人教版数学九年级下册第二十七章相似难点解析试题（含解析）

人教版数学九年级下册第二十七章相似难点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，中，D、E分别为AB、AC的中点，则与的面积比为（ ）
A． B． C． D．
2、下列各线段的长度成比例的是（ ）
A．2、5、6、8 B．1、2、3、4 C．3、6、7、9 D．3、6、9、18
3、如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，，则（ ）
A．6 B．18 C．4 D．9
4、如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△OCD位似，点O是它们的位似中心，已知A（6，6），C（﹣2，﹣2），则△OCD与△OAB的面积之比为（　　）
A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9
5、如图，在平面直角坐标系中，将以原点O为位似中心放大后得到，若，，则与的面积的比是（ ）
A． B． C． D．
6、如图，以点O为位似中心，将△DEF放大后得到△ABC，已知OD=1，OA=3．若△DEF的面积为S，则△ABC的面积为（ ）
A．2S B．3S C．4S D．9S
7、如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播．现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A′B′为其倒立的像．如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，线段OA的长为4cm，那么线段OA′的长为（　　）
A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm
8、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
9、如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，若AB＝4，BC＝6，CE＝1，则CF的长为（　　）
A． B．1.5 C． D．1
10、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．点D在AB边上，点E在AC边上，满足∠CDE＝45°，∠AED＝∠B．若DE＝1，BC＝7，则＝（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题6分，共计30分）
1、如图，在中，D为AB边上的一点，要使成立，还需要添加一个条件，你添加的条件是__________
2、若，则_________．
3、如图，四边形和四边形都是平行四边形，点为的中点，分别交和于点，求_______．
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，F为AB上的点，联结CF.将△ACF沿直线CF翻折，点A的对称点为E，若EF∥CB，则FE=_______________
5、若3x＝7y，则＝_____．
三、解答题（4小题，每小题10分，共计40分）
1、定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2＝BD CD，则称点D是ABC中BC边上的“好点”．
（1）如图2，ABC的顶点是4×4网格图的格点，请在图中画出AB边上的“好点”；
（2）如图3，ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．若点H是BCD中CD边上的“好点”．
①求证：OH⊥AB；
②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r＝3OH，求的值．
2、如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过D作DE⊥AC于E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AB＝13，CD＝5，求CE的长．
3、已知，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A点坐标为，B点坐标为，且满足．
（1）如图1，求、的长；
（2）如图2，P是y轴负半轴上一点，点C在第二象限，连接、、、，且，，设，请用含t的式子表示的面积；
（3）如图3，在（2）的条件下，作轴交的延长线于点D，与y轴交于点E，若E是的中点，求t值．
4、如图，为坐标原点，，两点坐标分别为，．
（1）以为位似中心在轴左侧将放大两倍，并画出图形；
（2）分别写出，两点的对应点，的坐标；
（3）已知为内部一点，写出的对应点的坐标．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
【分析】
证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，证出△ADE∽△ABC，由相似三角形的性质得出△ADE的面积：△ABC的面积=1：4，即可得出结果．
【详解】
解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积=（）2=1：4，
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理；熟记三角形中位线定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
2、D
【解析】
【分析】
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，据此进行判断即可．
【详解】
解：A、2×8≠5×6，故本选项错误；
B、1×4≠2×3，故本选项错误；
C、3×9≠6×7，故本选项错误；
D、3×18=6×9，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．
3、B
【解析】
【分析】
先求解，再利用平行四边形的性质证明，得到，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方得出两个三角形的面积关系可得答案．
【详解】
解：∵AE=2ED，AD=AE+DE=3DE，
∴ ，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，BC=AD，
∴∠DEF=∠BCF，∠EDF=∠CBF，
，
，
∴，
，
．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似两个三角形的面积之间的关系，掌握以上知识是解题的关键．
4、D
【解析】
【分析】
由A（6，6）可知OA长度为，C（-2，-2）可知OC长度为，得，所以△OCD与△OAB面积比为1：9.
【详解】
∵点A坐标为（6，6），
∴OA=
∵点C坐标为（-2，-2）
∴OC=
∴
∴=1:9
故选：D．
【点睛】
本题考查了两个位似图形的相似比，与相似三角形性质相同，相似三角形的面积比是相似比的平方．
5、D
【解析】
【分析】
根据图形可知位似比为，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方，即可求得答案
【详解】
解：，，
则与的位似比为，
与的相似比为
则与的面积比为
故选D
【点睛】
本题考查了位似图形的性质，求得位似比是解题的关键．
6、D
【解析】
【分析】
首先由OD=1，OA=3，求出△DEF和△ABC的位似比为1：3，进而得到相似比为1：3，即可根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积．
【详解】
解：∵OD=1，OA=3，
∴△DEF和△ABC的位似比为1：3，
∴△DEF和△ABC的相似比为1：3，
∴，即，
∴，
∴△ABC的面积为．
故选：D．
【点睛】
此题考查了位似三角形的性质，相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握位似三角形的性质．位似三角形的位似比等于相似比．相似三角形性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等．相似三角形的相似比等于周长比，相似三角形的相似比等于对应高的比，对应角平分线的比以及对应中线的比，相似三角形的面积比等于相似比的平方．
7、D
【解析】
【分析】
由AB// A’B’，可得△AOB∽△A’OB’进而根据相似三角形的性质列出比例代入数据求解即可
【详解】
∵AB// A’B’，
△AOB∽△A’OB’，
∴ ，
即 ，
∴cm，
故选D
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键
8、B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质求出，根据相似三角形的判定定理判断即可．
【详解】
解：由正方形的性质可知，，
、、图形中的钝角都不等于，
由勾股定理得，，，
对应的图形中的边长分别为1和，
，
图中的三角形（阴影部分）与相似，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
9、D
【解析】
【分析】
过O作OM∥BC交CD于M，根据平行四边形的性质得到BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，根据三角形的中位线的性质得到CM＝CD＝2，OM＝BC＝3，通过△CFE∽△MOE，根据相似三角形的性质得到，代入数据即可得到结论．
【详解】
解：过O作OM∥BC交CD于M，
在 ABCD中，BO＝DO，CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，
∴CM＝CD＝2，OM＝BC＝3，
∵OM∥CF，
∴△CFE∽△MOE，
∴＝，
即，
∴CF＝1．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．
10、A
【解析】
【分析】
根据△ADE∽△ACB，得到AC=7AD，AB=7AE，过点E作EF⊥DC，垂足为F，由∠CDE＝45°，DE＝1，△CFE∽△CAD，得到EF，DF，FC，DC的长，计算面积即可．
【详解】
如图，过点E作EF⊥DC，垂足为F，
∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴AD：AC= AE：AB= DE：BC=1：7，
∴AC=7AD，AB=7AE，
∵∠CDE＝45°，DE＝1，
∴EF=DF=，
∵∠EFC＝∠DAC，∠ECF＝∠DCA，
∴△CFE∽△CAD，
∴EF：DA= CF：CA，
∴ EF：CF= DA：CA =1：7，
∴ CF=，CD=，
∴==2，
故选．
【点睛】
本题考查了三角形的相似与性质，勾股定理，熟练掌握三角形相似的判定是解题的关键．
二、填空题
1、或
【解析】
【分析】
根据图形可以看出两个三角形有一个公共角，相似证明中，有两个角对应相等即可证明两三角形相似，即添加对应角相等即可．
【详解】
解：由图可知，在中，
∴添加的条件为：或
故答案为：或
【点睛】
本题主要考查三角形相似的判定，掌握判定相似的条件是解题的关键．
2、
【解析】
【分析】
直接利用已知将原式变形进而得出x，y之间的关系进而得出答案．
【详解】
解：∵，
∴2x+2y=3x，
故2y=x，
则，
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了比例的性质，正确将原式变形是解题关键．
3、
【解析】
【分析】
由题意根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ，进而根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．
【详解】
解：∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位线，
∴BP=PR，，
又∵PC∥DR，
∴△PCQ∽△RDQ．
又∵点R是DE中点，
∴DR=RE, ，
∴QR=2PQ．
又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2．
故答案为：3：1：2．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质，注意掌握①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
4、2
【解析】
【分析】
根据勾股定理求出，由等面积法求出，根据相似三角形判定证明，由性质建立等式求出即可．
【详解】
解：根据题意作图如下：
由勾股定理得：，
根据折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
即，
解得：，
故答案是：2．
【点睛】
本题考查了折叠问题，三角形相似、勾股定理，解题的关键是添加辅助线，构造相似三角形．
5、
【解析】
【分析】
依据比例的基本性质，即两内项之积等于两外项之积，即可进行解答．
【详解】
解：若3x＝7y，则
故答案为：
【点睛】
此题主要考查比例的基本性质，掌握比例的性质是解题的关键．
三、解答题
1、（1）作图见解析；（2）①证明见解析；②
【解析】
【分析】
（1）由“好点”定义知；①在中，在线段上；若与全等，可得，此时可以得出点为中，垂线与线段的交点，即“好点”；②在中，由斜边上的中线等于斜边的一半，可知当为线段的中点时，，有，为“好点”．进而得出直角三角形的“好点”是斜边上的垂足与斜边的中点．
（2）①由同弧所对圆周角相等可知 ，， ；可得；点为 中边上的“好点”，故有；可知，故点为边的中点，进而由垂径定理可证．
②，，连接，为直径；设，，；在，；在，；由可得，进而求出的值．
【详解】
解：（1）如答图1所示
①过点向线段做垂线，交点为
斜边上的垂足为“好点”
②连接与线段的中点
为的中线
斜边上的中点为“好点”
综上所述，斜边上的垂足与斜边上的中点为“好点”．
（2）①证明：由题意可知 ，
又点为 中边上的“好点”
有
点为边的中点
由垂径定理可证
②解：如答图2，连接
，为直径
设
，
在，
在，
又
．
【点睛】
本题考察了直角三角形中垂线与中线的性质、三角形相似、垂径定理、圆周角、勾股定理等知识点．解题的关键与难点在于理解新定义与所学知识的连接，是否能灵活运用已有知识．
2、（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）如图，作辅助线；证明ODAC；由DE⊥AC，得到DE⊥AC，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；证明AC＝AB＝13；证明△CDE∽△CAD，得到，求出CE的长即可解决问题．
【详解】
解：（1）连接OD；
∵D为BC的中点，O为AB的中点，
∴ODAC；
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是圆O的切线．
（2）∵AB是直径，
∴AD⊥BC；
∵D为BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴AC＝AB＝13；
∵∠C＝∠C，∠DEC＝∠ADC＝90°，
∴△CDE∽△CAD，
∴，而AC＝AB＝13，CD＝5，
∴CE＝．
【点睛】
此题主要考查圆的切线的判定与性质综合，解题的关键是熟知相似三角形的判定与性质、圆的切线的判定定理．
3、（1），；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据平方和二次根式的非负性计算即可；
（2）过点C作轴，证明，即可得解；
（3）过点C作轴，由全等可得，证明，得到，即可得解；
【详解】
（1）∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，；
（2）过点C作轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）过点C作轴，
由（2）可知，
∴，
∴，
∵，E是BD的中点，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】
本题主要考查了位置与坐标，完全平方公式，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次根式有意义的条件，准确利用平行线的性质证明三角形全等求解是解题的关键．
4、（1）画图见解析；（2）点的坐标为（-6，2），点的坐标为（-4，-2）；（3）点的坐标为（-2x，-2y）
【解析】
【分析】
（1）利用位似变换的性质分别作出B、C的对应点，，然后顺次连接O，，即可；
（2）根据（1）中所作图形即可得到，两点的坐标；
（3）根据位似图形上对应点的坐标的横纵坐标对应比相同进行求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，点的坐标为（-6，2），点的坐标为（-4，-2）；
（3）∵是△OBC以O为位似中心，位似比为2的对应图形，点M（x，y）为△OBC内部一点，
∴点M的对应点的坐标为（-2x，-2y）．
【点睛】
本题主要考查了画位似图形和求位似图形上的对应点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的相关知识．