8.1.1 函数的零点 教案

第八章 函数应用
8.1.1 函数的零点
本节课是新版教材苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第八章第41节，由于学生已经学过一元二次方程与二次函数的关系，本节课的内容就是在此基础上的推广。从而建立一般的函数的零点概念，进一步理解零点判定定理及其应用。培养和发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。
课程目标 学科素养
1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系. 2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数． a.数学抽象：函数零点的概念； b.逻辑推理：零点判定定理； c.数学运算：运用零点判定定理确定零点范围； d.直观想象：运用图形判定零点； e.数学建模：运用函数的观点方程的根；
教学重点：零点的概念及存在性的判定；
教学难点：零点的确定．
多媒体调试与讲义的分发
知识点一　函数的零点的概念
思考　函数的“零点”是一个点吗？
答案　不是，函数的“零点”是一个数，一个使f(x)＝0的实数x.实际上是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
梳理　对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0有实数根 函数y＝f(x)的图象与x轴有交点 函数y＝f(x)有零点．
知识点二　零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
典型例题
类型一　求函数的零点
例1　函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
答案　x＝1或x＝10
解析　由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.
总结　函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
变式训练　函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是________．
答案　4
解析　f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1)
＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3)．
可知零点为±1，－2,3，共4个．
类型二　判断函数的零点所在的区间
例2　根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是(　　)
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.40 20.12
x＋2 1 2 3 4 5
A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
答案　C
解析　令f(x)＝ex－(x＋2)，则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．
总结　在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内无零点．
变式训练　若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.
答案　2
解析　∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点．
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，
∴n＝2.
类型三　函数零点个数问题
命题角度1　判断函数零点个数
例3　求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．
解　方法一　∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．
又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数．
故函数f(x)有且只有一个零点．
方法二　在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
总结　判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．
变式训练　求函数f(x)＝ln x＋2x－6零点的个数．
解　方法一　由于f(2)＝ln 2＋4－6<0，f(3)＝ln 3＋6－6>0，即f(2)·f(3)<0，说明函数f(x)在区间(2,3)内有零点．又因为函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
方法二　通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数．
由图象可知两函数有一个交点，即函数f(x)有一个零点．
命题角度2　根据零点情况求参数范围
例4　f(x)＝2x·(x－a)－1在(0，＋∞)内有零点，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞) B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
答案　D
解析　由题意可得a＝x－x(x＞0)．
令g(x)＝x－x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知g(x)的值域为(－1，＋∞)，故当a＞－1时，f(x)在(0，＋∞)内有零点．
总结　为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单．
变式训练　若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，1－]∪[1＋，＋∞)
B．(－∞，1－)∪(1＋，＋∞)
C.
D.
答案　D
解析　函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，
即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，
根据图象列出不等式组
解得
∴－＜m＜－，
∴实数m的取值范围是.
通过练习巩固本节所学知识，巩固对函数零点及判定定理的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养。