5.1.1 函数的概念 教案

第五章　函数概念与性质
第5.1.1节　函数的概念
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》苏教版必修1第五章《函数概念与性质》的第一课时。托马斯说：“函数概念是近代数学思想之花” 。 生活中的许多现象如物体运动，气温升降，投资理财等都可以用函数的模型来刻画，是我们更好地了解自己、认识世界和预测未来的重要工具。函数是数学的重要的基础概念之一，是高等数学重多学科的基础概念和重要的研究对象。同时函数也是物理学等其他学科的重要基础知识和研究工具，教学内容中蕴涵着极其丰富的辩证思想。函数的的重要性正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学”。
课程目标 学科素养
A．进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 B．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系刻画数学概念中的作用。 C.了解构成函数的要素，会求一些简单函 数的定义域。 a数学抽象:函数概念的理解，函数的表示。 b逻辑推理:f(x)与f(a)的关系 c数学运算:函数的定义域的求解， d数学建模:用函数的思想对实际生活中的对象进行判 断与归类。
1.教学重点：对函数概念的理解，用集合与对应的语言来刻画函数；
2.教学难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。
多媒体调试、讲义分发。
预习课本P97～99，思考并完成以下问题
1．函数的定义：
设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.
[点评]
(1)集合的特殊性：集合A和B不能为空集，并且必须为数集．
(2)对应的方向性：其方向性是指对A中的任何一个数x，在集合B中都有数f(x)与之对应，先是集合A，其次是集合B.
(3)对应的唯一性：是指与集合A中的数x对应的集合B中的数f(x)是唯一确定的．
2．函数的定义域在函数y＝f(x)，x∈A中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域．
[点评]
(1)函数的定义域必须用集合或区间来表示，它是一个数集；
(2)对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指函数表达式有意义的自变量的集合；
(3)如果函数涉及实际问题，定义域必须考虑自变量的实际意义．
题型一 函数概念的理解
[典例]　判断下列对应是否为函数：
(1)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
(2)x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
(3)x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.
[解]　(1)当在集合{x|0≤x≤6}中取x＝6时，在集合{y|0≤y≤3}中没有y的值与之对应，因此不能确定y是x的函数；
(2)当在集合{x|0≤x≤6}中任取一个x的值后，都能在集合{y|0≤y≤3}中确定唯一的y的值与之对应，故可以确定y是x的函数；
(3)当在实数集R上任取一个x的值后，都能在实数集R上确定唯一的y值与之对应，故可以确定y是x的函数．
点评：判断一个对应是不是函数，关键看与自变量x对应的y值是不是唯一，函数可以允许多个不同的x的值对应一个y值，但不允许一个x对应两个或两个以上的y值．　　　　
[变式训练]
下列对应或关系式中是A到B的函数的序号为________．
①A∈R，B∈R，x2＋y2＝1；
②A＝{1,2,3,4}，B＝(0,1)，对应关系如图：
③A＝R，B＝R，f：x→y＝；
④A＝Z，B＝Z，f：x→y＝.
答案：②
题型二 相同函数的判断
[典例]　下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号)．
(1)y＝x－1和y＝；
(2)y＝x0和y＝1；
(3)f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；
(4)f(x)＝和g(x)＝.
[解析]　(1)因为y＝x－1定义域为R，
函数y＝定义域为{x|x≠－1，x∈R}，
定义域不相同，故不是同一函数．
(2)y＝x0定义域为{x|x≠0，x∈R}，
函数y＝1定义域为R，
定义域不相同，故不是同一函数．
(3)函数f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2对应法则不一致，故不是同一函数．
(4)函数f(x)＝和g(x)＝定义域都是(0，＋∞)，它们对应法则也一致，故是同一函数．
[答案]　(4)
点评：如果两个函数定义域相同，并且对应法则完全一致，那么这两个函数就是同一函数，故判断两个函数是否相同时，一看定义域，二看对应法则．　　　　　　
[活学活用]
下列函数y＝()2；y＝，y＝，y＝与函数y＝x是同一函数的是________．
答案：y＝
题型三 求函数值
[典例]　已知f(x)＝(x≠－1)．求：
(1)f(0)及f 的值；
(2)f(1－x)及f(f(x))．
[解]　(1)f(0)＝＝1，f ＝＝，
f ＝f ＝＝.
(2)f(1－x)＝＝(x≠2)，
f(f(x))＝f ＝＝x(x≠－1)．
点评：(1)函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．
(2)求f(f(f(a)))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．　　　　　　
[变式训练]
已知f(x)＝(x≠－1)，g(x)＝x2＋2，则f(2)＝________，f(g(2))＝________.
解析：∵f(x)＝，
∴f(2)＝＝.
又∵g(x)＝x2＋2，
∴g(2)＝22＋2＝6，
∴f(g(2))＝f(6)＝＝.
答案：　
题型四 求函数的定义域
[典例]　　求下列函数的定义域．
(1)y＝3－x；
(2)y＝2－；
(3)y＝；
(4)y＝－＋.
解　(1)函数y＝3－x的定义域为R.
(2)由得0≤x≤，
所以函数y＝2－的定义域为.
(3)由于0的零次幂无意义，
故x＋1≠0，即x≠－1.
又x＋2>0，即x>－2，
所以x>－2且x≠－1.
所以函数y＝的定义域为.
(4)要使函数有意义，需
解得－≤x＜2，且x≠0，
所以函数y＝－＋的定义域为.
点评：求函数定义域的常用依据
(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零；
(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零；
(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使指数幂运算有意义的实数集合；
(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域要使各个式子都有意义；
(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．　　
为了使学生了解函数概念产生的背景，丰富函数的感性认识，获得认识客观世界的体验，本章采用“突出主题，螺旋上升，反复应用”的方式，以实际问题为主线，由浅入深，将函数的知识串联起来，既完善了知识体系完整性、系统性，又体现了知识之间的有机联系和一以贯之的研究手段．