山东省德州市某中学2012-2013学年高二4月月考 数理

高二月考数学（理科）试题
第I卷
选择题（每小题5分，共60分）
1.已知向量的夹角为 ( )
A.0° B.45° C.90° D.180°
2．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且a＋b与2 a－b互相垂直，则的值是（ ）
A． 1 B． C． D．
3．曲线在点处的切线方程为（ ）．
A． B． C． D．
4.已知 ( )
A. B.5，2 C. D.-5，-2
5．函数的定义域为开区间，导函数
在内的图象如图所示，
则函数在开区间内有极小值点
（　　 ）
　 A．　1个　　　B．2个　　　C．3个　　　　D． 4个
6．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．由抛物线与直线所围成的图形的面积是（ ）．
A． B． C． D．
8. 已知函数在处可导，则等于 （ ）
A．　　　B．２　　　C．－２　　D．０
9．函数，则导数=（ ）
A． B．
C． D．
10．已知对任意实数，有，且时，，则时（ ）
A． B．
C． D．
11.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是 ( )
A. B. C. D.
12．设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）
第II卷
填空题（每小题4分，共16分）
13．函数的单调递增区间是________________．
14．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则___________．
15．正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角为 ．
16． ___________ .
三． 解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题12分）
已知，求的值.
18.（本小题12分）
已知函数在处取得极值.
(1)讨论和是函数的极大值还是极小值;
(2)过点作曲线的切线,求此切线方程.
19．（本小题12分）
如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．
（1）求直线EC1与FD1所成的余弦值．
（2）求二面角C-DE-C1的正切值；
20．（本小题12分）
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
21．（本小题12分）
如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．
（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；
（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，
使得PQ⊥QD？
（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，
求二面角Q-PD-A的大小．
22.（本小题14分）
已知
（1）当时，求函数的单调区间。
（2）当时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数，使，函数有最小值－3？
高二月考数学（理科）答案
一．选择题 CDBAA DAADB BD
二．填空 13. 14. 32 15. 16. 5
17.解：由………………………………3分
又即
………………………………………………6分
由①②有： ………………10分
…………………………………………12分
18．解：（1），依题意，
，即 解得 ┅┅ （3分）
∴，∴
令，得
若，则
故在上是增函数；
若，则
故在上是减函数；
所以是极大值，是极小值。 ┅┅┅┅┅┅┅┅ （6分）
（2）曲线方程为，点不在曲线上。
设切点为，则
由知，切线方程为
┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅ （9分）
又点在切线上，有
化简得 ，解得
所以切点为，切线方程为 ┅┅┅┅┅┅ （12分）
19．（1）如图，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系 A-xyz，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4， 3，2)．
于是，，
． 设EC1与FD1所成角为(，则
． ………4分
（2）设向量与平面C1DE垂直，则有
．
∴其中z＞0．
取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量．
∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，
∴n0与所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．
∵， ………………10分
∴． ………………………………………………12分
20．解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，
则高为. ………2分
故长方体的体积为
………………4分
从而
令V′（x）＝0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1. ……………8分
当0＜x＜1时，V′（x）＞0；当1＜x＜时，V′（x）＜0，
故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。 ………10分
从而最大体积V＝9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m. ┅11分
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。 12分
21．（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分
别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．
∵PA=AB=1，BC=a，
∴P（0，0，1），B（1，1，0），
D（0，a，0）． …………2分
（2）设点Q（1，x，0），则
．
由，得x2-ax+1=0．
显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0．
因a>0，故a的取值范围为a≥0． ……………6分
（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．
取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．
∵D、N、P三点共线，
∴．
又，且，
故．
于是．
故．
∵，
∴．
∴∠MNQ为所求二面角的平面角．
∵，
∴所求二面角为． …………………………12分
22．（1）当a=1时，
或递减; 递增; ……3分
（2）
①当递增;
②当递增;
③当或递增;
④当递增;
⑤当或递增; …………8分
（3）因由②分两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：
①当 递增，，解得
②当由单调性知：，化简得：，解得
不合要求；
综上，为所求。 ………………………………14分