1.3 集合的基本运算 课件（共16张PPT）

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第1章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
人教A版2019高中数学必修第一册
A
B
A
B
B
B
A
A
A(B)
什么是并集？它有什么特点？
观察下面的例子，你能发现集合之间有什么关系吗？
（1）A={1，2，3}，B={4，5，6}，C={1,2,3,4,5,6}
（2）集合A={| 是奇数}，集合B={| 是偶数}，集合C ={| 是整数}
可以发现，在（1）（2）中的两个集合A和B和C，都具有这样一种
关系：集合C是由所有属于集合A和所有属于集合B的元素组成的。
A∪B，读作“A并B”
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合
A和集合B的并集，记作：
什么是并集？它有什么特点？
【符号语言表示】
A∪B={| ∈A或∈B}
【图形语言表示】
A
B
A∪B
【注意】
集合A∪B中的元素个数不
一定等于集合A和集合B中的元素个数之和，如果集合A和集合B有公共部分的元素，那么这部分元素只出现一次，如：A={1,2}，
B={2,3}，则A∪B={1,2,3}，元素个数并不是2+2=4个，而是3个
1.设集合A={0，1，2，4，5}，集合B={2，4，3，5，7},求A∪B。
【解】由题意易知A∪B={0，1，2，3，4，5，7}
2.设集合A={|}，集合B={|},求A∪B。
【解】利用数轴可以直观地分析本题两个集合的关系。
-1 0 1 2 3
则A∪B= {|}
公共元素在并集里只出现一次
并集有什么性质？
【性质①】A∪A=A 任何集合与其本身的并集都等于自身
【拓展】A，B，A∪B这三者的关系有如下5种情况：
【性质②】A∪ =A 任何集合与空集的并集都等于这个集合本身
A
B
A
B
B
B
A
A
A(B)
①A和B没有公共元素
②A和B有公共元素，
AA∪B，B A∪B
③B A，则
A∪B=A
④A B，则
A∪B=B
④A=B，则
A∪B=A=B
【注意】
(1)并集满足交换律和结合律
①A∪B=B∪A
②(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
(2)常用结论：
①A(A∪B)，B(A∪B)
②ABA∪B=B
什么是交集？
可以发现，在(1)(2)中，集合C中的元素既属于集合A，又属于集合B，也
就是说集合C是由集合A和B的公共元素组成的集合。
一般地，由所有属于A集合且属于B集合的元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集。记作：
A∩B，读作“A交B”
观察下面的例子，你能发现集合A，B和C之间有什么关系吗？
（1）A={1，2，3}，B={1，3，5}，C={1，3}
（2）集合A={| 是菱形}，集合B={| 是矩形}，集合C={| 是正方形}
什么是交集？
【符号语言表示】
A∩B={| ∈A∈B}
【图形语言表示】
A
B
A∩B
【注意】
如果集合A和集合B没有公共元素，那么也不能说两个集合没有交集，而是它们的交集是空集，即A∩B= .例如A={1,2,3},
B={(1,1),(2,2),(3,3)},则A∩B= ，
原因是A是数集，B是点集，它们不会有公共元素，所以A∩B= 。
1.飞卢中学开运动会，设A={| 是本次参加百米赛跑的同学}，B={| 是
本次参加跳远的同学}，求A∪B.
【解】由题意A∪B= {|是本次参加百米赛跑或参加跳远的同学}
2.设平面内直线上的点的集合为A，直线上的点的集合为B，试用集合的
运算来表示直线和的关系。
【解】平面内的两条直线有三种位置关系：①平行；②相交；③重合
(1)直线// ，则A∩B=空集
(2)直线和 相交于一点P，则A∩B={点P}
(3)直线和 重合，则A∩B= =
交集有哪些运算性质？
【拓展】A，B，A∩B这三者的关系有如下5种情况：
【性质②】A∩ = 任何集合与空集的交集都等于空集
A
B
A
B
B
B
A
A
A(B)
①A和B没有公共元素，
则A∩B=空
②A和B有公共元素，
AA，A∩B B
③B A，则
A∩B=B
④A B，则
A∩B=A
④A=B，则
A∩B=A=B
【注意】
(1)交集满足交换律和结合律
①A∩B=B∩A
②(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(2)常用结论：
①AA，A∩B B
②ABA∩B=A
【性质①】A∩A=A 任何集合与其本身的交集都等于自身
1.设A={3,4,5,6}，B={3,5,7,8}，求A∪B，A∩B
【解】A∪B={3，4，5，6，7，8}，A∩B={3，5}
2.设A={|},B={|},求A∪B，A∩B。
【解】由题意易得A={-1,5},B={-1，1}，则A∪B={-1,1,5},A∩B={-1}
3.设A={| 是等腰三角形},B={| 是直角三角形},求A∪B，A∩B。
【解】由题意得A∪B={|是等腰三角形或直角三角形}；
A∩B={|是等腰直角三角形}
什么是补集
【补集】对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，称
为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作“”
【举例说明】假设全集为整数集Z，A={| 为奇数}，则：
={| 为偶数}
【全集】一般地，如果一个集合中含有我们所研究的问题中涉及的所有元素，
那么就称这个集合为全集。也就是我们讨论的范围。一般记作“U”
什么是补集
【符号语言表示】
={| ∈ }
【图形语言表示】
U
A
【注意】
(1)全集不是固定不变的，研究不同的问题，涉
及到的全集一般不一样。
(2)补集是相对于全集而言的，如果没有定义全
集，那么就不存在补集的说法；并且，补集
的元素不能超出全集的范围。
(3)补集既是集合间的一种关系，也是集合间的
一种运算，在给定全集U的情况下，求集合A
的补集的前提是A为全集U的子集。
1.设U={|是小于9的正整数},A={1,2,3},B={4,5,6},求，
【解】由题意U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
则={4,5,6,7,8}, ={1,2,3,7,8}
2.设全集U={|是三角形},A={|是锐角三角形}, B={|是钝角三角形},
求A∩B，
【解】根据三角形的分类可知： A∩B=
A∪B={|是锐角三角形或钝角三角形},
则={|是直角三角形}
补集有哪些性质？
【性质②】A= 集合A和A的补集，它们的交集是空集
【性质①】A∪=U 集合A和A的补集，它们的并集是全集
【性质③】=A 集合A的补集的补集，是集合A自身
【性质④】= ， =U 全集的补集是空集，空集的补集是全集
【Venn图】
U
A
B
补集有哪些性质？
【拓展】德·摩根定律(反演律)：设U为全集，A，B为其子集，则有：
(1) = ∪ “交集之补，等于补集之并”如图①
(2) = “并集之补，等于补集之交”如图②
∪
=
=
我是图①
我是图②
1.已知U={12,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},求,
【解】 ={2,4,6},则={2,4,5}∩{2,4,6}={2,4}
2.设U={|是平行四边形或梯形},A={|是平行四边形}, B={|是菱形},
C={|是矩形},求，,
【解】={|是正方形},
={1,3,6,7},则={1,3,6,7}∩{2,4,6}={6}
={|是邻边不相等的平行四边形或梯形},
={|是梯形}