湘教版数学七年级下册 4.5垂线 教案（含2课时）

4．5　垂线
第1课时　垂线
【教学目标】
了解垂线的概念及垂线的有关性质．
【教学重难点】
重点：垂线的概念及垂线的有关性质．
难点：垂线的应用．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b.当b的位置变化时，a、b所成的角α是如何变化的？其中会有特殊情况出现吗？当这种情况出现时，a与b是什么位置关系？
教学说明
通过动手操作，使学生初步感知垂直的定义．
【思考探究，获取新知】
1．观察下图，直线AB与直线CD有什么位置关系？∠AOD有多少度？
归纳结论
两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，这两条直线叫做互相垂直．其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
垂直用“⊥”表示，如图①，直线AB垂直于直线CD，记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD”，垂足为O.生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的，你能再举一些其他的例子吗？
　　　
　　　　　　　①　　　　　　　　　　　　　　②
两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线，它们的交点叫做斜足，如图②，直线CD是AB的斜线，同样，直线AB也是CD的斜线，点O是斜足．
2．如图，在同一平面内，直线a⊥l，b⊥l，那么a∥b吗？
因为a⊥l，
所以∠1＝90°(垂直定义)．
因为b⊥l，
所以∠2＝90°(垂直定义)，
所以∠1＝∠2，
所以a∥b(同位角相等，两直线平行)．
由此，你可以知道什么？
归纳结论
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．
3．如图，在同一平面内，a∥b，如果a⊥l，那么b⊥l吗？
因为a⊥l，
所以∠1＝90°(垂直定义)．
因为a∥b，
所以∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)，
所以∠2＝90°，
所以b⊥l(垂直定义)．
由此，你可以知道什么？
归纳结论
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条直线．
教学说明
通过学生亲自证明、推理，这样学生掌握得更牢固．
【运用新知，深化理解】
1．见教材P97～98例1、例2.
2．两条直线相交形成四个角，如果其中一个角为70°，则另外三个角的度数分别是________．
答案：110°、70°、110°
3．下面所叙述的两条直线是否垂直？
①两条直线相交所成的四个角相等；
②两条直线相交，有一组邻补角相等；
③两条直线相交，对顶角互补．
解：①②③都是垂直的．
4．如图所示，AB⊥CD，垂足为O，OE是一条射线，且∠AOE＝35°求∠BOE、∠COE的度数．
解：因为AB⊥CD，所以∠AOC＝90°.
因为∠AOE＝35°，所以∠COE＝55°.
因为AB⊥CD，所以∠COB＝90°，所以∠BOE＝145°.
第4题图第5题图
5．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1＝50°，求∠COB、∠EOB、∠BOF的度数．
解：因为OE⊥CD，
所以∠DOE＝90°，∠COE＝90°.
因为∠1＝50°，
所以∠AOD＝40°，
所以∠COB＝40°.
所以∠EOB＝130°.
因为OD平分∠AOF，
所以∠DOF＝∠AOD＝40°.
所以∠BOF＝180°－∠COB－∠DOF＝100°.
【师生互动，课堂小结】
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
【课后作业】
1．布置作业：教材P98“练习”．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
第2课时　垂线段与点到直线的距离
【教学目标】
知识与技能
1．掌握点到直线的距离的有关概念．
2．会作出直线外一点到一条直线的垂线．
3．理解垂线段最短的性质．
情感态度价值观
体会数学的应用价值．
【教学重难点】
重点：点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质．
难点：垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？说到最短，上学期我们曾经学过什么最短的知识，还记得吗？
教学说明
通过实际问题的引入，让学生感受到生活中处处可以遇到垂直问题，体会数学在生活中的应用价值．
【思考探究，获取新知】
1．学生用三角尺画已知直线l的垂线．
(1)画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？
(2)如图，过点P画已知直线l的垂线(用三角尺画，语言叙述步骤)，这样的垂线能画几条？
(3)经过直线l外的一点P画l的垂线，这样的垂线能画几条？
由画图可知：(1)可以画无数条；(2)可以画一条；(3)可以画一条．
由此你能得到什么结论？
归纳结论
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
2．如图，设PO垂直于直线l，O为垂足，线段PO叫做点P到直线l的垂线段，经过点P的其它直线交l于A，B，C……，线段PA，PB，PC……都不是垂线段，称为斜线段．
(1)垂线与垂线段有何区别和联系？
区别：垂线是直线，垂线段是线段．
联系：垂线和垂线段都有垂直关系．
(2)用刻度尺量一量PA，PB，PC，PO的长度，你发现了什么？
归纳结论
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成：垂线段最短．
我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．如上图，PO就是点P到直线l的距离．
注意：点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离．
3．完成P100“做一做”．
教学说明
教师分析讲解，引出相关概念，并进行补充．
【运用新知，深化理解】
1．见教材P100例3.
2．如图，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，BC＝3，则点A到直线BC的距离为________，点B到直线AC的距离为________，A、B间的距离为________．
答案：4，3，5
3．如图所示，火车站、码头分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
　　　　　
　　　　　　题图　　　　　　　　　　　　　　答图
解：如图所示：
(1)沿AB走，两点之间线段最短；
(2)沿BD走，垂线段最短；
(3)沿AC走，垂线段最短．
4．如图所示，已知∠AOB＝∠COD＝90°，
(1)若∠BOC＝45°，求∠AOC与∠BOD的度数；
(2)若∠BOC＝25°，求∠AOC与∠BOD的度数；
(3)由(1)、(2)你能得出什么结论？说说其中的道理．
解：(1)∵∠AOB＝∠COD＝90°，且∠BOC＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝45°，
∠BOD＝∠COD－∠BOC＝45°.
(2)∵∠AOB＝∠COD＝90°，且∠BOC＝25°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝65°，
∠BOD＝∠COD－∠BOC＝65°.
(3)∠AOC＝∠BOD，等角的余角相等．
5．如图，OF平分∠AOC，OE⊥OF，AB与CD相交于O，∠BOD＝130°，求∠EOB的度数．
解：∵∠AOC＝∠BOD，∠BOD＝130°，
∴∠AOC＝130°.
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOF＝∠FOC＝65°.
∵OE⊥OF，
∴∠EOF＝90°.
∴∠BOE＝180°－∠AOF－∠EOF
＝180°－65°－90°＝25°.
教学说明
学生自己独立完成．使所学知识得到巩固提高．
【师生互动，课堂小结】
1．通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2．通过本节课的学习，你最大的体验是什么？
3．通过本节课的学习，你掌握了哪些学习数学的方法？
【课后作业】
1．布置作业：教材“习题4.5”中第6、7、8题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．