选修2-2 1.1.1
一、选择题
1．函数y＝f(x)，当自变量从x0到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．在[x0，x1]上的变化率
[答案] A
2．函数y＝x2＋x在x＝1到x＝1＋Δx之间的平均变化率为( )
A．Δx＋2
B．2Δx＋(Δx)2
C．Δx＋3
D．3Δx＋(Δx)2
[答案] C
3．物体做直线运动所经过的路程s可表示为时间t的函数s＝s(t)＝2t2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt]上的平均速度为( )
A．8＋2Δt
B．4＋2Δt
C．7＋2Δt
D．－8＋2Δt
[答案] A
4．函数y＝在x＝1到x＝2之间的平均变化率为( )
A．－1
B．－
C．－2
D．2
[答案] B
5．函数f(x)＝2x＋1在区间[1,5]上的平均变化率为( )
A.
B．－
C．2
D．－2
[答案] C
[解析] ＝＝＝2.
6．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则为( )
A．Δx＋＋2
B．Δx－－1
C．Δx＋2
D．Δx－＋2
[答案] C
[解析] ＝＝Δx＋2.
7．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度是( )
A．2Δt＋4
B．－2Δt＋4
C．2Δt－4
D．－2Δt－4
[答案] D
[解析] ＝＝－2Δt－4.
8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x、②y＝x2、③y＝x3、④y＝中，平均变化率最大的是( )
A．④
B．③
C．②
D．①
[答案] B
[解析] Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3＞k2＞k1＞k4.故选B.
9．已知曲线y＝x2和这条曲线上的一点P，Q是曲线上点P附近的一点，则点Q的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
10．函数y＝－x2、y＝、y＝2x＋1、y＝在x＝1附近(Δx很小时)，平均变化率最大的一个是( )
A．y＝－x2
B．y＝
C．y＝2x＋1
D．y＝
[答案] C
[解析] y＝－x2在x＝1附近的平均变化率为k1＝－(2＋Δx)；y＝在x＝1附近的平均变化率为k2＝－；y＝2x＋1在x＝1附近的平均变化率为k3＝2；y＝在x＝1附近的平均变化率为k4＝；当Δx很小时，k1<0，k2<0,0
二、填空题
11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________.
[答案] (Δx)2＋6Δx＋12
[解析] ＝＝(Δx)2＋6Δx＋12.
12．函数y＝在x＝1附近，当Δx＝时平均变化率为________．
[答案] －2
[解析] ＝＝＝－2.
13．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当半径r∈[1,1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为________．
[答案] 2π＋πΔr
[解析] ＝＝2π＋π·Δr.
14．函数y＝cosx在x∈时的变化率为________；在x∈时的变化率为________．
[答案] －
[解析] 当x∈时，＝＝；
当x∈时，＝
＝＝－.
因此，y＝cosx在区间和区间上的平均变化率分别是和－.
三、解答题
15．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变化率：
(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．
[解析] (1)函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
＝＝2，
g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
＝＝－2.
(2)函数f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为
＝＝2，
g(x)在区间[0,5]上的平均变化率为
＝＝－2.
16．过曲线f(x)＝x3上两点P(2,8)和Q(2＋Δx,8＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
[解析] ∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)
＝(2＋Δx)3－8＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，
∴割线PQ的斜率
k＝＝＝Δx2＋6Δx＋12.
设Δx＝0.1时割线的斜率为k1，
则k1＝0.12＋6×0.1＋12＝12.61.
17．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．
[解析] 第一年婴儿体重平均变化率为
＝0.625(千克/月)；
第二年婴儿体重平均变化率为
＝0.25(千克/月)．
18．已知某质点按规律s＝2t2＋2t(单位m)做直线运动，求：
(1)该质点在前3s内的平均速度；
(2)该质点在2s到3s内的平均速度．
[解析] (1)由题设知，Δt＝3s，Δs＝s(3)－s(0)＝24，
∴平均速度为v＝＝＝8m/s.
(2)由题意知，Δt＝3－2＝1s，Δs＝s(3)－s(2)＝12m，
∴平均速度为v＝＝12m/s.
选修2-2 1.1.2
一、选择题
1．已知物体做自由落体运动的方程为s(t)＝gt2，若Δt→0时，无限趋近于9.8m/s，则正确的说法是( )
A．9.8m/s是物体在0～1s这段时间内的速度
B．9.8m/s是物体在1s～(1＋Δt)s这段时间内的速度
C．9.8m/s是物体在t＝1s这一时刻的速度
D．9.8m/s是物体从1s～(1＋Δt)s这段时间内的平均速度
[答案] C
[解析] 由瞬时速度的定义可知选C，某一时刻和某一时间段是两个不同的物理概念．
2．函数f(x)在x0处可导，则 ( )
A．与x0、h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0、h均无关
[答案] B
[解析] 由导数的定义可知选B.
3．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2s时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )
A．1
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，＝＋Δt，
则s′|t＝2＝ ＝.故选C.
4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于( )
A．2
B．－2
C．3
D．－3
[答案] A
[解析] f′(1)＝ ＝a＝a＝2.故选A.
5．若f′(x0)＝2，则 等于( )
A．－1
B．－2
C．1
D.
[答案] A
[解析]
＝－·
＝－f′(x0)＝－1.故选A.
6．函数在某一点的导数是( )
A．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B．一个函数
C．一个常数，不是变数
D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
[答案] C
7．已知函数y＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
[答案] B
8．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则 的值为( )
A．f′(x0)
B．2f′(x0)
C．－2f′(x0)
D．0
[答案] B
[解析]
＝2
＝2 ＝2f′(x0)．
9．一物体作直线运动，其运动方程为s(t)＝－3t2＋t，则该物体的初速度为( )
A．－3
B．－2
C．0
D．1
[答案] D
[解析] ∵Δs＝－3(0＋Δt)2＋(0＋Δt)－(－3×02＋0)
＝－3(Δt)2＋Δt.＝－3Δt＋1.
∴ ＝ (－3Δt＋1)＝1.
10．设f(x)＝x·(1＋|x|)，则f′(0)等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．不存在
[答案] B
[解析] f′(0)＝
＝ ＝ (1＋|Δx|)＝1.故选B.
二、填空题
11．已知函数y＝f(x)在x＝x0处的导数为11，则
＝________.
＝________.
[答案] －11 －
[解析]
＝－ ＝－f′(x0)＝－11；
＝－
＝－f′(x0)＝－.
12．已知函数y＝x3，当x＝2时， ＝________.
[答案] 12
[解析] ＝
＝
＝[(Δx)2＋6Δx＋12]＝12.
13．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．
[答案] 0
[解析] ∵Δy＝1＋Δx＋－1－＝Δx－1＋＝，
∴＝，
∴y′|x＝1＝ ＝0.
14．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.
[答案] 1
[解析]
＝
＝
＝ (7Δt＋14t0－13)
＝14t0－13
令14t0－13＝1，
∴t0＝1.
三、解答题
15．一质点运动的方程为s＝8－3t2.
(1)求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度；
(2)求质点在t＝1时的瞬时速度．
[解析] (1)∵s＝8－3t2，∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，
＝＝－6－3Δt.
(2)质点在t＝1时的瞬时速度
v＝ ＝ (－6－3Δt)＝－6.
16．利用导数的定义求函数y＝的导数．
[解析] 因为Δy＝－
＝
＝，
所以＝.
所以f′(x)＝ ＝＝.
17．已知一物体的运动方程是s＝求此物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．
[解析] 当t＝1时，Δs＝3(Δt＋1)2＋2－3×12－2＝3Δt2＋6Δt，
∴＝3Δt＋6，∴ ＝6，
即当t＝1时的瞬时速度为6.
当t＝4时，Δs＝29＋3(Δt＋4－3)2－29－3(4－3)2
＝3Δt2＋6Δt，
∴＝3Δt＋6，
∴ ＝6，
即当t＝4时的瞬时速度为6.
18．已知f(x)＝x2，g(x)＝x3，求适合f′(x0)＋5＝g′(x0)的x0值．
[解析] 由导数的定义可知
f′(x0)＝＝＝2x0，
g′(x0)＝ ＝3x，
因为f′(x0)＋5＝g′(x0)，所以2x0＋5＝3x，
即3x－2x0－5＝0
解得：x0＝－1或x0＝.
选修2-2 1.1.3
一、选择题
1．已知曲线y＝x2－2上一点P，则过点P的切线的倾斜角为( )
A．30°
B．45°
C．135°
D．165°
[答案] B
[解析] ∵y＝x2－2，
∴y′＝
＝ ＝ ＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.故选B.
2．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x0)＞0
B．f′(x0)＜0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
[答案] B
[解析] 切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－，即f′(x0)＝－＜0.故选B.
3．下列说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处就没有切线
B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在
D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
[答案] C
[解析] 根据导数的几何意义可知，曲线在某点处的切线斜率为该点的导数，因此C正确．故选C.
4．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．y＝x－1
B．y＝－x－1
C．y＝2x－2
D．y＝－2x－2
[答案] A
[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．
由题可知，点(1,0)在曲线y＝x3－2x＋1上，求导可得y′＝3x2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y＝x3－2x＋1的切线方程为y＝x－1，故选A.
5．曲线y＝在点P(1,1)处的切线方程是( )
A．x＋y＋2＝0
B．x＋y－2＝0
C．y－1＝－(x－1)
D．y－1＝(x－1)
[答案] B
[解析] 斜率k＝ ＝ ＝－1.
所以切线方程为y－1＝－1×(x－1)．故选B.
6．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2
B．－1
C．1
D．－2
[答案] B
[解析] 根据导数的定义知f′(1)＝－1.故选B.
7．已知曲线y＝2ax2＋1过点(，3)，则该曲线在该点的切线方程是( )
A．y＝－4x－1
B．y＝4x－1
C．y＝4x＋8
D．y＝4x或y＝4x－4
[答案] B
[解析] 由3＝2a()2＋1得a＝1或a＝－1(舍)．
又y′|x＝1＝4，所以切线方程为y－3＝4(x－1)，即y＝4x－1.故选B.
8．(2010·辽宁文，12)已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A．[0，)
B．[，)
C．(，]
D．[，π)
[答案] D
[解析] 考查导数的几何意义、均值不等式及三角不等式
∵y′＝－
∴tanx＝－＝－＝－，
∵ex＞0∴ex＋ ≥2(当且仅当x＝0时取等号)
∴ex＋＋2≥4，
∴0＜≤1，
∴－1≤tanα＜0，
∵α∈[0，π)，
∴α∈[π，π)．
故选D.
9．y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )
A.
B.
C.
D．1
[答案] B
[解析] y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，
∴x0＝.
∵切点在直线y＝x上，∴y0＝
代入y＝ax2＋1得＝＋1
∴a＝.故选B.
10．曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P0的坐标是( )
A．(1,0)
B．(－1，－4)
C．(1,0)或(－1，－4)
D．(0,1)或(4,1)
[答案] C
[解析] 设P0(x0，y0)，
则f′(x0)＝ ＝3x＋1＝4，
所以x0＝±1.因此P0(1,0)或(－1，－4)．故选C.
二、填空题
11．曲线y＝x2－3x在点P处的切线平行于x轴，则点P的坐标为________．
[答案]
[解析] ∵y′＝2x－3，令y′＝0，得x＝，
代入曲线方程y＝x2－3x得y＝－.
12．抛物线y＝x2在点P处的切线平行于直线y＝4x－5，则点P的坐标为________．
[答案] (2,4)
[解析] ＝ ＝2x，
令2x＝4，∴x＝2，即在点(2,4)处的切线平行于直线y＝4x－5.
13．曲线f(x)＝x3在点A处的切线的斜率为3，则该曲线在点A处的切线方程为____________．
[答案] 3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0
[解析] 设点A(x0，x)，则k＝f′(x0)＝3x＝3.
∴x0＝±1.
∴切点的坐标为(1,1)或(－1，－1)，
∴所求的切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋1＝3(x＋1)，即3x－y－2＝0或3x－y＋2＝0.
14．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________．
[答案] 2x－y＋4＝0
[解析] ∵y′＝6x－4，
∴y′|x＝1＝2.所求直线的斜率为2，所以所求直线的方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0.
三、解答题
15．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．
[解析] 因为f′(1)＝ ＝4，
所以过点(1,2)的切线的斜率为4.
设过点(1,2)与过该点的切线垂直的直线的斜率为k，则4k＝－1，k＝－，
所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋4y－9＝0.
16．求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
[解析] 因为f′(3)＝ ＝27，
所以在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，
即y＝27x－54.
此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×2×54＝54.
17．试求过点M(1,1)且与曲线y＝x3＋1相切的直线方程．
[解析] ＝
＝
＝3xΔx＋3x2＋(Δx)2，
＝3x2，因此y′＝3x2.
设过(1,1)点的切线与y＝x3＋1相切于点P(x0，x＋1)，据导数的几何意义，函数在点P处的切线的斜率为k＝3x①，过(1,1)点的切线的斜率k＝②，由①＝②得，3x＝，解之得x0＝0或x0＝，所以k＝0或k＝，因此y＝x3＋1过点M(1,1)的切线方程有两条，分别为y－1＝(x－1)和y＝1，即27x－4y－23＝0和y＝1.
18．已知曲线y＝x2－1与y＝x3＋1在x0点的切线互相垂直，求x0的值．
[解析] 函数y＝x2－1在x0处的导数为：
y′|x＝x0＝
＝
＝2x0.
函数y＝x3＋1在x0处的导数为：
y′|x＝x0＝
＝
＝3x，
∵两曲线在x0处的切线互相垂直，显然两切线的斜率都存在，
∴2x0·3x＝－1，
解得x0＝－.
选修2-2 1.2.1
一、选择题
1．函数f(x)＝－10的导数是( )
A．0
B．负数
C．正数
D．不确定
[答案] A
2．若f(x)＝，则3f′(1)等于( )
A．0
B.
C．1
D.
[答案] C
3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为的点是( )
A.
B．(2,4)
C.
D.
[答案] D
4．若函数f(x)＝，则f′(1)等于( )
A．0
B．－
C．2
D.
[答案] D
5．直线y＝x5的斜率等于5的切线的方程为( )
A．5x－y＋4＝0
B．x－y－4＝0
C．x－y＋4＝0或x－y－4＝0
D．5x－y＋4＝0或5x－y－4＝0
[答案] D
[解析] ∵y′|x＝x0＝5x＝5，
∴x0＝±1.∴切点坐标为(1,1)，(－1，－1)．
又切线斜率为5，由点斜式得切线方程为5x－y＋4＝0或5x－y－4＝0.故选D.
6．质点沿直线运动的路程和时间的关系是s＝，则质点在t＝4时的速度为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] B
[解析] ∵s′|t＝4＝t－|t＝4＝ .故选B.
7．已知函数f(x)＝x3的切线斜率等于1，则切线有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．不确定
[答案] B
[解析] 设切点为(x0，x)，∵f′(x)＝3x2，
∴k＝f′(x0)＝3x，即3x＝1，
∴x0＝±，
即在点和点处有斜率为1的切线，故选B.
8．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为( )
A．4x－y－3＝0
B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0
D．x＋4y＋3＝0
[答案] A
9．(2010·江西文，4)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－1
B．－2
C．2
D．0
[答案] B
[解析] 本题考查函数知识，求导运算及整体代换的思想，f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2，
要善于观察，故选B.
10．若对任意的x，有f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则此函数解析式为( )
A．f(x)＝x4
B．f(x)＝x4－2
C．f(x)＝x4＋1
D．f(x)＝x4－1
[答案] B
[解析] 由f′(x)＝4x3知，f(x)中含有x4项，然后将x＝1代入四个选项中验证，B正确，故选B.
二、填空题
11．物体的运动方程为s＝t3，则物体在t＝1时的速度为________，在t＝4时的速度为________．
[答案] 3 48
[解析] s′＝3t2，s′|t＝1＝3，s′|t＝4＝48.
12．在曲线y＝上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P点坐标为________．
[答案] (2,1)
[解析] ∵y＝4x－2，∴y′＝－8x－3，
∴－8x－3＝－1，
∴x3＝8，
∴x＝2，
∴P点坐标为(2,1)．
13．函数y＝x2过点(2,1)的切线方程为________．
[答案] (4＋2)x－y－7－4＝0或(4－2)x－y－7＋4＝0.
[解析] y′＝2x，设切点P(x0，y0)，则y0＝x.
切线斜率为2x0＝，
∴x－4x0＋1＝0，∴x0＝2±，
∴斜率k＝2x0＝4±2，
∴切线方程为y－1＝(4±2)(x－2)．
14．已P(－1,1)，Q(2,4)是曲线f(x)＝x2上的两点，则与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程是________．
[答案] 4x－4y－1＝0
[解析] y＝x2的导数为y′＝2x，设切点M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0.
∵PQ的斜率k＝＝1，又切线平行于PQ，∴k＝y′|x＝x0＝2x0＝1.∴x0＝.
∴切点M.
∴切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
三、解答题
15．求曲线y＝x3上过点M(2,8)的切线与坐标轴围成的三角形面积．
[解析] ∵y′＝(x3)′＝3x2，
∴k＝f′(2)＝3·22＝12，
则切线方程为y－8＝12(x－2)，
即12x－y－16＝0.
令x＝0，得y＝－16，
令y＝0，得x＝，
∴S＝|x|·|y|＝.
即所围成的三角形的面积为.
16．求曲线y＝在点处的切线方程．
[解析] ∵y′＝′＝－，点在曲线y＝上，
∴曲线y＝在点处的切线斜率为y′|x＝2＝－＝－，
由直线方程的点斜式，得切线方程为y－＝－(x－2)，即y＝－x＋1.
17．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．
[解析] ∵过抛物线上一点的切线且与直线x－y－2＝0平行的直线与x－y－2＝0的距离最短．
y′＝2x，令2x＝1
∴x＝代入y＝x2得y＝，
∴切点为，则切线方程为y－＝x－，
即x－y－＝0.
∴x－y－＝0与x－y－2＝0的距离为
＝，
∴即为所求的最短距离．
18．过点P(－2,0)作曲线y＝的切线，求切线方程．
[解析] 设切点为Q(x0，)，∵y′＝，
∴过点Q的切线斜率为：＝
∴x0＝2，∴切线方程为：y－＝(x－2)
即：x－2y＋2＝0.
选修2-2 1.2.2
一、选择题
1．设函数f(x)＝cosx则′等于( )
A．0
B．1
C．－1
D．以上均不正确
[答案] A
[解析] ∵f＝cos＝0，
∴′＝0′＝0，故选A.
2．设函数f(x)＝sinx，则f′(0)等于( )
A．1
B．－1
C．0
D．以上均不正确
[答案] A
[解析] ∵f′(x)＝(sinx)′＝cosx，
∴f′(0)＝cos0＝1.故选A.
3．若y＝lnx，则其图象在x＝2处的切线斜率是( )
A．1
B．0
C．2
D.
[答案] D
[解析] ∵y′＝，∴y′|x＝2＝，故图象在x＝2处的切线斜率为.
4．若y＝sinx，则y′|x＝＝( )
A.
B．－
C.
D．－
[答案] A
[解析] y′＝cosx，y′|x＝＝cos＝.
5．下列各式中正确的是( )
A．(logax)′＝
B．(logax)′＝
C．(3x)′＝3x
D．(3x)′＝3xln3
[答案] D
[解析] 根据公式知D正确．
6．已知直线y＝kx是y＝lnx的切线，则k的值为( )
A.
B．－
C.
D．－
[答案] C
[解析] ∵y′＝＝k，∴x＝，切点坐标为，
又切点在曲线y＝lnx上，∴ln＝1，
∴＝e，k＝.
7．物体运动的图象(时间x，位移y)如图所示，则其导函数图象为( )
[答案] D
[解析] 由图象可知，物体在OA，AB，BC三段都做匀速运动，位移是时间的一次函数，因此其导函数为常数函数，并且直线OA，直线AB的斜率为正且kOA>kAB，直线BC的斜率为负，故选D.
8．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N＋，则f2010(x)的值是( )
A．sinx
B．－sinx
C．cosx
D．－cosx
[答案] B
[解析] 依题意：f1(x)＝cosx，f2(x)＝－sinx，
f3(x)＝－cosx，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，
按以上规律可知：f2010(x)＝f2(x)＝－sinx，故选B.
9．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
[答案] B
[解析] y′＝，设切点为(m，n)，
则切线斜率为＝1，
即m＋a＝1，n＝ln(m＋a)＝ln1＝0.
又(m，n)在直线y＝x＋1上，
∴m＝－1，从而a＝2.故选B.
10．函数f(x)＝cosx(x∈R)的图象按向量a＝(m,0)平移后，得到函数y＝－f′(x)的图象，则m的值可以为( )
A.
B．π
C．－π
D．－
[答案] A
[解析] f(x)＝cosx的图象按a＝(m,0)平移后得y＝cos(x－m)的图象，
又f′(x)＝(cosx)′＝－sinx，
∴y＝－f′(x)＝sinx＝cos(x－m)，故选A.
二、填空题
11．若函数y＝cost，则y′|t＝6π＝____________.
[答案] 0
[解析] y′＝(cost)′＝－sint，y′|t＝6π＝－sin6π＝0.
12．曲线y＝lnx与x轴交点处的切线方程是____________________________．
[答案] y＝x－1
[解析] ∵曲线y＝lnx与x轴的交点为(1,0)
∴y′|x＝1＝1，切线的斜率为1，
所求切线方程为：y＝x－1.
13．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．
[答案] (1，e) y＝ex
[解析] 设切点为(x0，ex0)，又y′＝(ex)′＝ex，
∴切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝ex0，
∴切线方程为y－ex0＝ex0(x－x0)．
又切线过原点，
∴－ex0＝－x0·ex0，即(x0－1)·ex0＝0，
∴x0＝1，
∴切点为(1，e)，斜率为e，
∴切线方程为y＝ex.
14．函数y＝log2x图象上一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln2)x＋y－3＝0垂直，则a＝________.
[答案] 2
[解析] y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为
k1＝y′|x＝a＝|x＝a＝.
已知直线斜率k2＝－2ln2.
∵两直线垂直，∴k1k2＝＝－1，∴a＝2.
三、解答题
15．求曲线y＝lnx在x＝e2处的切线方程．
[解析] ∵y＝lnx，y′＝，
∴y′|x＝e2＝，∴在(e2,2)处的切线方程为y－2＝(x－e2)，即x－e2y＋e2＝0.
16．求曲线y＝sin在点A处的切线方程．
[解析] ∵y＝sin＝cosx，
∴y′|x＝－＝－sin＝，
∴切线方程为y－＝，
即3x－2y＋π＋＝0.
17．设点P是y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最短距离．
[解析] 根据题意得，平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切的切点为P，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，即求在曲线y＝ex上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．
令P(x0，y0)，∵y′＝(ex)′＝ex，
∴由题意得ex0＝1，得x0＝0，
代入y＝ex，y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最短距离为.
18．已知两条曲线y＝sinx、y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解析] 由于y＝sinx、y＝cosx，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，
∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为
k1＝y′|x＝x0＝cosx0，
k2＝y′|x＝x0＝－sinx0.
若使两条切线互相垂直，必须
cosx0·(－sinx0)＝－1，
即sinx0·cosx0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，
∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
选修2-2 1.2.3
一、选择题
1．函数y＝(x－a)(x－b)的导数是( )
A．ab
B．－a(x－b)
C．－b(x－a)
D．2x－a－b
[答案] D
[解析] 解法一：y′＝(x－a)′(x－b)＋(x－a)(x－b)′＝x－b＋x－a＝2x－a－b.
解法二：∵y＝(x－a)(x－b)＝x2－(a＋b)x＋ab
∴y′＝(x2)′－[(a＋b)x]′＋(ab)′＝2x－a－b，故选D.
2．函数y＝(ex＋e－x)的导数是( )
A.(ex－e－x)
B.(ex＋e－x)
C．ex－e－x
D．ex＋e－x
[答案] A
[解析] y′＝′＝[(ex)′＋(e－x)′]＝(ex－e－x)．故选A.
3．函数f(x)＝(a>0)在x＝x0处的导数为0，则x0是( )
A．a
B．±a
C．－a
D．a2
[答案] B
[解析] 解法一：f′(x)＝′
＝＝，
∴f′(x0)＝＝0，得：x0＝±a.
解法二：∵f′(x)＝′＝′＝1－，
∴f′(x0)＝1－＝0，即x＝a2，∴x0＝±a.
故选B.
4．若函数y＝sin2x，则y′等于( )
A．sin2x
B．2sinx
C．sinxcosx
D．cos2x
[答案] A
[解析] ∵y＝sin2x＝－cos2x
∴y′＝′
＝sin2x.故选A.
5．函数y＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] D
[解析] y′＝[(x＋1)2]′(x－1)＋(x＋1)2(x－1)′
＝2(x＋1)·(x－1)＋(x＋1)2＝3x2＋2x－1，
∴y′|x＝1＝4.故选D.
6．下列函数在点x＝0处没有切线的是( )
A．y＝3x2＋cosx
B．y＝xsinx
C．y＝＋2x
D．y＝
[答案] C
[解析] ∵函数y＝＋2x在x＝0处不可导，
∴函数y＝＋2x在点x＝0处没有切线．故选C.
7．(2010·江西理，5)等比数列{an}中a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…·(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26
B．29
C．212
D．215
[答案] C
[解析] 令g(x)＝(x－a1)(x－a2)……(x－a8)，则f(x)＝xg(x)，
f′(x)＝g(x)＋g′(x)x，故f′(0)＝g(0)＝a1a2……a8，
＝(a1a8)4＝212.
8．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为( )
A．3
B．2
C．1
D.
[答案] A
[解析] 由f′(x)＝－＝得x＝3.故选A.
9．曲线y＝xsinx在点处的切线与x轴、直线x
＝π所围成的三角形的面积为( )
A.
B．π2
C．2π2
D.(2＋π)2
[答案] A
[解析] 曲线y＝xsinx在点处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的面积为.故选A.
10．若点P在曲线y＝x3－3x2＋(3－)x＋上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )
A．[0，)
B．[0，)∪[，π)
C．[，π)
D．[0，)∪(，]
[答案] B
[解析] ∵y′＝3x2－6x＋3－＝3(x－1)2－≥－
∴tanα≥－，∵α∈(0，π)
∴α∈[0，)∪[，π)．故选B.
二、填空题
11．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.
[答案]
[解析] ∵f′(x)＝[log3(x－1)]′
＝(x－1)′＝，
∴f′(2)＝.
12．曲线y＝sin3x在点P处切线的斜率为________．
[答案] －3
[解析] 设u＝3x，则y＝sinu，
∴y′x＝cosu·(3x)′＝3cosu＝3cos3x
∴所求斜率k＝3·cos＝3cosπ＝－3.
13．设f(x)＝a·ex＋blnx，且f′(1)＝e，f′(－1)＝，则a＋b＝________.
[答案] 1
[解析] ∵f′(x)＝(a·ex＋blnx)′＝aex＋，
∴f′(1)＝ae＋b＝e，f′(－1)＝－b＝，
∴a＝1，b＝0，∴a＋b＝1.
14．若函数f(x)＝，则f′(π)________________．
[答案]
[解析] ∵f′(x)＝
＝，
∴f′(π)＝＝.
三、解答题
15．求下列函数的导数．
(1)y＝＋；(2)y＝x3·10x；
(3)y＝cosx·lnx；(4)y＝.
[解析] (1)y＝＋＝2x－2＋3x－3，
y′＝－4x－3－9x－4.
(2)y′＝(x3)′·10x＋x3·(10x)′
＝3x2·10x＋x3·10x·ln10.
(3)y′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′
＝－sinx·lnx＋.
(4)y′＝
＝.
16．设y＝8sin3x，求曲线在点P处的切线方程．
[解析] ∵y′＝(8sin3x)′＝8(sin3x)′
＝24sin2x(sinx)′＝24sin2xcosx，
∴曲线在点P处的切线的斜率
k＝y′|x＝＝24sin2·cos＝3.
∴适合题意的曲线的切线方程为
y－1＝3，即6x－2y－π＋2＝0.
17．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．
[解析] ∵y＝ax2＋bx＋c过(1,1)点，
∴a＋b＋c＝1①
∵y′＝2ax＋b，y′|x＝2＝4a＋b，
∴4a＋b＝1②
又曲线过(2，－1)点，∴4a＋2b＋c＝－1③
解由①②③组成的方程组，得a＝3，b＝－11，c＝9.
18．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝(x2＋9)；
(3)f(x)＝.
[解析] (1)方法一：
∵f(x)＝，
∴f′(x)＝
＝＝.
方法二：
∵f(x)＝＝
＝x＋5＋，
∴f′(x)＝1＋′＝1＋＝.
(2)∵f(x)＝(x2＋9)
＝x3－3x＋9x－＝x3＋6x－，
∴f′(x)＝(x3)′＋(6x)′－′
＝3x2＋6－＝3x2＋6＋.
(3)∵f(x)＝＝＝cosx－sinx，
∴f′(x)＝－sinx－cosx.
选修2-2 1.3.1
一、选择题
1．函数y＝x3的递减区间是( )
A．(－∞，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．不存在
[答案] D
[解析] ∵y′＝3x2≥0，(x∈R)恒成立，
∴函数y＝x3在R上是增函数．
2．函数f(x)＝x－ex的单调增区间是( )
A．(1，＋∞)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，1)
[答案] C
[解析] f′(x)＝1－ex，令f′(x)>0，即1－ex>0.得x<0.故选C.
3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
[答案] D
[解析] 当x∈(－∞，0)时，f(x)为减函数，则f′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，f(x)为减函数，则f′(x)<0.故选D.
4．三次函数y＝f(x)＝ax3＋x在x∈(－∞，＋∞)内是增函数，则( )
A．a>0
B．a<0
C．a<1
D．a<
[答案] A
[解析] 由题意可知f′(x)≥0恒成立，即3ax2＋1≥0恒成立，显然B，C，D都不能使3ax2＋1≥0恒成立，故选A.
5．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a，b)内有( )
A．f(x)＞0
B．f(x)＜0
C．f(x)＝0
D．不能确定
[答案] A
[解析] ∵在区间(a，b)内有f′(x)>0，
∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，
∵f(a)≥0，∴f(x)>f(a)≥0.故选A.
6．函数y＝xsinx＋cosx，x∈(－π，π)的单调增区间是( )
A.和
B.和
C.和
D.和
[答案] A
[解析] y′＝xcosx，当－πcosx<0，∴y′＝xcosx>0，
当00，∴y′＝xcosx>0.故选A.
7．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d (a＞0)，则f(x)为增函数的充要条件是( )
A．b2－4ac≥0
B．b2－4ac≤0
C．b2－3ac≤0
D．b2－3ac≥0
[答案] C
[解析] ∵a>0，f(x)为增函数，
∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0恒成立，
∴Δ＝(2b)2－4×3a×c＝4b2－12ac≤0，
∴b2－3ac≤0.故选C.
8．函数f(x)＝2x2－ln2x的单调递增区间是( )
A.
B.
C.
D.及
[答案] C
[解析] 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－，
令f′(x)>0，得x>，
∴函数f(x)在上单调递增．故选C.
9．已知f(x)＝－x3－x，x∈[m，n]，且f(m)·f(n)<0，则方程f(x)＝0在区间[m，n]上( )
A．至少有三个实数根
B．至少有两个实根
C．有且只有一个实数根
D．无实根
[答案] C
[解析] ∵f′(x)＝－3x2－1<0，
∴f(x)在区间[m，n]上是减函数，又f(m)·f(n)<0，故方程f(x)＝0在区间[m，n]上有且只有一个实数根．故选C.
10．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为( )
[答案] D
[解析] 函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y＝f′(x)在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A、C，原函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上函数值先正、再负、再正，排除B，故选D.
二、填空题
11．函数y＝(x＋1)(x2－1)的单调减区间为________．
[答案]
[解析] ∵y＝x3＋x2－x－1
∴y′＝3x2＋2x－1
令y′＝0，得x＝－1或x＝
易知函数在上y′<0，函数为减函数．
12．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．
[答案] [3，＋∞)
[解析] y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，
即a≥x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.
13．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.
[答案] － －6
[解析] f′(x)＝3x2＋2bx＋c
∵f(x)的单调区间是[－1,2]，
∴－1,2是f′(x)＝0的两根．
∴－1＋2＝－，－1×2＝
即b＝－，c＝－6.
14．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的取值范围是________．
[答案]
[解析] f′(x)＝3x2＋2x＋m，依题意可知f(x)在R上只能单调递增，所以Δ＝4－12m≤0，∴m≥.
三、解答题
15．求函数f(x)＝x3＋x2－6x的单调区间．
[解析] ∵f′(x)＝x2＋x－6＝(x＋3)(x－2)，
令f′(x)>0得，x>2或x<－3.
∴函数f(x)在(2，＋∞)和(－∞，－3)上是增函数，
令f′(x)<0，得－3∴函数f(x)在(－3,2)上是减函数，
∴函数f(x)＝x3＋x2－6x的单调递增区间为(－∞，－3)和(2，＋∞)，单调递减区间为(－3,2)．
16．已知函数f(x)＝x3＋ax＋8的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．
[解析] f′(x)＝3x2＋a.
∵(－5,5)是函数y＝f(x)的单调递减区间，则－5、5是方程3x2＋a＝0的根，
∴a＝－75.此时f′(x)＝3x2－75.
令f′(x)>0，则3x2－75>0.
解得x>5或x<－5.
∴函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－5)和(5，＋∞)．
17．已知x＞0，求证：x＞sinx.
[证明] 设f(x)＝x－sinx (x＞0)，
f′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立．
∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数．
又f(0)＝0∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立．
即：x＞sinx (x＞0)．
18．(2010·山东卷文，21)已知函数f(x)＝lnx－ax＋－1(a∈R)．
(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．
[解析] 本题考查了导数的概念、导数的应用以及函数与方程的关系问题．考查了学生对导数的理解运算能力，运用导数分析研究函数的能力，体现了分类讨论思想，数形结合思想，等价变换思想，函数与方程的思想．
(1)a＝－1时，f(x)＝lnx＋x＋－1，x∈(0，＋∞)．
f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，
因此f′(2)＝1，
即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.
又f(2)＝ln2＋2，
所以y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为y－(ln2＋2)＝x－2，即x－y＋ln2＝0.
(2)因为f(x)＝lnx－ax＋－1，
所以f′(x)＝－a＋＝－ x∈(0，＋∞)．
令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)
①当a＝0时，g(x)＝1－x，x∈(0，＋∞)，
有x∈(0,1)，g(x)>0，f′(x)<0，f(x)递减；
当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)递增；
②当a≠0时，f′(x)＝a(x－1)[x－(－1)]，
(ⅰ)当a＝时，g(x)≥0恒成立，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上递减；
(ⅱ)当01>0，
x∈(0,1)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)递减；
x∈(1，－1)时，g(x)<0，此时f′(x)>0，f(x)递增；
x∈(－1，＋∞)时，g(x)>0，此时f′(x)<0，f(x)递减；
③当a<0时，由－1<0，
x∈(0,1)时，g(x)>0，有f′(x)<0，f(x)递减；
x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，有f′(x)>0，f(x)递增．
综上所述：
当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上递减，(1，＋∞)上递增；
当a＝时，f(x)在(0，＋∞)上递减；
当0注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．
选修2-2 1.3.2
一、选择题
1．函数y＝2－x2－x3的极值情况是( )
A．有极大值，没有极小值
B．有极小值，没有极大值
C．既无极大值也无极小值
D．既有极大值又有极小值
[答案] D
[解析] 令y′＝－2x－3x2＝0，得x＝0或x＝－.
又x∈时y′<0，y＝2－x2－x3为减函数；
x∈时，y′>0，y＝2－x2－x3为增函数；
x∈(0，＋∞)时，y′<0，y＝2－x2－x3为减函数．
∴该函数既有极大值，又有极小值．
2．函数y＝f(x)＝x3－3x的极大值为m，极小值为n，则m＋n为( )
A．0
B．1
C．2
D．4
[答案] A
[解析] y′＝3x2－3，令y′＝0，得3(x＋1)(x－1)＝0，
解得x1＝－1，x2＝1，
当x<－1时，y′>0；当－1当x>1时，y′>0，
∴函数在x＝－1处取得极大值，m＝f(－1)＝2；
函数在x＝1处取得极小值，n＝f(1)＝－2.
∴m＋n＝2＋(－2)＝0.
3．函数y＝f(x)＝(x2－1)3＋1在x＝－1处( )
A．有极大值
B．有极小值
C．无极值
D．无法判断极值情况
[答案] C
[解析] f′(x)＝6x(x2－1)2＝6x(x－1)2·(x＋1)2虽有f′(－1)＝0，但f′(x)在x＝－1的左右不变号，∴函数f(x)在x＝－1处没有极值．故选C.
4．函数y＝x3＋1 的极大值是( )
A．1
B．0
C．2
D．不存在
[答案] D
[解析] ∵y′＝3x2≥0在R上恒成立，
∴函数y＝x3＋1在R上是单调增函数，
∴函数y＝x3＋1无极值．
5．对于函数f(x)＝x3－3x2，给出命题：
①f(x)是增函数，无极值；
②f(x)是减函数，无极值；
③f(x)的递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)；
④f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是极小值．
其中正确的命题有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4 个
[答案] B
[解析] f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)>0，得x>2或x<0，
令f′(x)<0，得06．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[答案] A
[解析] 由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a，b)内，先增，再减，再增，最后再减，故函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极小值点．故选A.
7．函数f(x)＝x2－x＋1在区间[－3,0]上的最值为( )
A．最大值为13，最小值为
B．最大值为1，最小值为4
C．最大值为13，最小值为1
D．最大值为－1，最小值为－7
[答案] A
[解析] 由y′＝2x－1＝0，得x＝，f(－3)＝13，f＝，f(0)＝1，∴f(x)在[－3,0]上的最大值为13，最小值为.故选A.
8．函数y＝＋在(0,1)上的最大值为( )
A.
B．1
C．0
D．不存在
[答案] A
[解析] y′＝－＝·
由y′＝0得x＝，在上y′>0，
在上y′<0.∴x＝时y极大＝，又x∈(0,1)，
∴ymax＝.故选A.
9．已知函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是( )
A．当x＝时f(x)取最大值
B．当x＝时f(x)取最小值
C．当x＝－时f(x)取最大值
D．当x＝－时f(x)取最小值
[答案] D
[解析] f′(x)＝2x＋x·2xln2，
令f′(x)＝0，得x＝－，
又当x<－时，f′(x)<0；
当x>－时，f′(x)>0，
∴当x＝－时，f(x)取最小值．故选D.
10．函数y＝ax3＋bx2取得极大值或极小值时的x的值分别为0和，则( )
A．a－2b＝0
B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0
D．a＋2b＝0
[答案] D
[解析] y′＝3ax2＋2bx，由题设知0和是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴a＋2b＝0.故选D.
二、填空题
11．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)
[解析] f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)
令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，
由题意知：方程3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0有两个不同的实根，
∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0，
解得a>2或a<－1.
12．若函数y＝2x3－3x2＋a的极大值是6，则a＝________.
[答案] 6
[解析] y′＝6x2－6x＝6x(x－1)，易知函数f(x)在x＝0处取得极大值6，即f(0)＝6，∴a＝6.
13．函数f(x)＝sinx＋cosx ，x∈的最大、最小值分别是________．
[答案] ，－1
[解析] f′(x)＝cosx－sinx＝0，
∴tanx＝1，∵x∈，∴x＝，
当－0，
∴x＝是函数f(x)的极大值点．
∵f＝－1，f＝1，f＝.
∴f(x)的最大值为，最小值为－1.
14．已知f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是________．
[答案] (0,1)
[解析] ∵f′(x)＝3x2－3b＝3(x2－b)．
因为函数f(x)在(0,1)内有极小值，
故方程3(x2－b)＝0在(0,1)内有解，所以0<<1，即0三、解答题
15．求函数f(x)＝x2e－x的极值．
[解析] 函数的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
?
0
?
4e－2
?
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.
当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝.
16．已知函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.
(1)写出函数f(x)的递减区间；
(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值，如有，试写出极值．
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)，
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.
x变化时，f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?
极大值
16
?
极小值
－16
?
(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；
(2)由表可得，当x＝－1时，函数有极大值f(－1)＝16；当x＝3时，函数有极小值f(3)＝－16.
17．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
[解析] (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9＝－3(x2－2x－3)＝－3(x－3)(x＋1)．
令f′(x)<0，则－3(x－3)(x＋1)<0，解得x<－1或x>3.
∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)令f′(x)＝0，
∵x∈[－2,2]，∴x＝－1.
当－2＜x＜－1时，f′(x)＜0；
当－1＜x＜2时，f′(x)＞0.
∴x＝－1是函数f(x)的极小值点，该极小值也就是函数f(x)在[－2,2]上的最小值，
即f(x)min＝f(－1)＝a－5.
又函数f(x)的区间端点值为
f(2)＝－8＋12＋18＋a＝a＋22，
f(－2)＝8＋12－18＋a＝a＋2.
∵a＋22＞a＋2，
∴f(x)max＝a＋22＝20，∴a＝－2.
此时f(x)min＝a－5＝－7.
18．(2010·安徽理，17)设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
(1)求f(x)的单调区间及极值；
(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.
[解析] 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．
解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值．(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明．
(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝ex－2，x∈R.
令f′(x)＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，ln2)
ln2
(ln2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减?
2(1－ln2＋a)
单调递增?
故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)，
f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)．
(2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R.
由(1)知当a>ln2－1时，g′(x)的最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.
于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．
于是当a>ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．
而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.
即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.
选修2-2 1.3.3
一、选择题
1．用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四个角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，所做的铁盒容积最大时，在四个角截去的正方形的边长为( )
A．6cm
B．8cm
C．10cm
D．12cm
[答案] B
[解析] 设截去的正方形的边长为xcm，则做成的长方体无盖铁盒的底面边长为(48－2x)cm，高为xcm，体积V(x)＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋482x.
其中0令V′(x)＝0，则x2－32x＋192＝0，∴x1＝8，x2＝24(舍去)．
在(0,24)中V(x)只有一个极值点，所以当正方形边长为8cm时，铁盒容积最大．故选B.
2．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8
B.
C．－1
D．－8
[答案] C
[解析] ∵f′(x)＝x2－2x(0≤x≤5)，
∴原油温度的瞬时变化率为：x2－2x，其最小值为－1.
3．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为( )
A.R
B.R
C.R
D.R
[答案] A
[解析] 作轴截面如图，设圆柱高为2h，
则底面半径为，圆柱体体积为V＝π·(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3.
令V′＝0得2πR2－6πh2＝0，
∴h＝R.
即当2h＝R时，圆柱体的体积最大．故选A.
4．有一长为16米的篱笆，要围成一个矩形场地，则此矩形场地的最大面积为( )
A．32m2
B．14m2
C．16m2
D．18m2
[答案] C
[解析] 设矩形的长为x米，则宽为8－x，矩形面积为S＝x(8－x)(x>0)，
令S′＝8－2x＝0，得x＝4，此时S最大＝42＝16.故选C.
5．(2010·山东卷文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
[答案] C
[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算，∵x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，x＝9，x∈(0,9)，y′>0，x∈(9，＋∞)，y′<0，y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题．
6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝，则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100
B．200
C．250
D．300
[答案] D
[解析] 由题意，总成本为C＝20000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝
.
P′＝.
令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．故选D.
7．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( )
A．2πr2
B．πr2
C．4πr2
D.πr2
[答案] A
[解析] 如图所示，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcosθ，l＝2rsinθ.
∴S侧＝2πrcosθ·2rsinθ＝4πr2sinθcosθ，
∴S′＝4πr(cos2θ－sin2θ)＝0，
∴θ＝，即当θ＝，R＝时，S侧最大，且最大值为2πr2.
故选A.
8．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )
A．2和6
B．4和4
C．3和5
D．以上都不对
[答案] B
[解析] 设其中一个数为x，则另一个数为8－x，
y＝x3＋(8－x)3,0≤x≤8，
y′＝3x2－3(8－x)2，
令y′＝0即3x2－3(8－x)2＝0得x＝4.
当0≤x<4时，y′<0；当40.
所以当x＝4时，y最小，故选B.
9．用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3?4，那么容器容积最大时，高为( )
A．0.5m
B．1m
C．0.8m
D．1.5m
[答案] A
[解析] 设容器底面相邻两边长分别为3xm,4xm，则高为＝(m)，容积V＝3x·4x·＝18x2－84x3，V′＝36x－252x2，由V′＝0得x＝或x＝0(舍去)．x∈时，V′>0，x∈时，V′<0，所以在x＝处，V有最大值，此时高为0.5m.
10．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌墙所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( )
A．32 16
B．30 15
C．40 20
D．36 18
[答案] A
[解析] 要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长为L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－，
令L′＝0得x＝±16，又x>0，∴x＝16，则当x＝16时，Lmin＝64，∴长为＝32(米)．故选A.
二、填空题
11．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．
[答案] 115
[解析] 利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，(30≤x≤200)
S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．
12．货车欲以xkm/h的速度行驶去130km远的某地，按交通法规，限制x的允许范围是[50,100]，假设汽油的价格为2元/升，而汽车耗油的速率是升/小时，司机的工资是14元/小时，则最经济的车速是________，这次行车的总费用最低是________．
[答案] 18km/h 26元
[解析] 行车的总费用
y＝×2＋×14
＝＋x，y′＝－
令y′＝0，解得x＝18∈[50,100]．
∴当x＝18(km/h)时，总费用最低，且ymin＝26(元)．
13．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．
[答案] 3
[解析] 设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，
∴L＝，要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，
∴S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋2π，
∴S′(R)＝2πR－＝0，
∴R＝3，则当R＝3时，S表最小．
14．在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为________时它的面积最大．
[答案]
[解析] 设∠OBC＝θ，
则0<θ<.
OD＝Rsinθ，BD＝Rcosθ，
∴S△ABC＝Rcosθ(R＋Rsinθ)＝R2cosθ＋R2sinθcosθ.
S′(θ)＝－R2sinθ＋R2(cos2θ－sin2θ)＝0
∴cos2θ＝sinθ，∴θ＝，即当θ＝时，△ABC的面积最大，此时高为OA＋OD＝R＋＝.
三、解答题
15．如图所示，设铁路AB＝50，B、C之间距离为10，现将货物从A运往C，已知单位距离铁路费用为2，公路费用为4，问在AB上何处修筑公路至C，可使运费由A至C最省．
[解析] 设MB＝x，于是AM上的运费为2(50－x)，MC上的运费为4，则由A到C的总运费为
p(x)＝2(50－x)＋4(0≤x≤50)．
∴p′(x)＝－2＋.
令p′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．
当x<时，p′(x)<0；当x>时，p′(x)>0，
所以当x＝时，取得最小值．
即在离B点距离为的点M处筑公路至C时，货物运费最省．
16．在边长为60cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
[解析] 设箱高为xcm，则箱底边长为(60－2x)cm，则得箱子容积
V(x)＝(60－2x)2·x(0＝4x3－240x2＋3600x.
∴V′(x)＝12x2－480x＋3600(0令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去)．
当00；
当10∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值就是V(x)的最大值．
即当箱子的高为10cm，底面边长为40cm时，箱子的体积最大．
17．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－q，求产量q为何值时，利润L最大．
[解析] 解法1：收入R＝q·p＝q
＝25q－q2，
∴利润L＝R－C＝－(100＋4q)
＝－q2＋21q－100(0∴L′＝－q＋21.
令L′＝0，即－q＋21＝0，解得q＝84.
因为当00；当84所以当q＝84时，L取得最大值．
故产量为84时，利润L最大．
解法2：(同解法1)
L＝－q2＋21q－100
＝－(q2－168q＋842)＋－100
＝－(q－84)2＋782，
所以当q＝84时，L取得最大值782.
即产量为84时，利润L最大．
18．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8m2，问x，y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)
[解析] 解法1：依题意，有xy＋·x·＝8，
所以y＝＝－(0于是框架用料长度为
l＝2x＋2y＋2×＝x＋ .
∴l′＝＋－ .
令l′＝0，即＋－＝0，
解得x1＝8－4，x2＝4－8(舍去)．
当0当8－40，
所以当x＝8－4时，l取得最小值．
此时，x＝8－4≈2.343m，y≈2.828m.
即当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．
解法2：由题意得x·y＋·x·＝8.
所以y＝＝－(0于是框架用料长度为l＝2x＋2y＋2×
＝x＋≥2＝4.
当＝，即x＝＝8－4时，等号成立．此时x≈2.343，y＝2≈2.828.
故当x为2.343m，y为2.828m时，用料最省．
选修2-2 1.4.1
一、选择题
1．计算f(x)＝x2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：
①在0到1之间插入n－1个分点，将区间[0,1]n等分，过每个分点作x轴的垂线，将曲边三角形分成n个小曲边梯形(或三角形)，这n个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；
②当n很大时，f(x)在区间上的值可以用f近似代替；
③当n很大时，f(x)在区间上的值可以用f近似代替；
④当n很大时，用f与f代替f(x)在上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．
其中正确结论的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
[答案] C
[解析] 用f与f近似代替f(x)在区间上的值得到的积分和是不相等的，但当n→∞时其积分和的极限值相等，都等于f(x)在[0,1]上的定积分．故选C.
2．下列积分值等于1的积分是( )
A.xdx
B.(x＋1)dx
C.1dx
D.dx
[答案] C
[解析] 1dx的几何意义是由直线x＝0，x＝1, y＝0和y＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.
3．设f(x)在[a，b]上连续，将[a，b]n等分，在每个小区间上任取ξi，则f(x)dx是( )
A.(ξi)
B.(ξi)·
C.(ξi)·ξi
D.(ξi)·(ξi＋1－ξi)
[答案] B
[解析] 由定积分的定义可知B正确．
4．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，则x0的值为( )
A.
B.
C.
D．1
[答案] A
5．下列命题不正确的是( )
A．若f(x)是连续的奇函数，则－af(x)dx＝0
B．若f(x)是连续的偶函数，则－af(x)dx＝2f(x)dx
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则f(x)dx>0
D．若f(x)在[a，b]上连续且f(x)dx>0，则f(x)在[a，b]上恒正
[答案] D
[解析] 对于A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确，对于B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确，C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．故选D.
6．函数f(x)＝x2在区间上( )
A．f(x)的值变化很小
B．f(x)的值变化很大
C．f(x)的值不变化
D．当n很大时，f(x)的值变化很小
[答案] D
7．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间上的值，可以用________近似代替．( )
A．f
B．f
C．f
D．f(0)
[答案] C
8．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于( )
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点函数值f(ξi)(ξ∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正确
[答案] C
9．设连续函数f(x)>0，则当aA．一定为正
B．一定为负
C．当0D．以上结论都不对
[答案] A
[解析] ∵f(x)>0，
∴曲边梯形在x轴上方，
∴f(x)dx>0.故选A.
10．下列式子中不成立的是( )
A．∫sinxdx＝∫cosxdx
B．∫0sinxdx＝∫0cosxdx
C.sinxdx＝cosxdx
D.|sinx|dx＝|cosx|dx
[答案] C
[解析] 由y＝sinx，x∈[0，π]，y＝cosx，x∈[0，π]的图象知cosxdx＝0，sinxdx>0.故选C.
二、填空题
11．定积分3dx的几何意义是________．
[答案] 由直线x＝2，x＝4，y＝0和y＝3所围成的矩形的面积
12．正弦曲线y＝sinx在[0,2π]上的一段曲线与x轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．
[答案] ∫|sinx|dx
13．已知f(x)dx＝6，则6f(x)dx等于________．
[答案] 36
14．已知[f(x)＋g(x)]dx＝18，g(x)dx＝10，则f(x)dx等于________．
[答案] 8
三、解答题
15．利用定积分的几何意义求：
(1)－2dx；(2)dx.
[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，
∴有－2dx＝＝2π.
(2)∵被积函数为y＝，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．
∴dx＝π·12＝π.
16．求x3dx的值．
[解析] (1)分割
0＜＜＜…＜＜＝1.
(2)求和
3·＋3·＋…＋3·.
＝3·＝3＝·2
＝.
(3)取极限
＝ 2＝.
∴x3dx＝.
17．用定积分的定义计算(1＋x)dx.
[解析] 将区间[1,2]分成n等份，每个小区间的长度Δx＝，在[xi－1，xi]＝上任取ξi＝xi－1＝1＋(i＝1,2，…，n)，所以f(ξi)＝1＋1＋＝2＋，
从而(ξi)Δx＝·
＝＋·＋…＋·＝2＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋，
∴(1＋x)dx＝(ξi)Δx
＝ ＝.
18．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．
[解析] 由曲线所围成的区域图形可知：
选修2-2 1.4.2
一、选择题
1.(x2＋2x)dx等于( )
A.
B.
C．1
D.
[答案] D
[解析] (x2＋2x)dx＝＝.故选D.
2．∫(sinx－cosx)dx等于( )
A．－3
B．－2
C．－1
D．0
[答案] B
[解析] ∫(sinx－cosx)dx
＝∫sinxdx－∫cosxdx＝(－cosx)－(sinx)＝(－1)－(1)＝－2.故选B.
3．自由落体的速率v＝gt，则落体从t＝0到t＝t0所走的路程为( )
A.gt
B．gt
C.gt
D.gt
[答案] C
4．曲线y＝cosx 与坐标轴所围图形的面积是( )
A．4
B．2
C.
D．3
[答案] D
[解析] 由y＝cosx图象的对称性可知，
y＝cosx与坐标轴所围面积是
5．如图，阴影部分的面积是( )
A．2
B．2－
C.
D.
[答案] C
[解析] －3(3－x2－2x)dx＝
＝.故选C.
6.|x2－4|dx＝( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] |x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx
＝＋＝ .故选C.
7．(2010·湖南理，5)dx等于( )
A．－2ln2
B．2ln2
C．－ln2
D．ln2
[答案] D
[解析] 因为(lnx)′＝，所以 dx＝lnx|＝ln4－ln2＝ln2.
8．若dx＝3＋ln2，则a等于( )
A．6
B．4
C．3
D．2
[答案] D
[解析] 取F(x)＝x2＋lnx，则F′(x)＝2x＋，
∴dx＝F(a)－F(1)＝a2＋lna－1＝3＋ln2，代入验证知a＝2.故选D.
9．(2010·山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )
A.
B.
C.
D.
[答案] A
[解析] 由得交点为(0,0)，(1,1)．
∴S＝(x2－x3)dx＝＝.
10．设f(x)＝，则f(x)dx等于( )
A.
B.
C.
D．不存在
[答案] C
[解析] f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx，取F1(x)＝x3，F2(x)＝2x－x2，
则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x，
∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝－0＋2×2－×22－＝.故选C.
二、填空题
11．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
[答案]
[解析] 长方形的面积为S1＝3，S阴＝3x2dx＝x3＝1，则P＝＝.
12．一物体沿直线以v＝ m/s的速度运动，该物体运动开始后10s内所经过的路程是________．
[答案] (11－1)
[解析] S＝∫dt＝(1＋t)＝(11－1)．
13．求曲线y＝sinx与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积为________．
[答案] 4－
[解析] 所求面积为
＝1＋2＋＝4－.
14．若a＝x2dx，b＝x3dx，c＝sinxdx，则a、b、c大小关系是________．
[答案] c[解析] a＝x2dx＝x3＝；
b＝x3dx＝x4＝4；
c＝sinxdx＝－cosx＝1－cos2＜2.∴c＜a＜b.
三、解答题
15．求下列定积分：
①(3x2＋4x3)dx；② sin2dx.
[解析] ①(3x2＋4x3)dx＝3x2dx＋4x3dx
＝x3＋x4＝24.
＝·－(1－0)＝.
16．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1min内所行驶的路程．
[解析] 由速度—时间曲线易知，
v(t)＝
由变速直线运动的路程表达式可得
取H(t)＝，F(t)＝30t，G(t)＝－t2＋90t，
则H′(t)＝3t，F′(t)＝30，G′(t)＝－1.5t＋90.
从而s＝∫3tdt＋30dt＋(－1.5t＋90)dt
＝H(10)－H(0)＋F(40)－F(10)＋G(60)－G(40)
＝1350(m)．
答：该汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.
17．求直线y＝2x＋3与抛物线y＝x2所围成的图形的面积．
[解析] 由方程组
得x1＝－1，x2＝3，则所求图形的面积为
＝(x2＋3x)－x3＝.
18．(1)已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；
(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．
[解析] (1)因为′＝2ax2－a2x，
所以(2ax2－a2x)dx＝
＝a－a2.
所以f(a)＝a－a2＝－＋
＝－2＋.
所以当a＝时，f(a)有最大值 .
(2)∵f(－1)＝2，f′(0)＝0，
∴ ①
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx，
取F(x)＝ax3＋bx2＋cx，
则F′(x)＝ax2＋bx＋c.
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2②
解①②得a＝6，b＝0，c＝－4.
选修2-2 1章末归纳总结
一、选择题
1．函数y＝xcosx－sinx在下面哪个区间内是增函数( )
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
[答案] B
[解析] y′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx>0，
得，或，
当x∈(π，2π)时y′>0，故在(π，2π)上是增函数．
故选B.
2．如图，阴影部分面积为( )
A.[f(x)－g(x)]dx
B.[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx
C.[f(x)－g(x)]dx＋[g(x)－f(x)]dx
D.[g(x)－f(x)]dx
[答案] B
[解析] S＝S1＋S2＝[g(x)－f(x)]dx＋[f(x)－g(x)]dx.故选B.
3．(2009·天津理，4)设函数f(x)＝x－lnx(x＞0)则y＝f(x)( )
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点；在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
[答案] D
[解析] 本小题主要考查函数零点的判定．
∵f(x)＝x－lnx(x＞0)，
∴f(e)＝e－1＜0，
f(1)＝＞0，f()＝＋1＞0，
∴f(x)在(1，e)内有零点，在(，1)内无零点．故选D.
二、填空题
4．cos2xdx＝________.
[答案] (2－)
[解析] 原式＝sin2x ＝(2－)．
5．设P为曲线c?y＝x2－x＋1上一点，曲线c在点P处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P纵坐标的取值范围是____________．
[答案] [，3]
[解析] 由已知得y′＝2x－1.由－1≤2x－1≤3
解得0≤x≤2.
∴y＝(x－)2＋∈[，3]．
三、解答题
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)，且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在区间[0，t](0(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)＝c在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．
[解析] (1)因为f′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为f′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，所以a＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋b＝0，所以b＝2.
所以f(x)＝x3－3x2＋2.
(2)由f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.
由f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
①当0所以f(x)max＝f(0)＝2，f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2.
②当2x
0
(0,2)
2
(2，t)
t
f′(x)
0
－
0
＋
＋
f(x)
2
?
－2
?
t3－3t2＋2
f(x)min＝f(2)＝－2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个．
f(t)－f(0)＝t3－3t2＝t2(t－3)<0.
所以f(x)max＝f(0)＝2.
(3)令g(x)＝f(x)－c＝x3－3x2＋2－c，g′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)．
在x∈[1,2)上，g′(x)<0；在x∈(2,3]上，g′(x)>0.
要使g(x)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则
解得－2选修2-2 2.1.1
一、选择题
1．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是( )
A．n2－1 B．(n－1)2＋1
C．2n－1 D．2n－1＋1
[答案] C
[解析] a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，
a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，
a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想an＝2n－1，故选C.
2．(2010·山东卷文，10)观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
[答案] D
[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理能力的考查．
3．我们把4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如下图)，
则第n－1个正方形数是( )
A．n(n－1) B．n(n＋1)
C．n2 D．(n＋1)2
[答案] C
[解析] 第n－1个正方形数的数目点子可排成n行n列，即每边n个点子的正方形，∴点数为n2.故选C.
4．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )
1＋9×2＝11
12×9＋3＝111
123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111
12345×9＋6＝111111
…
A．1111110 B．1111111
C．1111112 D．1111113
[答案] B
5．类比三角形中的性质：
(1)两边之和大于第三边；
(2)中位线长等于底边的一半；
(3)三内角平分线交于一点．
可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的；
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点．
其中类比推理方法正确的有( )
A．(1) B．(1)(2)
C．(1)(2)(3) D．都不对
[答案] C
[解析] 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．故选C.
6．图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子应是什么颜色( )
A．白色 B．黑色
C．白色可能性大 D．黑色可能性大
[答案] A
[解析] 由图知：三白二黑周而复始相继排列，∵36÷5＝7余1，∴第36颗珠子的颜色是白色．
7．设0<θ<，已知a1＝2cosθ，an＋1＝，则猜想an＝( )
A．2cos B．2cos
C．2cos D．2sin
[答案] B
[解析] ∵a1＝2cosθ，a2＝＝2＝2cos，a3＝＝2＝2cos……，猜想an＝2cos.故选B.
8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( )
①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等
③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等
A．① B．①②
C．①②③ D．③
[答案] C
[解析] 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．故选C.
9．把3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，
试求第六个三角形数是( )
A．27 B．28
C．29 D．30
[答案] B
[解析] 观察归纳可知第n－1个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝个，∴第六个三角形数为＝28.故选B.
10．已知f(x)是R上的偶函数，对任意的x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，若f(1)＝2，则f(2005)等于( )
A．2005 B．2
C．1 D．0
[答案] B
[解析] f(3)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，所以f(3)＝0.所以f(x＋6)＝f(x)＋f(3)＝f(x)，即f(x)的最小正周期为6.
所以f(2005)＝f(1＋334×6)＝f(1)＝2.故选B.
二、填空题
11．在平面上，若两个正三角形的边长比为1?2，则它们的面积比为1?4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1?2，则它们的体积比为________．
[答案] 1?8
[解析] ＝＝·＝×＝.
12．观察下列等式：
C＋C＝23－2，
C＋C＋C＝27＋23，
C＋C＋C＋C＝211－25，
C＋C＋C＋C＋C＝215＋27，
…
由以上等式推测到一个一般的结论：
对于n∈N*，C＋C＋C＋…＋C＝________.
[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1
[解析] 由归纳推理，观察等式右边23－2,27＋23,211－25,215＋27，…，可以看到右边第一项的指数3,7,11,15，…成等差数列，公差为4，首项为3，通项为4n－1；第二项的指数1,3,5,7，…，通项为2n－1.故得结论24n－1＋(－1)n22n－1.
13．将全体正整数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．
[答案]
[解析] 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行从左到右的第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
14．(2010·湖南理，15)若数列{an}满足：对任意的n∈N*，只有有限个正整数m使得am[答案] 2 n2
[解析] 因为am<5，而an＝n2，所以m＝1,2，所以(a5)*＝2.
因为(a1)*＝0，(a2)*＝1，(a3)*＝1，(a4)*＝1，
(a5)*＝2，(a6)*＝2，(a7)*＝2，(a8)*＝2，(a9)*＝2，
(a10)*＝3，(a11)*＝3，(a12)*＝3，(a13)*＝3，(a14)*＝3，(a15)*＝3，(a16)*＝3.
所以((a1)*)*＝1，((a2)*)*＝4，((a3)*)*＝9，((a4)*)*＝16.
猜想((an)*)*＝n2.
三、解答题
15．在△ABC中，不等式＋＋≥成立，
在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立，
在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？
[解析] 根据已知特殊的数值：、、，…，总结归纳出一般性的规律：(n≥3且n∈N*)．
∴在n边形A1A2…An中：＋＋…＋≥(n≥3且n∈N*)．
16．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，n∈N＋，猜想数列的通项公式并证明．
[解析] {an}中a1＝1，a2＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝，…，所以猜想{an}的通项公式an＝(n∈N＋)．
证明如下：因为a1＝1，an＋1＝，所以＝＝＋，
即－＝，所以数列是以＝1为首项，公差为的等差数列，所以＝1＋(n－1)＝＋，即通项公式为an＝(n∈N＋)．
17．如图，点P为斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.
(1)求证：CC1⊥MN；
(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2＝DF2＋EF2－2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明．
[解析] (1)证明：∵PM⊥BB1，PN⊥BB1，
∴BB1⊥平面PMN.
∴BB1⊥MN.又CC1∥BB1，
∴CC1⊥MN.
(2)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，有
S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1cosα.其中α为平面CC1B1B与平面CC1A1A所成的二面角．
∵CC1⊥平面PMN，
∴上述的二面角的平面角为∠MNP.
在△PMN中，
PM2＝PN2＋MN2－2PN·MNcos∠MNP
?PM2·CC＝PN2·CC＋MN2·CC－2(PN·CC1)·(MN·CC1)cos∠MNP，
由于SBCC1B1＝PN·CC1，SACC1A1＝MN·CC1，
SABB1A1＝PM·BB1＝PM·CC1，
∴有S2ABB1A1＝S2BCC1B1＋S2ACC1A1－2SBCC1B1·SACC1A1·cosα.
18．若a1、a2∈R＋，则有不等式≥2成立，此不等式能推广吗？请你至少写出两个不同类型的推广．
[解析] 本题可以从a1，a2的个数以及指数上进行推广．
第一类型：≥()2，
≥()2，…，
≥()2；
第二类型：≥()3，
≥()4，
…，≥()n；
第三类型：≥()3，…，
≥()m.
上述a1、a2、…、an∈R＋，m、n∈N*.
选修2-2 2.1.2
一、选择题
1．下面的推理是关系推理的是( )
A．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC中，∠B＝∠C
B．因为2是偶数，并且2是素数，所以2是素数
C．因为a∥b，b∥c，所以a∥c
D．因为是有理数或无理数，且不是有理数，所以是无理数
[答案] C
[解析] A是三段论推理，B、D是假言推理．故选C.
2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”补充上述推理的大前提( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
[答案] B
[解析] 由结论可得要证的问题是“对角线相等”，因此它应在大前提中体现出来．故选B.
3．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )
A．使用了归纳推理
B．使用了类比推理
C．使用了“三段论”，但大前提使用错误
D．使用了“三段论”，但小前提使用错误
[答案] D
[解析] 应用了“三段论”推理，小前提与大前提不对应，小前提使用错误导致结论错误．
4．△ABC中，已知cosAcosB>sinAsinB，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
[答案] C
[解析] ∵cosAcosB>sinAsinB，∴cos(A＋B)>0，
∴A＋B为锐角，即∠C为钝角．
5．如图，因为AB∥CD，所以∠1＝∠2，又因为∠2＋∠3＝180°，所以∠1＋∠3＝180°.所用的推理规则为( )
A．假言推理 B．关系推理
C．完全归纳推理 D．三段论推理
[答案] D
[解析] 关系推理的规则是“若a＝b，b＝c，则a＝c”，或“若a∥b，b∥c，则a∥c”．故选D.
6．若“并非所有的花都是红的”这一判定为真，则下列为真的判断是( )
A．所有的花是红的
B．有的花不是红的
C．并非有的花是红的
D．并非有的花不是红的
[答案] B
7．设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值( )
A．一定是零 B．不一定是整数
C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数
[答案] C
[解析] 若n为偶数，有1－(－1)n＝0，
∴(n2－1)[1－(－1)n]＝0；
若n为奇数，设n＝2k＋1，k∈N，
则(n2－1)[1－(－1)n]＝[(2k＋1)2－1][1－(－1)2k＋1]＝k(k＋1)．
∵k，k＋1是两个连续的自然数，
∴k(k＋1)一定为偶数．
综上可知，(n2－1)[1－(－1)n](n∈N)一定是偶数．故选C.
8．函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的充要条件是( )
A．a>0 B．a≥0
C．a<0 D．a≤0
[答案] C
[解析] ∵f′(x)＝3ax2＋1，
∴f(x)有极值的充要条件是方程f′(x)＝0有两个不等实根，即Δ＝－12a>0，∴a<0.故选C.
9．在△ABC中，若sinC＝2cosAsinB，则此三角形必是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
[答案] A
[解析] 由sinC＝2cosAsinB得：c＝2··b，即：a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形，故选A.
10．若数列{an}的前n项和Sn＝log5(n＋4)，则数列{an}从第二项起是( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列 D．以上都错
[答案] B
[解析] 因Sn＝log5(n＋4)，则当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝log5＝log5，
∴an的值随n的增大而减小．
∴{an}为递减数列，故选B.
二、填空题
11．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
[答案] log2x－2≥0
12．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________．
[答案] m>n
[解析] ∵(＋)2＝a＋b＋2>a＋b，
∴>，∴m>n.
13．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，则a·的最大值为________．
[答案]
[解析] a·＝··
≤×＝.
14．已知sinα＝，cosα＝，其中α是第二象限角，则m的取值为________．
[答案] 8
[解析] 由2＋2＝1，
整理，得m2－8m＝0，
∴m＝0或8.
∵α是第二象限角，则sinα>0，cosα<0.
经验证知m＝8.
三、解答题
15．设函数f(x)＝|lgx|，若0f(b)，求证：ab<1.
[证明] 证法1：由已知
f(x)＝|lgx|＝
∵0f(b)，
∴a、b不能同时在区间[1，＋∞)上．
又由于00，有－lga－lgb>0.
∴lg(ab)<0.∴ab<1.
证法2：由题设f(a)>f(b)，即|lga|>|lgb|，上式等价于(lga)2>(lgb)2，即(lga＋lgb)(lga－lgb)>0.
∴lg(ab)·lg>0.
由已知b>a>0，∴<1.
∴lg<0.∴lg(ab)<0.∴016．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是前n项和．
求证：>log0.5Sn＋1.
[证明] 设数列{an}的公比为q，
由题设知a1>0，q>0.
当q＝1时，Sn＝na1，从而Sn·Sn＋2－S＝na1·(n＋2)a1－(n＋1)2a＝－a<0.
当q≠1时，Sn＝，
从而Sn·Sn＋2－S＝
－＝－aqn<0.
综上，得Sn·Sn＋2故>log0.5Sn＋1.
17．如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
[证明] 在△ABD中，因为E，H分别是AB，AD的中点，所以EH∥BD，EH＝BD，同理，FG∥BD，且FG＝BD，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EFGH为平行四边形．
18．已知函数y＝x＋有如下性质：如果常数a>0，那么该函数在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
(1)如果函数y＝x＋在(0,4)上是减函数，在[4，＋∞)上是增函数，求实常数b的值；
(2)设常数c∈(1,4)，求函数f(x)＝x＋，x∈[1,2]的最大值和最小值；
(3)当n是正整数时，研究函数g(x)＝xn＋(c>0)的单调性，并说明理由．
[解析] (1)由函数y＝x＋的性质，知y＝x＋在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
∴＝4，即2b＝16＝24.∴b＝4.
(2)∵c∈[1,4]，∴∈[1,2]．
又∵f(x)＝x＋在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
∴在x∈[1,2]上，当x＝时，函数取得最小值2.
又f(1)＝1＋c，f(2)＝2＋，f(2)－f(1)＝1－.
当 c∈[1,2)时，f(2)－f(1)>0，f(2)>f(1)．
此时f(x)的最大值为f(2)＝2＋.
当c＝2时，f(2)－f(1)＝0，f(2)＝f(1)．
此时f(x)的最大值为f(2)＝f(1)＝3.
当c∈(2,4]时，f(2)－f(1)<0，f(2)此时f(x)的最大值为f(1)＝1＋c.
(3)g′(x)＝nxn－1－，
令g′(x)＝0，得x2n＝c，∴x＝±.
又∵x≠0，列表分析，如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
?
极小值
?
于是函数g(x)在(0，)上是减函数，在[，＋∞)上是增函数．
当n是正奇数时，g(x)＝xn＋，在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是奇函数，于是g(x)在(－∞，－]上是增函数，在[－，0]上是减函数；
`当n是正偶数时，g(x)＝xn＋在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是偶函数，于是g(x)在(－∞，－]上是减函数，在[－，0]上是增函数．
选修2-2 2.2.1
一、选择题
1．p＝＋，q＝·(m、n、a、b、c、d均为正数)，则p、q的大小为( )
A．p≥q B．p≤q
C．p>q D．不确定
[答案] B
[解析] q＝
≥＝＋＝p.故选B.
2．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
[答案] A
[解析] ∵≥≥，又函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，
∴f≤f()≤f.故选A.
3．若x、y∈R，且2x2＋y2＝6x，则x2＋y2＋2x的最大值为( )
A．14 B．15
C．16 D．17
[答案] B
[解析] 由y2＝6x－2x2≥0得0≤x≤3，从而x2＋y2＋2x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝3时，最大值为15.
4．设a与b为正数，并且满足a＋b＝1，a2＋b2≥k，则k的最大值为( )
A. B.
C. D．1
[答案] C
[解析] ∵a2＋b2≥(a＋b)2＝(当且仅当a＝b时取等号)，∴kmax＝.
5．已知a>0，b>0，＋＝1，则a＋2b的最小值为( )
A．7＋2 B．2
C．7＋2 D．14
[答案] A
[解析] a＋2b＝(a＋2b)·＝7＋＋.
又∵a>0，b>0，∴由均值不等式可得：a＋2b＝7＋＋≥7＋2＝7＋2.当且仅当＝且＋＝1，即3a2＝2b2且＋＝1时等号成立，故选A.
6．已知y>x>0，且x＋y＝1，那么( )
A．x<B．2xyC．x<<2xyD．x<2xy<[答案] D
[解析] ∵y>x>0，且x＋y＝1，∴设y＝，x＝，则＝，2xy＝.所以有x<2xy<7．一个直角三角形的三内角的正弦值成等比数列，则其最小内角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
[答案] A
[解析] 设三内角为A，B,90°，
依题意，sin2B＝sinA(∠A最小)，sinB＝cosA.
∴cos2A＝sinA，即1－sin2A＝sinA，
∴sin2A＋sinA－1＝0.
∴sinA＝ .故选A.
8．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足的条件是( )
A．a2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
[答案] C
[解析] 由cosA＝<0知b2＋c2－a2<0，
∴a2>b2＋c2.故选C.
9．已知实数a≥0，b≥0，且a＋b＝1，则(a＋1)2＋(b＋1)2的范围为( )
A. B.
C. D．[0,5]
[答案] A
[解析] 用数形结合法求解．a＋b＝1，a≥0，b≥0表示线段AB，(a＋1)2＋(b＋1)2表示线段上的点与点C(－1，－1)的距离的平方．
如下图
∴|CD|2≤(a＋1)2＋(b＋1)2≤|AC|2，
即≤(a＋1)2＋(b＋1)2≤5.故选A.
10．已知x∈(－∞，1]时，不等式1＋2x＋(a－a2)·4x>0恒成立，则a的取值范围是( )
A. B.
C. D．(－∞，6)
[答案] B
[解析] 原不等式化为a－a2>，
即a2－a<＝x＋x.
当且仅当a2－a<min，
原不等式在(－∞，1]上恒成立，
又因为x＋x为减函数，
所以min＝.
因此a2－a<，解得－二、填空题
11．设p＝2x4＋1，q＝2x3＋x2，x∈R，则p与q的大小关系是________．
[答案] p≥q
[解析] ∵p－q＝2x4＋1－(2x3＋x2)＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)，
又2x2＋2x＋1恒大于0，∴p－q≥0，故p≥q.
12．函数y＝f(x)在(0,2)上是增函数，函数y＝f(x＋2)是偶函数，则f(1)，f(2.5)，f(3.5)的大小关系是________________．
[答案] f(3.5)[解析] 由已知f(x)关于x＝2对称，又f(x)在(0,2)上是增函数，
∴结合f(x)图象得f(3.5)13．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是[答案] ≤a≤
[解析] 由|x－a|＜1?a－1＜x＜a＋1
由题意知?(a－1，a＋1)则有，
解得≤a≤.
14．已知f(x)＝是奇函数，那么实数a的值等于________．
[答案] 1
[解析] 法一：∵f(x)＝(x∈R)是奇函数，则f(－x)＋f(x)＝＋＝0
∴a＝1.
法二：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，即f(0)＝＝0，
∴a＝1.
三、解答题
15．用分析法、综合法证明：若a>0，b>0，a≠b，则>.
[证明] (1)分析法
为了证明>成立，需证明下面不等式成立：
a＋b>2
由于a>0，b>0，即要证(a＋b)2>4ab成立．
展开这个不等式左边，即得a2＋2ab＋b2>4ab
即证a2－2ab＋b2>0成立．
即证(a－b)2>0成立，以上证明过程步步可逆，
∵a≠b，∴(a－b)2>0成立．故>成立．
(2)综合法
由a>0，b>0，a≠b，可以推导出下列不等式：
(a－b)2>0?a2－2ab＋b2>0?a2＋b2>2ab
另一方面从求证出发找充分条件如下：
>?a2＋2ab＋b2>4ab?a2＋b2>2ab.
故>.
16．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，E、F分别为AB，CD的中点．求证：AF∥平面PEC.
[证明] ∵四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，∴AB綊CD.
又∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴CF綊AE.
∴四边形AECF为平行四边形．
∴AF∥EC.
又AF?平面PEC，EC?平面PEC，
∴AF∥平面PEC.
17．已知函数f(x)＝tanx，x∈，若x1、x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.
[证明] 欲证[f(x1)＋f(x2)]>f，
即(tanx1＋tanx2)>tan，
只需证>，
即证·>
＝.
∵x1，x2∈，∴x1＋x2∈(0，π)．
∴sin(x1＋x2)>0,1＋cos(x1＋x2)>0，cosx1cosx2>0.
∴只需证1＋cos(x1＋x2)>2cosx1cosx2，
即证cos(x1－x2)<1.
∵x1，x2∈，且x1≠x2，
∴cos(x1－x2)<1显然成立．
∴原不等式成立．
18．已知：a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.
求证：(1)a2＋b2＋c2≥；(2)＋＋≤.
[证明] (1)∵a＋b＋c＝1，∴(a＋b＋c)2＝1.
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.①
又2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ca≤c2＋a2，
∴2ab＋2bc＋2ca≤2(a2＋b2＋c2)．
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≤3(a2＋b2＋c2)．
又由①可得a2＋b2＋c2≥.
(2)∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2.
∴2(a＋b＋c)≥2(＋＋)．
∴a＋b＋c＋2＋2＋2≤3(a＋b＋c)＝3.
∴(＋＋)2≤3.
∴＋＋≤.
选修2-2 2.2.2
一、选择题
1．实数a，b，c不全为0的含义是( )
A．a，b，c均不为0
B．a，b，c中至多有一个为0
C．a，b，c中至少有一个为0
D．a，b，c中至少有一个不为0
[答案] D
[解析] “不全为0”即“至少有一个不为0”．
2．命题“△ABC中，若∠A>∠B，则a>b”的结论的否定应该是( )
A．aC．a＝b D．a≥b
[答案] B
3．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是( )
A．无解 B．两解
C．至少两解 D．无解或至少两解
[答案] D
4．“M不是N的子集”的充分必要条件是( )
A．若x∈M则x?N
B．若x∈N则x∈M
C．存在x1∈M?x1∈N，又存在x2∈M?x2?N
D．存在x0∈M?x0?N
[答案] D
[解析] 按定义，若M是N的子集，则集合M的任一个元素都是集合N的元素．所以，要使M不是N的子集，只需存在x0∈M但x0?N.选D.
5．设a、b、c∈R＋，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] 首先若P、Q、R同时大于零，则必有PQR>0成立．
其次，若PQR>0，且P、Q、R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，∴b<0与b∈R＋矛盾，故P、Q、R都大于0.故选C.
6．下列命题错误的是( )
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四面体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b中至少有一个为奇数
[答案] D
7．0A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] A
8．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是奇数
B．a，b，c都是偶数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中或都是奇数或至少有两个偶数
[答案] D
[解析] 当“a，b，c恰有一个偶数”否定后，则或者a，b，c都是奇数，或者a，b，c中有两个或三个偶数．故选D.
9．已知x>0，y>0，x＋y≤4，则有( )
A.≤ B.＋≥1
C.≥2 D.≥1
[答案] B
[解析] 由x>0，y>0，x＋y≤4得≥，A错；x＋y≥2，∴≤2，C错；xy≤4，∴≥，D错．
10．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为：an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无穷多个
[答案] A
[解析] 假设存在序号和数值均相等的两项，即存在n∈N*，使得an＝bn，但若a>b，n∈N*，恒有a·n>b·n，从而an＋2>bn＋1恒成立．∴不存在n∈N*，使得an＝bn.故应选A.
二、填空题
11．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________．
[答案]
[解析] 假设a、b、c都小于，则a＋b＋c<1.
故a、b、c中至少有一个数不小于.
12．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．
[答案] 存在一个三角形，其外角至多有一个钝角
13．用反证法证明命题“如果AB∥CD，AB∥EF，那么CD∥EF”，证明的第一个步骤是________．
[答案] 假设CD与EF不平行
14．用反证法证明命题：“a，b∈N，ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为__________________．
[答案] 假设a、b都不能被5整除
三、解答题
15．设a，b，c均为奇数，求证：方程ax2＋bx＋c＝0无整数根．
[证明] 假设方程有整数根x＝x0，x0∈Z，则ax＋bx0＋c＝0，c＝－(ax＋bx0)．
①若x0为偶数，则ax与bx0均为偶数，所以ax＋bx0为偶数，从而c为偶数，与题设矛盾．
②若x0为奇数，则ax、bx0均为奇数，所以ax＋bx0为偶数，从而c为偶数，与题设矛盾．
综上所述，方程ax2＋bx＋c＝0没有整数根．
16．求证：当x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.
[证明] 假设bc＝0.
(1)若b＝0，c＝0，方程变为x2＝0；则x1＝x2＝0是方程x2＋bx＋c2＝0的两根，这与方程有两个不相等的实数根矛盾．
(2)若b＝0，c≠0，方程变为x2＋c2＝0；但c≠0，此时方程无解，与x2＋bx＋c2＝0有两个不相等的非零实数根矛盾．
(3)若b≠0，c＝0，方程变为x2＋bx＝0，方程的根为x1＝0，x2＝－b，这与方程有两个非零实根矛盾．
综上所述，可知bc≠0.
17．已知f(x)＝x2＋px＋q.
(1)求证：f(1)－2f(2)＋f(3)＝2；
(2)求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.
[证明] (1)f(1)－2f(2)＋f(3)＝1＋p＋q－2(4＋2p＋q)＋9＋3p＋q＝2.
(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，则有
|f(1)|<，|f(2)|<，|f(3)|<.
∴|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2.又|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|>f(1)－2f(2)＋f(3)＝2，
这与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2矛盾．
∴假设不成立，从而原命题成立．
∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.18.已知：非零实数a，b，c构成公差不为0的等差数列，求证：、、不可能成等差数列．
[解析] 假设，，成等差数列．则＝＋.
∴2ac＝bc＋ab①
又a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c②
∴把②代入①得2ac＝b(a＋c)＝b·2b
∴b2＝ac.③
由②平方4b2＝(a＋c)2.
把③代入4ac＝(a＋c)2，
∴(a－c)2＝0.∴a＝c.
代入②得b＝a，∴a＝b＝c.
∴公差为0，这与已知矛盾．
∴，，不可能成等差数列．
选修2-2 2.3
一、选择题
1．某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时命题不成立，那么可推得( )
A．当n＝4时该命题不成立
B．当n＝6时该命题不成立
C．当n＝4时该命题成立
D．当n＝6时该命题成立
[答案] A
[解析] 由命题及其逆否命题的等价性知选A.
2．等式12＋22＋32＋…＋n2＝(5n2－7n＋4)( )
A．n为任何正整数都成立
B．仅当n＝1,2,3时成立
C．当n＝4时成立，n＝5时不成立
D．仅当n＝4时不成立
[答案] B
[解析] 经验证，n＝1,2,3时成立，n＝4,5，…不成立．故选B.
3．用数学归纳法证明某命题时，左式为＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α(α≠kπ，k∈Z，n∈N*)，在验证n＝1时，左边所得的代数式为( )
A.
B.＋cosα
C.＋cosα＋cos3α
D.＋cosα＋cos3α＋cos5α
[答案] B
[解析] 令n＝1，左式＝＋cosα.故选B.
4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( )
A. B.
C. D.
[答案] B
[解析] 由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1
∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an
∴an＋1＝an (n≥2)，
当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝＝，
a3＝a2＝，a4＝a3＝.
由a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝
猜想an＝ .故选B.
5．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2 B．1＋＋<2
C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
[答案] B
[解析] n＝2时1＋＋<2.故选B.
6．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3…(2n－1)(n∈N＋)”，则“从k到k＋1”左端需乘的代数式为( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
[答案] B
[解析] n＝k时左式＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)
n＝k＋1时左式＝(k＋2)(k＋3)…(2k＋1)(2k＋2)故“从k到k＋1”左端需乘＝2(2k＋1)．故选B.
7．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的说法是( )
A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立
B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题成立
C．假设n＝2k＋1(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题成立
D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题成立
[答案] D
[解析] A中n＝k时，k不一定是奇数，不正确；B中n＝k＋1为偶数，不正确；C中2k＋1>k＋1与归纳假设矛盾．故选D.
8．用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成( )
A．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)
B．6k(k＋1)(2k＋1)
C．k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2
D．以上都不对
[答案] C
[解析] 当n＝k＋1时，原式 ＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2.故选C.
9．已知数列{an}，a1＝1，a2＝2，an＋1＝2an＋an－1(k∈N*)，用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证( )
A．a4k＋1能被4整除
B．a4k＋2能被4整除
C．a4k＋3能被4整除
D．a4k＋4能被4整除
[答案] D
[解析] 在数列{a4n}中，相邻两项下标差为4，所以a4k后一项为a4k＋4.故选D.
10．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形的对角线的条数f(n＋1)为( )
A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2
[答案] C
[解析] 由凸n边形变为凸n＋1边形后，应加一项，这个顶点与不相邻的(n－2)个顶点连成(n－2)条对角线，同时，原来的凸n边形的那条边也变为对角线，故有f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1.故选C.
二、填空题
11．使不等式2n＞n2＋1对任意n≥k的自然数都成立的最小k值为________．
[答案] 5
[解析] 25＝32,52＋1＝26，对n≥5的所有自然数n,2n＞n2＋1都成立，自己用数学归纳法证明之．
12．用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n＝k时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，则当n＝k＋1时，待证表达式应为________．
[答案] 1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2
13．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝20＝1，右边＝21－1＝1，不等式成立；
②假设n＝k时，等式成立，
即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1.
则当n＝k＋1时，
1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，
所以n＝k＋1时等式成立．
由此可知对任意正整数n，等式都成立．
以上证明错在何处？____________.
[答案] 没有用上归纳假设
[解析] 由数学归纳法证明步骤易知其错误所在．
14．设S1＝12，S2＝12＋22＋12，…，Sn＝12＋22＋32＋…＋n2＋…＋22＋12.用数学归纳法证明Sn＝时，第二步从k到k＋1应添加的项为________．
[答案]
[解析] Sk＋1－Sk＝－＝.
三、解答题
15．在数列{an}中，a1＝a2＝1，当n∈N*时，满足an＋2＝an＋1＋an，且设bn＝a4n，求证：{bn}的各项均为3的倍数．
[证明] (1)∵a1＝a2＝1，
故a3＝a1＋a2＝2，a4＝a3＋a2＝3.
∴b1＝a4＝3，当n＝1时，b1能被3整除．
(2)假设n＝k时，即bk＝a4k是3的倍数．
则n＝k＋1时，bk＋1＝a4(k＋1)＝a(4k＋4)＝a4k＋3＋a4k＋2
＝a4k＋2＋a4k＋1＋a4k＋1＋a4k
＝3a4k＋1＋2a4k.
由归纳假设，a4k是3的倍数，故可知bk＋1是3的倍数．
∴n＝k＋1时命题正确．
综合(1)、(2)可知，对于任意正整数n，数列{bn}的各项都是3的倍数．
16．给出四个等式：
1＝1
1－4＝－(1＋2)
1－4＋9＝1＋2＋3
1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)
……
猜测第n(n∈N*)个等式，并用数学归纳法证明．
[解析] 第n个等式为：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1 ·(1＋2＋3＋…＋n)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，左边＝右边，等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1·.
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)·
＝(－1)k·.
∴当n＝k＋1时，等式也成立
根据(1)、(2)可知，对于任何n∈N*等式均成立．
17．(2010·江苏卷，23)已知△ABC的三边长都是有理数
(1)求证：cosA是有理数；
(2)对任意正整数n，求证cosnA是有理数．
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．
(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知cosA＝ 是有理数．
(2)用数学归纳法证明cosnA和sinA·sinnA都是有理数．
①当n＝1时，由(1)知cosA是有理数，从而有sinA·sinA＝1－cos2A也是有理数．
②假设当n＝k(k≥1)时，coskA和cosA·sinkA都是有理数．
当n＝k＋1时，由
cos(k＋1)A＝cosA·coskA－sinA·sinkA，
sinA·sin(k＋1)A＝sinA·(sinA·coskA＋cosA·sinkA)
＝(sinA·sinA)·coskA＋(sinA·sinkA)·cosA，
由①和归纳假设，知cos(k＋1)A与sinA·sin(k＋1)A都是有理数．
即当n＝k＋1时，结论成立．
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数．
18．首项为正数的数列{an}满足an＋1＝(a＋3)，n∈N＋.
(1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
(2)若对于一切n∈N，都有an＋1>a1，求a1的取值范围．
[解析] (1)已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，
则由递推关系得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇数．
根据数学归纳法，对任何n∈N＋，an都是奇数．
(2)解法1：由an＋1－an＝(an－1)(an－3)知，an＋1>an当且仅当an<1或an>3.
另一方面，若0若ak>3，则ak＋1>＝3.
根据数学归纳法，03?an>3，?n∈N＋.
综上所述，对一切n∈N＋都有an＋1>an的充要条件是03.
解法2：由a2＝>a1，得a－4a1＋3>0，于是03.
an＋1－an＝＝，
因为a1>0，an＋1＝，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an与an－an－1异号．
根据数学归纳法，?n∈N＋，an＋1－an与a2－a1同号．
因此，对一切n∈N＋，都有an＋1>an的充要条件是03.
选修2-2 2章末归纳总结
一、选择题
1．下列四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
[答案] A
[解析] 由题意知a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27，
故猜想an＝3n－1.故选A.
2．已知S(n)＝＋＋＋＋…＋，则( )
A．S(n)共有n项，当n＝2时，S(2)＝＋
B．S(n)共有n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
C．S(n)共有n2－n项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
D．S(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，S(2)＝＋＋
[答案] D
[解析] 从n到n2共有n2－n＋1个自然数，即S(n)共有n2－n＋1项．故选D.
3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：<a索的因应是( )
A．a－b>0
B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0
D．(a－b)(a－c)<0
[答案] A
[解析] 因a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以3c0，c<0.
要证<a，
只需证b2－ac<3a2，只需证(a＋c)2－ac<3a2，只需证2a2－ac－c2>0，只需证(a－c)(2a＋c)>0，只需证2a＋c>0(a>0，c<0，则a－c>0)，只需证a＋c＋(－b－c)>0，即证a－b>0，这显然成立．故选A.
二、填空题
4．平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________________．
[答案] 表面积一定的空间体中，球的体积最大
[解析] 平面中的“周长”类比成空间中的“面积”、“平面图形”类比成“空间体”、“面积”类比成“体积”，“圆”类比成“球”．
5．已知数列{an}，a1＝，an＋1＝，则a2，a3，a4，a5分别为________，猜想an＝__________________.
[答案] ，，，
[解析] 每一项的分子相同，分母是从7开始的自然数．
三、解答题
6．在1与2之间插入n个正数a1，a2，…，an，使这n＋2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1，b2，…，bn，使这n＋2个数成等差数列，记An＝a1a2…an，Bn＝b1＋b2＋…＋bn.
(1)求数列{An}和{Bn}的通项；
(2)当n≥7时，比较An与Bn的大小，并证明你的结论．
[解析] (1)∵1，a1，a2，…，an,2成等比数列，
∴a1an＝a2an－1＝1×2＝2.
∴A＝(a1an)(a2an－1)…(an－1a2)(ana1)＝2n.
∴An＝2.
又∵1，b1，b2，…，bn,2成等差数列，
∴b1＋bn＝1＋2＝3.
∴Bn＝n＝n.
∴数列{An}的通项为An＝2数列{Bn}的通项为Bn＝n.
(2)∵An＝2，Bn＝n，
∴A＝2n，B＝n2.
要比较An与Bn的大小，只需比较A与B的大小，也就是比较当n≥7时，2n与n2的大小．
当n＝7时，2n＝128，n2＝110，
∵128>110，∴2n>n2.
猜想：当n≥7时，2n>n2.
下面用数学归纳法证明．
①当n＝7时，已证2n>n2.
②假设n＝k(k≥7)时不等式成立，即2k>k2，
则当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k>k2
＝[(k＋1)2＋k2－2k－1]
＝[(k＋1)2＋k(k－2)－1]>(k＋1)2.
∴n＝k＋1时不等式也成立．
由①和②可以断定，当n≥7时，2n>n2成立．即A>B，也就是An>Bn.
选修2-2 3.1.1
一、选择题
1．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i (a、b∈R)为纯虚数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠b D．a>0且a＝±b
[答案] D
[解析] a2－b2＝0，且a＋|a|≠0.
2．若sin2θ－1＋i(cosθ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A．2kπ－(k∈Z) B．2kπ＋(k∈Z)
C．2kπ±(k∈Z) D.＋(k∈Z)
[答案] B
[解析] 由得(k∈Z)
∴θ＝2kπ＋.故选B.
3．若x、y∈R，则“x＝0”是“x＋yi为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] x＝0，y＝0时，x＋yi不是纯虚数．故选B.
4．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
[答案] C
[解析] 验证：当a＝0或1时，复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai不相等，排除A、B、D.
5．下列命题中哪个是真命题( )
A．－1的平方根只有一个
B．i是1的四次方根
C．i是－1的立方根
D．i是方程x6－1＝0的根
[答案] B
[解析] ∵(±i)2＝－1，∴－1的平方根有两个，故A错；∵i3＝－i≠－1.∴i不是－1的立方根；∴C错；
∵i6＝i2＝－1，∴i6－1≠0，故i不是方程x6－1＝0的根，故D错；
∵i4＝1，∴i是1的四次方根．故选B.
6．复数z＝i＋i2＋i3＋i4的值是( )
A．－1 B．0
C．1 D．i
[答案] B
[解析] z＝i＋i2＋i3＋i4＝i－1－i＋1＝0.故选B.
7．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x的值为( )
A．1 B．±1
C．－1 D．－2
[答案] A
[解析] 解法一：由x2－1＝0得，x＝±1，当x＝－1时，x2＋3x＋2＝0，不合题意，当x＝1时，满足，故选A.
解法二：检验法：x＝1时，原复数为6i满足，排除C、D；x＝－1时，原复数为0，不满足，排除B.故选A.
8．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
[答案] A
[解析] ∵3i－的虚部为3,3i2＋i的实部为－3，
∴所求复数为3－3i.
故选A.
9．若复数cosθ＋isinθ和sinθ＋icosθ相等，则θ的值为( )
A. B.或π
C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
[答案] D
[解析] 由复数相等的条件得cosθ＝sinθ.
∴θ＝kπ＋(k∈Z)．故选D.
10．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
[答案] C
[解析] ①因为a2－a－2≠0时，已知的复数一定不是纯虚数．解得a≠－1且a≠2.
②当a2－a－2＝0，且|a－1|－1＝0时，已知的复数也不是一个纯虚数．
解得∴a＝2.
综上可知，当a≠－1时，已知的复数不是一个纯虚数．故选C.
二、填空题
11．已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈Z)，且z＜0，则k＝________.
[答案] 2
[解析] ∵z＜0，k∈Z，∴∴k＝2.
12．若x[答案] －2 －1
[解析] 由复数相等的条件知，
∵x＜y＜0，∴.
13．若复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________.
[答案] －1
[解析] ∵z<0即，∴m＝－1.
14．复数z＝sinθ－1＋i(1－2cosθ)且θ∈(0，π)，若z为实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值是________．
[答案]
[解析] z∈R时，1－2cosθ＝0，
∴cosθ＝，∵0<θ<π，∴θ＝；
z为纯虚数时，，又∵θ∈(0，π)，∴θ＝.
三、解答题
15．已知复数x2－1＋(y＋1)i大于2x＋3＋(y2－1)i，试求实数x，y的取值范围．
[解析] ∵x2－1＋(y＋1)i>2x＋3＋(y2－1)i，
∴，
∴y＝－1，x<1－或x>1＋，
即x，y的取值范围分别是{x|x<1－或x>1＋}，{y|y＝－1}．
16．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m的值．
[解析] ∵M∪P＝P，∴M?P
∴由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得，解之得m＝1.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i
得解之得m＝2.
综上可知m＝1或m＝2.
17．求适合方程(x＋y)2＋[(x－y)2－3(x－y)]i＝9－2i的实数x、y的值．
[解析] 由两复数相等的充要条件，得
?或
或或
解得或或或.
18．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cosθ＋(λ－3sinθ)i(λ∈R)．若z1＝z2，证明：－≤λ≤7.
[解析] 由复数相等的条件，
得，
∴λ＝4－4cos2θ＋3sinθ＝42－，
当sinθ＝－时，λmin＝－；当sinθ＝1时，λmax＝7.∴－≤λ≤7.
选修2-2 3.1.2
一、选择题
1．下列命题中假命题是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
[答案] D
[解析] ①任意复数z＝a＋bi (a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0?.?|z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i (a1、b1、a2、b2∈R)
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．故选D.
2．已知a、b∈R，那么在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点的位置关系是( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于原点对称
D．关于直线y＝x对称
[答案] B
[解析] 在复平面内对应于复数a－bi，－a－bi的两个点为(a，－b)和(－a，－b)关于y轴对称．
3．在下列结论中正确的是( )
A．在复平面上，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴
B．任何两个复数都不能比较大小
C．如果实数a与纯虚数ai对应，那么实数集与纯虚数集是一一对应的
D．－1的平方根是i
[答案] A
[解析] 两个虚数不能比较大小排除B，当a＝0时，ai是实数，排除C，－1的平方根是±i，排除D，故选A.
4．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )
A．a≠2或a≠1
B．a≠2或a≠－1
C．a＝2或a＝0
D．a＝0
[答案] D
[解析] 由题意知a2－2a＝0且a2－a－2≠0，
解得a＝0.
5．下列式子中正确的有________个．( )
①3i＞2i ②|2＋3i|>|－2－3i| ③i2>(－i)2
④|z|＝||(其中是复数z的共轭复数)
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] 虚数3i与2i不能比较大小；|2＋3i|＝，|－2－3i|＝，∴|2＋3i|＝|－2－3i|；i2＝－1，(－i)2＝－1，∴i2＝(－i)2.设z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|＝，||＝，∴|z|＝||，∴只有④正确．故选B.
6．复数z1＝a＋2i (a∈R)，z2＝2＋i且|z1|<|z2|，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] C
[解析] ∵|z1|<|z2|，∴<，∴a2＋4<5，
∴－1＜a＜1.故选C.
7．复平面内，向量表示的复数为1＋i，将向右平移一个单位后得到向量，则向量与点A′对应的复数分别为( )
A．1＋i,1＋i B．2＋i,2＋i
C．1＋i,2＋i `D．2＋i,1＋i
[答案] C
[解析] 向量向右平移一个单位后起点O′(1,0)，
∵＝＋＝＋＝(1,0)＋(1,1)＝(2,1)，
∴点A′对应复数2＋i，又＝，
∴对应复数为1＋i.故选C.
8．当A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] D
[解析] ∵＜m＜1，∴3m－2>0，m－1＜0，
∴点(3m－2，m－1)在第四象限．故选D.
9．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( )
A．z对应的点在第一象限
B．z一定不是纯虚数
C．z对应的点在实轴上方
D．z一定是实数
[答案] C
[解析] ∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D.故选C.
10．若cos2θ＋i(1－tanθ)是纯虚数，则θ的值为( )
A．kπ－(k∈Z)
B．kπ＋(k∈Z)
C．2kπ＋(k∈Z)
D.＋(k∈Z)
[答案] A
[解析] ∵
∴选项B、C不满足②.
D中若k为偶数(如k＝0)也不满足②.故选A.
二、填空题
11．设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝(cotB－tanA)＋i(tanB－cotA)的对应点位于复平面的第______象限.
[答案] 二
[解析] 由于0
∴>A>－B>0，
∴tanA>cotB，cotA故复数z对应点在第二象限．
12．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则＝________.
[答案] ＋4i
[解析] 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
则∴，∴＝＋4i.
13．设z＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是____________．
[答案]
[解析] ∵log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，整理得log2＝0，
∴2m2－6m－6＝m2－6m＋9，即m2＝15，m＝±.
又 ∵m－3>0且m2－3m－3>0，∴m＝.
14．复数z满足|z＋3－i|＝，则|z|的最大值和最小值分别为________．
[答案] 3，
[解析] |z＋3－i|＝表示以C(－3，)为圆心，为半径的圆，则|z|表示该圆上的点到原点的距离，显然|z|的最大值为|OC|＋＝2＋＝3，最小值为|OC|－＝2－＝.
三、解答题
15．若不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立，求实数m的值．
[解析] 由题意，得，
∴，
∴当m＝3时，原不等式成立．
16．如果复数z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m∈R)的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．
[解析] ∵z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i，
∴＝(m2＋m－1)－(4m2－8m＋3)i.
由题意得，解得即实数m的取值范围是17．已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？
[解析] 由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1
得z的实部为正数，虚部为负数．
∴复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x、y∈R)，则
消去a2－2a得y＝－x＋2 (x≥3)，
∴复数z对应点的轨迹是一条射线，其方程为y＝－x＋2 (x≥3)．
18．已知复数z1＝－i 及z2＝－＋i.
(1)求||及||的值并比较大小；
(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？
[解析] (1)||＝|＋i|
＝＝2
||＝＝1.
∴||＞||.
(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2.
因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部所有点组成的集合．
|z|≤2表示圆|z|＝2内部所有点组成的集合，
∴1≤|z|≤2表示如图所示的圆环．
选修2-2 3.2.1
一、选择题
1．|(3＋2i)－(4－i)|等于( )
A. B.
C．2 D．－1＋3i
[答案] B
[解析] 原式＝|－1＋3i|＝＝.
2．复数(1－i)－(2＋i)＋3i等于( )
A．－1＋i B．1－i
C．i D．－i
[答案] A
[解析] 原式＝(1－2)＋(－1－1＋3)i＝－1＋i.
3．已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，若z1＋是纯虚数，则有( )
A．a－c＝0且b－d≠0
B．a－c＝0且b＋d≠0
C．a＋c＝0且b－d≠0
D．a＋c＝0且b＋d≠0
[答案] C
4．设f(z)＝，且z1＝1＋5i，z2＝－3＋2i，则f()的值是( )
A．－2＋3i B．－2－3i
C．4－3i D．4＋3i
[答案] D
[解析] ∵z1－z2＝(1＋5i)－(－3＋2i)＝4＋3i
∴＝4－3i，∵f(z)＝，∴f(4－3i)＝＝4＋3i.故选D.
5．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0 B．1
C. D.
[答案] C
[解析] ∵|z＋1|＝|z－i|，∴复数z的对应点轨迹为连结点A(－1,0)，B(0,1)的线段的中垂线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到定点(0，－1)的距离，∴|z＋i|≥.故选C.
6．已知|z－3|＋|z＋3|＝10且|z－5i|－|z＋5i|＝8，则复数z等于( )
A．4i B．－4i
C．±4i D．以上都不对
[答案] B
[解析] 由几何意义可知复数z的对应点在以F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点、长轴长为10的椭圆上，又在F3(0，－5)，F4(0,5)为焦点、实轴长为8的双曲线的下支上．如图故z＝－4i.故选B.
7．△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1、z2、z3，若复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点为△ABC的( )
A．内心 B．垂心
C．重心 D．外心
[答案] D
[解析] 由几何意义知，z到△ABC三个顶点距离都相等，z对应的点是△ABC的外心．
8．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B.
C．2 D.
[答案] A
[解析] 设复数－i、i、－1－i在复平面内对应的点分别为Z1、Z2、Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，
∵|Z1Z3|＝1.故选A.
9．满足条件|z|＝1及＝的复数z的集合是( )
A.
B.
C.
D.
[答案] C
[解析] 解法1：设z＝x＋yi (x、y∈R)，依题意得
，解得
∴z＝±i.
解法2：根据复数模的几何意义知|z|＝1是单位圆，＝是以A，B为端点的线段AB的中垂线x＝.
∴满足此条件的复数z是以为实部的一对共轭复数，由模为1知选C.故选C.
10．A、B分别是复数z1、z2在复平面上对应的两点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．等腰直角三角形
[答案] B
[解析] 由复数与向量的对应关系，|z1＋z2|＝|z1－z2|?|＋|＝|－|，
∴以、为邻边的平行四边形为矩形，
∴∠AOB为直角．故选B.
二、填空题
11．在复平面内，若复数z满足|z＋3|＋|z－3|＝10，则z在复平面内对应的点的轨迹方程为____________．
[答案] ＋＝1
[解析] 根据模的几何意义，复数z在复平面内对应的点到两定点(－3,0)、(3,0)的距离之和为定值10，故其轨迹是以(－3,0)、(3,0)为焦点的椭圆．
∵2c＝6,2a＝10，∴b＝4，
从而其轨迹方程是＋＝1.
12．已知|z|＝1，则|1－i－z|的最大值是________，最小值是________．
[答案] 3 1
[解析] 因为|z|＝1，所以z在半径为1的圆上，|1－i－z|＝|z－(－1＋i)|即圆上一点到点(－1，)的距离，dmax＝3，dmin＝1.
13．已知z＝1＋i，设ω＝z－2|z|－4，则ω＝________.
[答案] －(3＋2)＋i
[解析] ∵z＝1＋i，∴|z|＝，
∴ω＝z－2|z|－4＝(1＋i)－2－4
＝－(3＋2)＋i.
14．设m∈Z，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)，
(1)若z为实数，则m＝________；
(2)若z为纯虚数，则m＝________.
[答案] (1)1或2 (2)－
[解析] (1)z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
由题意：m2－3m＋2＝0，
即m＝1或m＝2时，z是实数．
(2)依题意解得m＝－，
∴当m＝－时，z是纯虚数．
三、解答题
15．已知复数z满足方程|2z－1＋i|＝|z＋1|，求复数z对应点的轨迹．
[解析] 设z＝x＋yi (x、y∈R)，则(2x－1)2＋(2y＋1)2＝(x＋1)2＋y2，整理得(x－1)2＋2＝.
∴轨迹是以点为圆心，为半径的圆．
16．已知点P对应复数z1，点Q对应复数2z1＋3－4i，若P在圆|z|＝2上运动，求Q点的轨迹．
[解析] 设Q点对应复数为z.则z＝2z1＋3－4i，
∴z1＝(z－3＋4i)
∵|z1|＝2，∴＝2.
即|z－(3－4i)|＝4.
∴Q点的轨迹是以3－4i对应点(3，－4)为圆心，半径为4的圆．
17．若f(z)＝2z＋－3i.f(＋i)＝6－3i，试求f(－z)．
[解析] ∵f(z)＝2z＋－3i，
∴f(＋i)＝2(＋i)＋(＋i)－3i＝2＋2i＋z－i－3i＝2＋z－2i，
又f(＋i)＝6－3i，∴2＋z－2i＝6－3im
即2＋z＝6－im
设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.
∴2(a－bi)＋(a＋bi)＝6－i，即，∴，
∴z＝2＋i，
∴f(－z)＝－2z－－3i＝－2(2＋i)－(2－i)－3i
＝－6－4i.
18．已知z1，z2∈C，求证：
(1)|z1|－|z2|≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|；
(2)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.
[证明] (1)如图所示，根据复数加、减法的几何意义，令z1，z2分别对应向量，，
则向量，分别对应复数z1＋z2，z1－z2.
∵||－||≤||≤||＋||，∴|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.
又∵||－||≤||≤||＋||
∴|z1|－|z2|≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|.
故|z1|－|z2|≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
(2)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，
则|z1＋z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋2bd，
|z1－z2|2＝a2＋b2＋c2＋d2－2ac－2bd，
∴|z1＋z2|2＋|z1－z2|2
＝(a2＋b2＋c2＋d2＋2ac＋2bd)＋(a2＋b2＋c2＋d2－2ac－2bd)
＝2(a2＋b2＋c2＋d2)
＝2(a2＋b2)＋2(c2＋d2)
＝2|z1|2＋2|z2|2，
即|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2.
选修2-2 3.2.2
一、选择题
1．(2010·安徽理)i是虚数单位，则＝( )
A.－i B.＋i
C.＋i D.－i
[答案] B
[解析] ＝＝＝＋i，故选B.
2．设复数z＝(a＋i)2在复平面上的对应点在虚轴负半轴上，则实数a的值是( )
A．－1 B．1
C. D．－
[答案] A
[解析] z＝(a＋i)2＝(a2－1)＋2ai，据条件有，
∴a＝－1.故选A.
3．复数z＝－1在复平面内所对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ∵－1
＝－1＝－1＝－1＋i，
∴复数z对应的点在第二象限．
4．若z＝cosθ＋isinθ(i为虚数单位)，则使z2＝－1的θ值可能是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 解法一：将选择项代入验证即可．验证时，从最特殊的角开始．
解法二：z2＝(cosθ＋isinθ)2＝(cos2θ－sin2θ)＋2isinθcosθ
＝cos2θ＋isin2θ＝－1，
∴，∴2θ＝2kπ＋π，∴θ＝kπ＋，(k∈Z)令k＝0知选D.
5．已知＝1－ni，其中m、n是实数，i是虚数单位，则m＋ni＝( )
A．1＋2i B．1－2i
C．2＋i D．2－i
[答案] C
[解析] 直接推算或对四个选项中的m、n值逐一代入条件检验．
由＝1－ni，得－i＝1－ni，
则＝1且－＝－n，故m＝2，n＝1.故选C.
6．(2008·山东)设z的共轭复数是，若z＋＝4，z·＝8，则等于( )
A．i B．－i
C．±1 D．±i
[答案] D
[解析] 设z＝a＋bi，∵z＋＝4，∴a＝2，
又∵z·＝8，∴b2＋4＝8，∴b2＝4.
∴b＝±2，即z＝2±2i，故＝±i，故选D.
7．复数z＝ (m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] A
[解析] ＝
＝.
不存在m∈R，使m－4＞0且m＋1＜0.
即z的实部和虚部不能同时为正．故选A.
8．当z＝－时，z100＋z50＋1的值等于( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[答案] D
[解析] ∵z＝－＋i，∴z2＝－i.
∴z4＝－1，∴z100＝(z4)25＝－1，z50＝z48·z2＝(z4)12·z2＝－i.∴原式＝－1－i＋1＝－i.故选D.
9．设复数z满足＝i，则|1＋z|＝( )
A．0 B．1
C. D．2
[答案] C
[解析] ∵＝i，∴z＝＝－i，
∴|z＋1|＝|－i＋1|＝.故选C.
10．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[答案] B
[解析] ＋(1＋i)2＝i＋＋1－3＋2i＝－＋i对应点在第二象限．故选B.
二、填空题
11．(2009·江苏，1)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．
[答案] －20
[解析] 本题主要考查复数的概念及运算．
∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，
∴(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝－20－2i.
∴复数(z1－z2)i的实部为－20.
12．关于x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．
[答案] 二
[解析] ∵mx2－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－1，2)，
∴，即m<0，p>0.
故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
13．已知复数z＝1＋i，则复数的模为______．
[答案]
[解析] ＝
＝＝＝1－i，故1－i的模为.
14．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．
[答案]
[解析] 设＝bi(b∈R且b≠0)，∴z1＝bi·z2，
即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.
∴?a＝.
三、解答题
15．设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|z－m|＝5(m∈R)，求z和m的值．
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，
∵|z|＝5，∴x2＋y2＝25，
而(3＋4i)z＝(3＋4i)(x＋yi)＝(3x－4y)＋(4x＋3y)i
又∵(3＋4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，
∴3x－4y＋4x＋3y＝0，得y＝7x，∴x＝±，y＝.
即z＝±；z＝±(1＋7i)．
当z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝5，
即(1－m)2＋72＝50，得m＝0，m＝2.
当z＝－(1＋7i)时，同理可得m＝0，m＝－2.
16．已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
[解析] 设z＝x＋yi (x、y∈R)，
z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i
由题意得，x＝4. ∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知，解得 2∴实数a的取值范围是(2,6)．
17．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0、z、对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a、b的值．
[解析] z＝(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)
＝－2a－2bi.
由|z|＝4得a2＋b2＝4，①
∵复数0、z、对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|.
把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.②
又∵Z在第一象限，∴a<0，b<0.
由①②得.
18．在复数范围内解方程|z|2＋(z＋)i＝(i为虚数单位)．
[解析] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，由于|z|2＋(z＋)i＝a2＋b2＋2ai，
＝＝1－i，
所以a2＋b2＋2ai＝1－i，
根据复数相等，得，解得a＝－，b＝±，因此z＝－±i.
选修2-2 3章末归纳总结
一、选择题
1．(2010·湖北，理，1)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是( )
A．E B．F
C．G D．H
[答案] D
[解析] 由图可知z＝3＋i，∴＝＝＝＝2－i，对应复平面内的点H，故选D.
2．(2009·浙江，理，3)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
[答案] D
[解析] 本小题主要考查复数及其运算．
∵z＝1＋i，
∴＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝1＋i.故选D.
3．(2009·安徽，理，1)i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
A．－15 B．－3
C．3 D．15
[答案] B
[解析] 本题考查复数的概念及其简单运算．
＝＝＝－1＋3i＝a＋bi，
∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.故选B.
二、填空题
4．(2010·北京，理，9)在复平面内，复数对应的点的坐标为________．
[答案] (－1,1)
[解析] ＝＝i(1＋i)＝－1＋i.
5．(2009·江苏，1)若复数z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，其中i是虚数单位，则复数(z1－z2)i的实部为________．
[答案] －20
[解析] 本题主要考查复数的概念及运算．
∵z1＝4＋29i，z2＝6＋9i，
∴(z1－z2)i＝[(4＋29i)－(6＋9i)]i＝－20－2i.
∴复数(z1－z2)i的实部为－20.
三、解答题
6．已知z、ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝，且|ω|＝5，求ω.
[解析] 解法1：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则
(1＋3i)z＝a－3b＋(3a＋b)i.
由题意，得a＝3b≠0.
∵|ω|＝＝5，∴|z|＝＝5.
将a＝3b代入，解得a＝±15，b＝±5.
故ω＝±＝±(7－i)．
解法2：由题意，设(1＋3i)z＝ki，k≠0，且k∈R，则ω＝.
∵|ω|＝5.∴k＝±50.故ω＝±(7－i)．
