2.3.1两条直线的交点坐标 课件（共16张PPT）

(共16张PPT)
两条直线的交点坐标
复习提出
当——≠ —— 时，两条直线相交;
A1
A2
B1
B2
当 —— = —— ≠ —— 时，两直线平行；
A1 B1 C1
A2 B2 C2
当 —— = —— = —— 时，两条直线重合。
A1 B1 C1
A2 B2 C2
两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的位置关系与系数的关系？
知识探究（一）：两条直线的交点坐标
思考1:若点P在直线l上，则点P的坐标(x0，y0)与直线l的方程Ax+By+C=0有什么关系？
Ax0+By0+C=0
思考2:直线2x+y-1=0与直线2x+y+1=0，直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的位置关系分别如何？
思考3:能根据图形确定直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标吗？有什么办法求得这两条直线的交点坐标？
x
y
o
P
思考4:一般地，若直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0相交，如何求其交点坐标？
几何元素及关系 代数表示
点A A (a, b)
直线l L:Ax+By+C=0
点A在直线l上
直线l1与l2的交点是A
点A的坐标是方程组的解
Aa+Bb+C=0
（二）讲解新课：
两条直线的交点：
如果两条直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交点同时在两条直线上，交点坐标一定
是它们的方程组成的方程组
的解；反之，如果方程组
只有一个解，那么以这个解为坐标的点就是直线A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点。
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0
思考5：对于两条直线 和 ,若方程组
有惟一解，有无数组解，无解，则两直线的位置关系如何？
直线l1、l2联立得方程组
(代数问题) (几何问题)
一般地，对于直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有 方程组
例1：求下列两条直线的交点：
l1：3x+4y－2=0； l2：2x+y+2=0.
解：解方程组
3x+4y－2 =0
2x+y+2 = 0
∴l1与l2的交点是M（- 2，2）
x= －2
y=2
得
例2 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出其交点的坐标.
（1）
（2）
（3）
例3：求直线3x+2y－1=0和2x－3y－5=0的交点M的坐标，并证明方程3x+2y－1+y（2x－3y－5）=0（y为任意常数）表示过M点的所有直线（不包括直线2x－3y－5=0）。
证明：联立方程
3x+2y－1=0
2x－3y－5=0
o
x
y
(1, - 1)
M
解得：
x=1
y= - 1
代入：x+2y－1+y（2x－3y－5）= 0
得 0+y·0=0
∴M点在直线上
A1x+B1y+C1+y（ A2x+B2y+C2）=0是过直A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程。
M（1，- 1）
即
知识探究（二）：过交点的直线系
思考1:经过直线l1：3x+4y-2=0与直线l2：2x+y+2=0的交点可作无数条直线，你能将这些直线的方程统一表示吗？
k存在: y-2=k(x+2)；k不存在: x=-2 思考2:上述直线l1与直线l2的交点M（-2，2）在这条直线上吗？当m，n为何值时，方程
分别表示直线l1和l2？
n=0,m=o分别表示直线l1和l2
表示一些直线
思考4:方程 表示的直线包括过交点M（-2，2）的所有直线吗？
思考3:方程 （m，n不同时为0）表示什么图形？
不表示2x+y+2=0这条直线
思考5:方程 表示经过直线l1和l2的交点的直线系，一般地，经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可怎样表示？
m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0
或A1x+B1y+C1+y（ A2x+B2y+C2）=0
例4：求经过两条直线x+2y－1=0和2x－y－7=0的交点，
且垂直于直线x+3y－5=0的直线方程。
解法一：解方程组
x+2y－1=0，
2x－y－7=0
得
x=3
y= －1
∴这两条直线的交点坐标为（3，-1）
又∵直线x+2y－5=0的斜率是－1/3
∴所求直线的斜率是3
所求直线方程为y+1=3（x－3）即 3x－y－10=0
解法二：所求直线在直线系2x－y－7+y（x+2y－1）=0中
经整理，可得（2+y）x+（2λ－1）y－yλ－7=0
∴ － ———— =3
2+y
2y－1
解得 y= 1/7
因此，所求直线方程为3x－y－10=0
例5：
求证：不论m取何实数，直线(2m－1)x－(m+3)y－(m－11)=0恒过一个定点，并求出此定点的坐标.
1）对于直线l1:A1x+B1y+C1=0 ， l2:A2x+B2y+C2=0
(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有方程组
小结：
2）过交点的直线系经过两相交直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程可表示
m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0
或A1x+B1y+C1+y（ A2x+B2y+C2）=0