
去分母
整式方程
检验
解整式方程
目标
最简公分母为0
最简公分母不为0
x=a是原分式方程的解
x=a不是原分式方程的解
x=a
归纳小结
我们现在所学过的应用题有哪几种类型？每种类型的基本公式是什么？
基本上有4种：
（1）行程问题： 路程=速度×时间以及它的两个变式；
（2）数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法；
（3）工程问题： 工作量=工时×工效以及它的两个变式；
（4）利润问题： 批发成本=批发数量×批发价；批发数量=批发成本÷批发价；打折销售价=定价×折数；销售利润=销售收入一批发成本；每本销售利润=定价一批发价；每本打折销售利润=打折销售价一批发价，利润率=利润÷进价.
分式方程的应用
探究新知
思考：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？
表格法分析如下：
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲队
乙队
等量关系：
甲队完成的工作总量+乙队完成的工作总量=“1”
设乙单独完成这项工程需要x个月.
列分式方程解决工程问题
探究新知
解：设乙单独 完成这项工程需要x个月.记工作总量为1，甲的工作效率是 ，根据题意得
即
方程两边都乘以2x,得
解得 x=1.
检验：当x=1时，2x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，而甲队单独施工需3个月才可以完成全部任务，所以乙队的施工速度快.
思考：本题的等量关系还可以怎么找？
甲队单独完成的工作总量+两队合作完成的工作总量=“1”
此时表格怎么列，方程又怎么列呢？
工作时间（月） 工作效率 工作总量（1）
甲单独
两队合作
设乙单独 完成这项工程需要x天.则乙队的工作效率是 ， 甲队的工作效率是 ，合作的工作效率是 .
此时方程是：
1
工程问题
（1）题中有“单独”字眼通常可知工作效率；
（2）通常间接设元，如× ×单独完成需 x（单位时间），则可表示出其工作效率；
（4）解题方法：可概括为“321”，即3指该类问题中三量关系，如工程问题有工作效率，工作时间，工作量；2指该类问题中的“两个主人公”如甲队和乙队，或“甲单独和两队合作”；1指该问题中的一个等量关系.如工程问题中等量关系是：两个主人公工作总量之和=全部工作总量.
（3）弄清基本的数量关系.如本题中的“合作的工效=甲乙两队工作效率的和”.
注意：
二元一次方程组
分式方程
方程的应用
类 比
一元一次方程
列方程解应用题的
一般步骤
审、找、设、列、解、验、答.
列方程解应用题的步骤：
（1）审：审清题意；
（2）找：找出等量关系；
（3）设：设出未知数(直接设法、间接设法)；
（5）解：解分式方程；
（7）答：写出答案.
（4）列：用代数式表示等量关系，列出分式方程；
（6）验：必须检验根的正确性与合理性；
列方程解应用题的一般步骤
结论
归纳小结
“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3 000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5 000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．求第一批盒装花每盒的进价是多少元．
例1
设第一批盒装花的进价是x元/盒，则第一批进的数
量是 盒，第二批进的数量是 盒，再根
据等量关系：
第二批进的数量＝第一批进的数量×2可得方程．
导引：
设第一批盒装花的进价是x元/盒，则
解得x＝30.
经检验，x＝30是所列方程的根．
答：第一批盒装花每盒的进价是30元．
解：
解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分
式方程转化为整式方程求解．分式方程根的检验，
除了要检验它是不是增根，还要看它是否符合实际
情况．
甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1 000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字，
问：甲、乙两人每分钟各打多少个字？
例2
设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x＋5)个字，
再由甲打一篇1 000字的文章与乙打一篇900字的文
章所用的时间相同，可列出方程，解方程即可得出
答案．
导引：
设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打(x＋5)个字，
由题意得
解得x＝45.
经检验，x＝45是所列方程的解．
x＋5＝45＋5＝50.
答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．
解：
由实际问题抽象出分式方程，重点在于准确地
找出相等关系，找相等关系的方法：应用题中一般
有三个量，明显地有一个量是已知量，设一个量，
一定是根据另一个量来找相等关系列方程．
总 结
练：抗洪抢险时，需要在一定时间内筑起拦洪大坝，甲队单独做正好按期完成，而乙队由于人少，单独做则超期3个小时才能完成．现甲、乙两队合作2个小时后，甲队又有新任务，余下的由乙队单独做，刚好按期完成．求甲、乙两队单独完成全部工程各需多少小时？
分析：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时，根据等量关系“甲工效×2＋乙工效×甲队单独完成需要时间＝1”列方程．
解：设甲队单独完成需要x小时，则乙队需要(x＋3)小时．
由题意得 .
解得x＝6.
经检验x＝6是方程的解．∴x＋3＝9.
答：甲单独完成全部工程需6小时，乙单独完成全部工程需9小时．
解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系．
某小微企业为加快产业转型升级步伐,引进一批A,B两种型号的机器.已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件,且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等.
(1)每台A,B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件
解：(1)设每台B型机器每小时加工x个零件,
则每台A型机器每小时加工(x+2)个零件,
依题意,得:
解得:x=6,
经检验,x=6是原方程的解,且符合题意,
∴x+2=8.
答:每台A型机器每小时加工8个零件,每台B型机器每小时加工6个零件.
解：(2)设A型机器安排m台,则B型机器安排(10-m)台,
依题意,得:
(2)如果该企业计划安排A,B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件,为了如期完成任务,要求两种机器每小时加工的零件不少于72件,同时为了保障机器的正常运转,两种机器每小时加工的零件不能超过76件,那么A,B两种型号的机器可以各安排多少台
解得:6≤m≤8.
∵m为正整数,∴m=6,7,8.
答:共有三种安排方案,方案一:A型机器安排6台,B型机器安排4台;方案二:A型机器安排7台,B型机器安排3台;方案三:A型机器安排8台,B型机器安排2台.
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