华东师大版数学八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形定向训练试题（含解析）

华东师大版数学八年级下册第19章 矩形、菱形与正方形定向训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，长方形OABC中，点A在y轴上，点C在x轴上．，．点D在边AB上，点E在边OC上，将长方形沿直线DE折叠，使点B与点O重合．则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．
其中说法正确的是（　　　）
A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④
3、菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（　　）
A．cm B．2cm C．1cm D．2cm
4、陈师傅应客户要求加工4个长为4cm、宽为3cm的矩形零件．在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测．根据零件的检测结果，下图中有可能不合格的零件是（ ）
A． B．
C． D．
5、正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．四个角相等 B．对角线互相垂直
C．对角互补 D．对角线相等
6、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当 ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当 ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当 ABCD是正方形时，AC＝BD D．当 ABCD是菱形时，AB＝AC
7、如图，OA⊥OB，OB＝4，P是射线OA上一动点，连接BP，以B为直角顶点向上作等腰直角三角形，在OA上取一点D，使∠CDO＝45°，当P在射线OA上自O向A运动时，PD的长度的变化（　　）
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．保持不变
8、如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ ）
A． B． C． D．
9、将一块三角尺和一张矩形纸片如图排放，若∠1=25°，则∠2的大小为（ ）
A．55° B．65° C．45° D．75°
10、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，则∠EBD的度数（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题6分，共计30分）
1、如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC=62°，则∠DAC为____°．
2、如果菱形边长是10，短的对角线长为12，那么这个菱形的面积是________．
3、如图，矩形ABCD中，AC的垂直平分线MN与AB交于点E，连接CE．若∠CAD＝70°，则∠DCE＝_____°．
4、有一组邻边相等的平行四边形是____________
菱形是特殊的____________，因此它具有平行四边形的所有性质，但它也有自己独特的性质．
5、如图，在矩形中，，．将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，则的长是 __．
三、解答题（4小题，每小题10分，共计40分）
1、我们知道正多边形的定义是：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
（1）如图①，在各边相等的四边形ABCD中，当AC＝BD时，四边形ABCD 　 　正四边形；（填“是”或“不是”）
（2）如图②，在各边相等的五边形ABCDE中，AC＝CE＝EB＝BD＝DA，求证：五边形ABCDE是正五边形；
（3）如图③，在各边相等的五边形ABCDE中，减少相等对角线的条数也能判定它是正五边形，问：至少需要几条对角线相等才能判定它是正五边形？请说明理由．
2、如图，已知正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求 BG的长．
3、如图1，是正方形边上一点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，若正方形边长为6，线段上有一动点从点出发，以1个单位长度每秒沿向运动．同时线段上另一动点从点出发，以2个单位长度每秒沿向运动，当点到达点后点也停止运动．连接，点的运动时间为，的面积为，求关于的函数关系式；
(3)如图3，连接，连接交于点，连接并延长，交于点，已知，，求的长．
4、如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)当时，若，，直接写出四边形ABCD的周长．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
设AD=x，在Rt△OAD中，据勾股定理列方程求出x，即可求出点D的坐标．
【详解】
解：设AD=x，由折叠的性质可知，OD=BD=8-x，
在Rt△OAD中，
∵OA2+AD2=OD2，
∴42+x2=(8-x)2，
∴x=3，
∴D，
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，以及折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．
2、B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】
如图所示，
∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理：，故①正确；
由图可知，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故③正确；
由可得，
又∵，
两式相加得：，
整理得：，
，故④错误；
故正确的是①②③．
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判断是解题的关键．
3、B
【解析】
【分析】
由菱形的性质得AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2（cm），则OA＝1（cm），然后由勾股定理求出OB＝（cm），即可求解．
【详解】
解：∵菱形ABCD的周长为8cm，
∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝2cm，
∴OA＝1（cm），
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），
∴BD＝2OB＝2（cm），
故选：B．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定方法．
4、C
【解析】
【分析】
根据矩形的判定定理判断即可．
【详解】
∵A满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴A合格，不符合题意；
∵B满足的条件是三个角是直角的四边形是矩形，
∴B合格，不符合题意；
∵C满足的条件是有一个角是直角的四边形，
∴无法判定，C不合格，符合题意；
∵D满足的条件是有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴D合格，不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的判定定理，正确理解题意，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
5、B
【解析】
略
6、D
【解析】
【分析】
由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.
【详解】
解：当 ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；
当 ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；
当 ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；
当 ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.
7、D
【解析】
【分析】
过点作于，于，先根据矩形的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据等腰直角三角形的判定与性质可得，最后根据线段的和差、等量代换即可得出结论．
【详解】
解：如图，过点作于，于，
则四边形是矩形，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的长度保持不变，
故选：D．
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造矩形和全等三角形是解题关键．
8、C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质逐个进行证明，再进行判断即可．
【详解】
解：A、 ABCD中，本来就有AB=CD，故本选项错误；
B、 ABCD中本来就有AD=BC，故本选项错误；
C、 ABCD中，AB=BC，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定 ABCD是菱形，故本选项正确；
D、 ABCD中，AC=BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可判定 ABCD是矩形，而不能判定 ABCD是菱形，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定的应用，注意：菱形的判定定理有：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②四条边都相等的四边形是菱形，③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
9、B
【解析】
【分析】
延长CE，交矩形边于点B，利用三角形外角性质，平行线的性质计算．
【详解】
延长CE，交矩形边于点B，
∴∠ABE=90°-∠1=65°，
∵纸片是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠2=65°，
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，三角板的特点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10、B
【解析】
【分析】
根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，又∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，且∠EBD=∠A′BE+∠DBC′，继而即可求出答案．
【详解】
解：根据翻折的性质可知，∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′，
又∵∠ABE+∠A′BE+∠DBC+∠DBC′=180°，
∴∠EBD=∠A′BE+∠DBC′=180°×=90°．
故选B．
【点睛】
此题考查翻折变换的性质，三角形折叠以后的图形和原图形全等，对应的角相等，得出∠ABE=∠A′BE，∠DBC=∠DBC′是解题的关键．
二、填空题
1、28
【解析】
【分析】
由全等三角形的性质可证△AOM≌△CON，可得AO=CO，由等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB=BC，BC//AD，
∴∠MAO=∠NCO，∠BCA=∠CAD．
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AO=CO，
又∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BCO=90°﹣∠OBC=28°=∠DAC．
故答案为：28．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
2、96
【解析】
【分析】
利用菱形的对角线互相垂直平分,借助勾股定理,计算长对角线，根据菱形的面积等于对角线积的一半计算即可．
【详解】
解：如图，
四边形是菱形，
，，，
∴=8，
，
∴=96，
故答案为96．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
3、40
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质得到EC=EA，根据矩形的性质得到∠DCA=∠EAC=20°，结合图形计算，得到答案．
【详解】
解：∵MN是AC的垂直平分线，
∴EC=EA，
∴∠ECA=∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠D=90°，
∴∠DCA=∠EAC=90°-70°=20°，
∴∠DCE=∠DCA+∠ECA=20°+20°=40°，
故答案为：40．
【点睛】
本题考查的是矩形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4、 菱形 平行四边形
【解析】
略
5、4
【解析】
【分析】
根据矩形的性质和旋转性质得出BH=AB=5，∠C=90°，再根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：由题意知：，∠C=90°，
在Rt△BCH中，BC=3，
∴，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查矩形的性质、旋转性质、勾股定理，熟练掌握旋转性质和勾股定理是解答的关键．
三、解答题
1、（1）是；（2）见解析；（3）至少需要3条对角线相等才能判定它是正五边形，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据对角线相等的菱形是正方形，证明即可；
（2）由SSS证明△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌△EAB得出∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB，即可得出结论；
（3）由SSS证明△ABE≌△BCA≌△DEC得出∠BAE=∠CBA=∠EDC，∠AEB=∠ABE=∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC，由SSS证明△ACE≌△BEC得出∠ACE=∠CEB，∠CEA=∠CAE=∠EBC=∠ECB，由四边形ABCE内角和为360°得出∠ABC+∠ECB=180°，证出AB∥CE，由平行线的性质得出∠ABE=∠BEC，∠BAC=∠ACE，证出∠BAE=3∠ABE，同理：∠CBA=∠D=∠AED=∠BCD=3∠ABE=∠BAE，即可得出结论；
【详解】
（1）解：结论：四边形ABCD是正四边形．
理由：∵AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形，
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是正方形．
∴四边形ABCD是正四边形．
故答案为：是．
（2）证明：∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB中，
∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），
∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，
∴五边形ABCDE是正五边形；
（3）解：结论：至少需要3条对角线相等才能判定它是正五边形．
若AC＝BE＝CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：
在△ABE、△BCA和△DEC中，
，
∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），
∴∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，
在△ACE和△BEC中，
∴△ACE≌△BEC（SSS），
∴∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，
∵四边形ABCE内角和为360°，
∴∠ABC+∠ECB＝180°，
∴AB∥CE，
∴∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAE＝∠CEA＝2∠ABE，
∴∠BAE＝3∠ABE，
同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，
∴五边形ABCDE是正五边形；
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正多边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．
2、（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由正方形的性质可得，，由的余角相等可得∠CBG=∠CDE，进而证明△BCG≌△DCE，从而证明CG=CE；
（2）证明正方形的性质可得，结合已知条件即可求得，进而勾股定理即可求得的长
【详解】
（1）∵BF⊥DE
∴∠BFE=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DCE=90°,
∴∠CBG+∠E=∠CDE+∠E，
∴∠CBG=∠CDE
∴△BCG≌△DCE
∴CG=CE
（2）∵，且，，
∴
∵CG=CE
∴，
在中，
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，掌握三角形全等的性质与判定与勾股定理是解题的关键．
3、 (1)见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）先判断出∠CBF=90°，再证明∠DCE=∠BCF即可解决问题；
（2）由题意，，，所以，，分别求出
，，，即可解决问题；
（3）如图2中，作EH⊥AD交BD于H，连接PE．证明△EMH≌△FMB（AAS），由EM=FM，CE=CF，推出PC垂直平分线段EF，推出PE=PF，设PB=x，则PE=PF=x+2，PA=6-x，理由勾股定理构建方程即可解决问题．
(1)
解：∵四边形为正方形
，
，即
在和中，
．
(2)
由题意，，
，
(3)
作交于，连接
∵四边形是正方形
，，
，
．
，，
，
，
在和中，，
，
，
垂直平分，
设，
则，，
∵在中，
，
，
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
4、 (1)见解析
(2)20
【解析】
【分析】
（1）证，由全等三角形的性质得，即可解决问题；
（2）由（1）和已知条件可证明四边形是菱形，由菱形的周长公式即可得解．
(1)
解：证明：，
，
是的中点，
，
在和中，，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
(2)
解：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，，
，，
，
平行四边形的周长．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．