1.4 充分条件与必要条件 课件（共17张PPT）

(共17张PPT)
第1章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
人教A版2019高中数学必修第一册
B
A
什么是充分条件？什么是必要条件？
观察下面的例子，你能发现集合之间有什么关系吗？
（1）A={1，2}，B={1，2，3}
（2）集合A={| 是奇数}，集合B={| 是整数}
可以发现，在（1）（2）中，如果元素属于集合A，那么一定也属于B。
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p可以推导出q，记作：pq，
并且说p是q的充分条件；q是p的必要条件。反之，如果由p不能推导出q，那
么就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件，记作：pq
p
q
我是你的充分条件
我是你的必要条件
p q
什么是充分条件？什么是必要条件？
【对充分与必要条件的理解】
①p是q的充分条件说明pq，而q是p的必要
条件也说明了pq，所以：
“p是q的充分条件”和 “q是p的必要条
件”表述的是同一个逻辑关系。
而“p是q的充分条件”只能说明pq，
与q能否推导出p没有任何关系。
②注意右侧等价的表述方式：
【1】 pq
【2】 p是q的充分条件
【3】 q的充分条件是p
【4】 q是p的必要条件
【5】 p的必要条件是q
1.用符号“”与“”填空。
① ______ . ②都是偶数 ______ 是偶数.
2.下列说法是否正确？
①“”是“”的充分条件；
② “”是“”的必要条件
【解】① 或，所以填“”；
②偶数+偶数=偶数，所以填“”
【解】① 当时，左边不能推导出右边，则这种说法错误；
② ，所以，右边可以推导出左边，正确。
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什么是充要条件？
【逆命题】将命题“若p，则q”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题：
“若q，则p”，这个就是原命题的逆命题。
【充要条件】
一般地，如果p可以推导出q，并且q也可以推导出p，即pq，且有
q p，则相当于pq或者q p，称作q是p的充分必要条件，q也是p的
充分必要条件，简称充要条件
【注意】充要条件是相互的，同时存在的， pq即p和q互为充要条件.
什么是充要条件？
【注意】p是q的充要条件也可以说成：
pq，且qp
pq，且qp
pq，且qp
pq，且qp
p是q的充分不必要条件
p是q的必要不充分条件
p是q的充要条件
p是q的既不充分也不必要条件
①p和q是等价的
②p成立当且仅当q成立
③q成立当且仅当p成立
1.指出下列各组中p是q的什么条件。
①p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；
【解】相似不一定全等，pq；全等一定相似，qp，
所以p是q的必要要不充分条件
② p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
【解】矩形的对角线相等， pq ；对角线相等的四边形不一定是矩形，
也可能是等腰梯形等， qp ，所以p是q的充分不必要条件
2.设集合A={1，，-2} ，集合B={2，4}，则“”是“”的
（ ）条件.
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
【解】若，则A={1,4,-2}，，满足充分条件要求；
若或，不满足必要条件要求；
所以“”是“”的充分不必要条件，选A
A
怎么判断充要条件？有哪些方法？
【2】等价法
【1】定义法：
（1）分清命题的条件和结论
（2）找推式，判断的真假
（3）根据条件和推式得出结论
将命题转化成为另一个与之等价的且便于判断真假的命题
【3】赋值法
对于选择题，可以取一些特殊值或者特殊情况，用来说明
结论或者推导不成立，但不可用于证明题。
怎么判断充要条件？有哪些方法？
【3】集合法：
列出集合A={|p()}和集合B={|q()} ，利用集合的
包含关系来判断，如图：
A
B
A
B
B
B
A
A
A(B)
A B
p是q的充分不必要条件
B A
p是q的必要不充分条件
A=B
p是q的充要条件
AB且BA
p是q的既不充分也不必要条件
1.指出下列各组中p是q的什么条件。
①p:；q:
【解】化简，p:∈{2，3}；q:，则q代表的集合Q是p代表的集合P
的真子集，即Q P，所以p是q的必要不充分条件
②p:四边形的对角线相等；q:四边形是矩形
【解】对角线相等的四边形不一定是矩形，pq；
矩形的对角线相等，qp，所以p是q的必要不充分条件
充分条件与必要条件的传递性
①若pq，qs则有ps，即p是s的充分条件;
（1）充分条件与必要条件都有传递性，具体如下：
②若sq，qp则有sp，即p是s的必要条件;
③若pq，qs，则有ps，即p是s的充要条件;
（2）给定命题“若p，则q”，对于p是q的什么条件的证明：
①证明充分性，则需证明pq；
②证明必要性，则需证明qp；
充分条件与必要条件的传递性
【问题】已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么：
①s是q的什么条件？ ②r是q的什么条件？ ③p是q的什么条件？
【解】利用图示，表示出p，q，s，r之间的关系如下：
①因为qr，rs，所以qs；又有sq，所以s是q的充要条件
②因为rs，sq，所以rq；又有qr，所以r是q的充要条件
③因为pr，rs，sq，所以pq；又有qp，所以p是q的充分不必要条件
1.下列各组题中， 哪些p是q的充要条件？为什么？
①p:三角形为等腰三角形，q:三角形存在两角相等；
【解】因为p和q代表的都是等腰三角形，所以p=q，
即pq，p是q的充要条件；
②p:圆O内两条弦相等，q:圆O内两条弦所对的圆周角相等；
【解】圆O内两条弦相等，则它们所对的圆周角相等或互补，因此pq，
所以p不是q的充要条件；
本节考试常考什么？
【充分条件，必要条件，充要条件的判断】
【题1·定义法】判断下列各题中p是q的什么条件？
①p:，q:；
【解】因为 ，但 ，
所以p是q的充分不必要条件；
②p:两个三角形相似，q:两个三角形全等；
【解】因为相似不一定全等，但全等一定相似，即pq，qp，
所以p是q的必要不充分条件；
③p:，q:；
【解】因为由p推导到q和由q推导到p都是等式的基本性质，所以pq且qp，
所以p是q的充要条件.
本节考试常考什么？
【充分条件，必要条件，充要条件的判断】
【题2·集合法】判断下列各图中A是B的什么条件？
①
【解】因为B A，所以A是B的充分不必要条件
②
③
B
A
A(B)
A
B
【解】因为A=B，所以A是B的充要条件
【解】因为AB且BA，所以A是B的
既不充分也不必要条件
本节考试常考什么？
【充分条件，必要条件，充要条件的判断】
【题3·传递法】已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s
的必要条件，则p是q的什么条件？
【解】由题意有pr，rp，qr，rs，sq，所以prsq，
而， qrp，即p是q的充分不必要条件.
【注意】本题也可以用图形法，列出p，q，r，s的关系图：
在图中路径prsq可以走通，但 qrp走不通，同样可以得出结论.