8.6.1直线与直线垂直 课件（共20张PPT）

(共20张PPT)
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1　直线与直线垂直
第八章 立体几何初步
学习目标：
1.会求给定两条异面直线所成的角的大小.
2.理解异面直线所成的角的概念.
3. 理解异面直线垂直的定义.
4.会证明空间中两条直线垂直．
8.6.1　直线与直线垂直
观察思考
如图，正方体 中，直线A'C'与直线AB，直线A'D' 与直线AB都是异面直线，那么直线A'C'与直线A'D' 相对于直线AB的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？
可以用夹角来刻画这种倾斜程度。
1.两条相交直线的夹角:
复习回顾
定义：平面上两条直线相交时构成两组对顶角.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两 条相交直线的夹角.
范围：
思考 从二维到三维，空间中两条直线所成角又该如何定义？
它的范围又是多少？
规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为 0.
新知讲解
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线________________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.异面直线所成的角θ的取值范围：_______________．
一、异面直线所成角
a′与b′所成的角
0°< θ ≤90°
3.注意:（1）空间两条直线所成角θ的范围是0°≤ θ ≤90°,
（2）两条异面直线所成角的范围是0° < θ ≤90°.
规定：如果两条直线平行或重合，它们的夹角为 0.
新知讲解
异面直线
相交直线
转化
三维空间图形
二维平面图形
转化
点O的位置不会影响角度的大小。
新知讲解
1.定义：当θ＝_____时，a与b互相垂直，记作_________．
二、直线与直线垂直
90°
a⊥b
2.线线垂直的分类
相交垂直
异面垂直
（两条直线共面且夹角为90°）
（两条直线不共面且夹角为90°）
概念辨析
判断正误(请在括号中打“√”或“×”).
(1)教室里，在天花板所在平面内任作一条直线，在黑板所在平面内都能找到一条直线与之垂直． (　　)
(2)两条异面直线所成的角就是这两条异面直线平移相交后所成的角． (　　)
(3)a，b是异面直线，b与c是异面直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c. (　　)
√
√
×
例题分析
例1 如图，已知正方体ABCD—A'B'C'D'.
(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直；
(2)求直线BA'与CC'所成的角的大小．
(3)求直线BA'与AC所成的角的大小．
解：(1)AB, BC, CD, DA,A'B', B'C', C'D', D'A'
(2)45°
(3)60°
例题分析
例1 如图，已知正方体ABCD—A'B'C'D'.
(3)求直线BA'与AC所成的角的大小．
解：(3)如图，连接.因为是正方体，所以.从而四边形是平行四边形，所以.于是为异面直线
所成的角.
连接，易知是等边三角形，所以.从而异面直线与所成的角等于.
||
||
题型总结
题型一 求异面直线所成角
求异面直线所成的角的步骤:
一作：作两条（或其中一条）的平行线，让两条异面直线变相交直线。
找平行线的常用方法：
①直接平移法(可利用图中已有的平行线).
②中位线平移法．（把其中一条线平移到某个三角形的中位线上）
③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线).
二找：在相交直线所成的角中找到异面直线所成角（不能大于90°）.
三求解：把角放在封闭的图形中，通过解三角形的方法求出角.
巩固练习
练习1.如图,已知长方体中,
(1)求和所成的角是多少度
(2)求和所成的角是多少度
直接平移法
巩固练习
【练习2】如图(1)，正方体中，分别是底面的中点.求异面直线与所成角的大小.
图(1)
中位线平移法
证法一：如图(2)，连接，并设它们相交于点，取的中点，连接，，.则.∴为异面直线所成的角或其补角.
∵，为的中点，∴.∴异面直线与所成角为
图(2)
巩固练习
【练习2】如图(1)，正方体中，分别是底面的中点.求异面直线与所成角的大小.
补形平移法
证法二：如图(2)，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接，则于是异面直线与所成的角就是异面直线
所成角的角或其补角.
通过计算，不难得到：，从而异面直线与所成的角为
图(1)
图(2)
例题分析
例2 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中 ,O1为底面A1B1C1D1的中心.求证：
例题分析
例2 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中 ,O1为底面A1B1C1D1的中心.求证：
分析：要证明，应先构造直线与所成的角，若能证明这个角是直角，即得.
例题分析
例2 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中 ,O1为底面A1B1C1D1的中心.求证：
证明：
题型总结
题型二 证明线线垂直
证明空间中两条直线垂直的方法:
1.平面几何图形性质法：
(1)利用平面图形的性质或定理来证明（比如①等腰三角形中线即是高线；②菱形对角线垂直；③勾股定理等.)
(2)利用两个向量夹角的余弦值公式来证明。
2.定义法： 证明两条直线所成的角为直角．
课堂小结
一、知识点： 1.异面直线所成角；2.直线与直线垂直。
二、题型： 1.找异面直线所成的角；2.证明直线与直线垂直。
三、思想方法（转化）
异面直线
相交直线
转化
三维空间
二维平面
转化
挑战自我
如图，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E, F分别 为BC, AD的中点，求EF和AB 所成的角．
G
∵AB⊥CD，∴EG⊥GF.
∴∠EGF＝90°.
∴△EFG为等腰直角三角形．
∴∠GFE＝45°，
即EF与AB所成的角为45°.